第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计课件

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1、6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念l滤波的目的滤波的目的为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。频谱中各频率分量的相对比例。广义滤波包括对广义滤波包括对信号的检测信号的检测与与参量的估计参量的估计。信号的检测：信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。确定在干扰背景中信号是否存在。信号参量的估计：信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。几个参量的估值。l滤波技术滤波技术 滤波器设计：滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足根据给定滤波器

2、的频率特性，求得满足该特性的传输函数。该特性的传输函数。滤波过程的实现：滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号进行滤波的目的。对输入信号进行滤波的目的。l数字滤波器：数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。件或程序。l优点：优点：数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实重量轻、灵活

3、、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理 数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字数字滤波器的设计是已知它的频率特性滤波器的设计是已知它的频率特性 ，求它的，求它的系统函数系统函数H(z)或单位脉冲响应或单位脉冲响应h(n).)(jeH 完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波

4、器也允许有一定的误差。所以波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通给出的频率特性通常是频率特性指标常是频率特性指标。在误差范围内，往往有多个。在误差范围内，往往有多个H(z)或或h(n)满足指标。因此，满足指标。因此，设计出的设计出的H(z)或或h(n)不是不是唯一的。唯一的。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 分类分类:低通低通(LP),高通高通(HP),带通带通(BP),带阻带阻(BS)()()()x ns nu n加性噪声加性噪声若若 中的有用成分中的有用成分 和希望去除的成分和希望去除的成分各自占有不同的频带各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将通过一个线性

5、系统可将 有效去除有效去除.()x n()u n()s n()u n一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类1、经典滤波器与现代滤波器、经典滤波器与现代滤波器经典滤波器经典滤波器种类：种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器自适应滤波器()()()x ns n u n乘法性噪声乘法性噪声()()*()x ns nu n卷积性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。波方法难以去除噪声。目标：目标：根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳根据随机信号的一些统计特性，在某

6、种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。复信号，从而达到最佳滤波的目的。现代滤波器现代滤波器一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类2 2、理想滤波器的频率响应、理想滤波器的频率响应一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类几点说明：几点说明：（1）由于频率特性的周期性，）由于频率特性的周期性，只需考虑数只需考虑数字频率在字频率在(02)范围的幅度响应范围的幅度响应。（2）根据耐奎斯特定理，输入信号不得超）根据耐奎斯特定理，输入信号不得超过采样频率的一半，而且实序列的频谱具有过采样频率的一半，而且实序列的频谱具

7、有共轭共轭对称对称性质，所以，性质，所以，频率特性只能限于频率特性只能限于（0）内。内。（3）图示的滤波器特性没有过渡带，不可能）图示的滤波器特性没有过渡带，不可能实现。只能在误差范围内实现。只能在误差范围内近似实现近似实现。一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类3、本课程数字滤波器设计的适用对象、本课程数字滤波器设计的适用对象 通常用的数字滤波器一般属于通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器选频滤波器，其，其有用信号和干扰信号的有用信号和干扰信号的频谱分别在不同的频段频谱分别在不同的频段。用。用IIRIIR或或FIRFIR系统实现时，系统实现时，系数是固定的系数是固定的。如果两者的频谱共用同

8、一个频段，则需使用自如果两者的频谱共用同一个频段，则需使用自适应滤波器实现，它与普通滤波器不一样的地方是，适应滤波器实现，它与普通滤波器不一样的地方是，它的滤波系数是随输入信号的变化而变化。它的滤波系数是随输入信号的变化而变化。一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类 设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。叠加而成。左边为时域波形，左边为时域波形，右边为它的频谱。右边为它的频谱。滤波前：滤波前：滤波后：滤波后：一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类二、二、数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标数字滤波器的频率特性：数字滤波器的频率特性：其中：

9、其中：选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。虑线性相位问题。)(|)(|)(jjjeeHeH幅频特性|)(|jeH相频特性)(w幅频特性表示信号通过该滤波幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况器后各频率成分振幅衰减情况相频特性反映各频率成分通过相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况滤波器后在时间上的延时情况通带通带阻带阻带过渡带过渡带低通滤波器的幅频特性指标示意图低通滤波器的幅频特性指标示意图二、二、数字滤波器的技术指标数字滤波器的技

10、术指标 pjeH|,1|)(|11 在阻带内，幅度响应以误差在阻带内，幅度响应以误差 逼近逼近0，即，即2|,|)(|2sjeH在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。为阻带截止频率为通带截止频率，sp1在通带内，幅度响应以误差在通带内，幅度响应以误差 逼近逼近1，即，即二、二、数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标pjjp0,|)e(|min|)e(|maxlg20HH|)e(|max|)e(|maxlg20jjsHH阻带中通带中 上述表示不是很方便，在具体的技术指标中，往上述表示不是很方便，在具体的技术指标中，往往使用往使用通带允许的最大衰

11、减（波纹）通带允许的最大衰减（波纹）和和阻带应达到阻带应达到的最小衰减的最小衰减 表示，这里的两个指标都是正数。表示，这里的两个指标都是正数。ps定义为：定义为：二、二、数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标 )1lg(20|)(|)(|lg2010pjjpeHeH20lg20|)(|)(|lg20sjjseHeH。的功率衰减了直流信号处的功率比表示在)dB()(0ss。的功率衰减了直流信号处的功率比表示在)dB()(0pp这里=0处幅度已归一化到1。通带截止频率。为，称时，当dBeHcpjc3dB3707.0|)(|二、二、数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标阻带截止频率又称通带边界频

12、率通带截止频率:)(:spp：通带允许的最大衰减；：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减：阻带内应达到的最小衰减 p 越小越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；通带波纹越小，通带逼近误差就越小；s越大越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；p与与s间距越小间距越小,过渡带就越窄。过渡带就越窄。低通滤波器的设计指标：低通滤波器的设计指标：二、二、数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标三、数字滤波器设计方法概述三、数字滤波器设计方法概述 设计设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：数字滤波器一般有以下两种方法：1.间接法间接法:首先设计一个合适的模拟

13、滤波器，然后将它首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等高通、带通、带阻等。2.直接法：直接法：直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计常用模拟滤波器:1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2、切比雪夫(Chebyshev)滤波

14、器 3、椭圆(Ellipse)滤波器一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法响应模拟滤波器的单位脉冲:)(thadtethjHjHtjaaa)()(:)(频率响应dtethsHsHstaaa)()(:)(系统函数设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。1 1、四个技术指标、四个技术指标2aa()20lg(j)10lg(j)dB AHH 工程实际中通常用损耗函数（衰减函数）工程实际中通常用

15、损耗函数（衰减函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性来描述滤波器的幅频响应特性 损耗函数损耗函数A()是对幅频响应是对幅频响应|Ha(j)|的非线的非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。带和阻带频响特性的变化情况。截止频率称为）如：dBdBAjHcca33)(,21(1 1、四个技术指标、四个技术指标l模拟滤波器的设计指标：模拟滤波器的设计指标：p:通带截止频率通带截止频率 s:阻带截止频率阻带截止频率 p:通带最大衰减通带最大衰减 s:阻带最小衰减阻带最小衰减)1lg(20)(lg102ppapjHssasjHlg

16、20)(lg1021 1、四个技术指标、四个技术指标 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|H Ha a(j(j)|)|2 2来表示，即来表示，即 由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数是实函数，因而因而Ha(j)满足满足)()(|)(|*2jHjHjHaaa)()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH|)()()()(|)(|22 2、由幅度平方函数确定系统函数、由幅度平方函数确定系统函数l如果能由如果能由 p、p、s和和s求出求出|Ha(j)|2，那，那么就可以求出么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要，由此可求出所需

17、要的的Ha(s)。lHa(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半开平面，相应的平面的左半开平面，相应的Ha(s)的极点必然的极点必然落在右半开平面。落在右半开平面。l这就是由这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的求所需要的Ha(s)的具体的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。2 2、由幅度平方函数确定系统函数、由幅度平方函数确定系统函数二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有具有通通带内最大平坦的振幅特性带内最大平坦的振幅特性,

18、且随且随的增大，的增大，幅频幅频特性特性随随单调下降单调下降。1、原理、原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：NcajH2211)(截止频率。称为的阶次为正整数，代表滤波器式中dBNc3,巴特沃斯低通滤波器幅度特性与巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系之间的关系二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计由图可知：由图可知：的增大而减小。的单减函数，随）幅度特性是（1越大，越平坦。幅度特性，具有最大平坦的时，通带内当NjHac)()(带越陡。越大，衰减越快，过渡的增大而迅速衰减，随时，当NjHac)(最小衰减）。（阻带时的衰减称为阻带截止频

19、率当ss)(二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计 707.0)(,)(321212jHjHaac时，）当（；处衰减截止频率，在即dB3)(dB3)(cA优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位；优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位；缺点：阶次缺点：阶次N一般较大。一般较大。1)(02jHa时，）当（处无衰减；直流分量即在)(0二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计NH2c2a11|)j(|以以s替换替换j，将幅度平方函数，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数：NssHsH2caaj11)()(二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃

20、斯低通滤波器的设计l上式表明幅度平方函数有上式表明幅度平方函数有2N个极点，极点个极点，极点sk用下式表示：用下式表示：)21221(jcc21e)j()1(NkNks2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为c的圆上的圆上(该圆称该圆称为巴特沃斯圆为巴特沃斯圆)，间隔是，间隔是/Nrad。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l设设N=3，极点有，极点有6个，它们分别为：个，它们分别为：31543533421320jccjcjccjcessesesses二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l设设N=4，极点有，极点有8个，它们分别为：个，它们分

21、别为：8113892871850jcjcjcjceseseses二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l为形成为形成因果稳定因果稳定的滤波器，的滤波器，2N个极点中只取个极点中只取s平面平面左半平面左半平面的的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平，而右半平面的面的N个极点构成个极点构成Ha(s)。10ca)()(NkkNsssHa1c0cc1NkksGss归一化后的系统函数：归一化后的系统函数：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计 令令p=s/c，（，（p称为归一化复变量），则巴称为归一化复变量），则巴特沃斯滤波器的特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函

22、数归一化低通原型系统函数为：为：10a)(1)(NkkpppG称为归一化极点；，式中kNkkp,N,kp110 e21221j二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计a1212101()NNNNNGppbpbpb pb得：带入将)(pGpak归一化原型系统函数归一化原型系统函数Ga(p)的系数的系数bk，以及极点，以及极点pk，可以由表可以由表6.2.1得到。得到。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计ca

23、cNsHdBN和是根据设计指标求的设计实质上。因而巴特沃斯滤波器便可得到截止频率和阶数求出巴特沃斯滤波器的)(3的求解和、cN2NcajH2211)(由于22)(log10)(log10saspapjHjH二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计pspsNlog110110log1.01.0spNcsNcp1.021.0210)(110)(1得：阶数阶数N取大于取大于或等于或等于N的最的最小整数。小整数。NscNpcsp211.0211.0110110）（或）（得二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计3、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤、低通巴特沃斯滤波器的设计步

24、骤(1)根据技术指标根据技术指标p、p、s和和 s，求出滤波，求出滤波器的阶数器的阶数N和和c。(2)求出归一化极点求出归一化极点pk，及归一化低通原型系统，及归一化低通原型系统函数函数Ga(p)。(3)将将Ga(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数得到实际的滤波器系统函数 c|)()(asppGsH二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计例例1、已知通带截止频率、已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大，通带最大衰减衰减 p=2 dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=30 dB，按照以

25、上技术指，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解：(1)确定阶数确定阶数N和和c 25.4log110110log1.01.0pspsN取取N=5二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计skradNpcp/2755.52110211.0）（)()(1)(e ee ee10a57j456j3j254j153j0pGpppGpppppaNkk，即可求出通原型系统函数再将极点带入归一化低，可得极点为：）根据（Nkkp21221je2二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计或直接或直接查表查表可得极点：可得极点：0.3090j0.951

26、1，0.8090j0.5878,1.0000归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为式中式中,b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361012233445a1)(bpbpbpbpbppG二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计(3)去归一化去归一化将p=s/c代入Ga(p)中,得到：5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l巴特沃斯模拟滤波器的设计总结：巴特沃斯模拟滤波器的设计总结：上述归一化公式和表格是相对上述归一化公式和表格是

27、相对3dB 截止频率截止频率 给给出的。由指定的技术指标出的。由指定的技术指标 ，利用上，利用上述公式和表格进行设计时，最关键的述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波个参数是滤波器的阶数器的阶数N和和3dB 截止频率截止频率 。N用来求巴特沃思多项式，用来求巴特沃思多项式，用来去归一化，求实用来去归一化，求实际滤波器的参数。际滤波器的参数。cssPp,cc二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器 切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器采用采用切比雪夫函数切比雪夫函数来逼近给来逼近给定的指标，该函数具有定的指标，该函数具有等波纹等波纹特

28、性。它可将指标要求特性。它可将指标要求均匀发布在通带（或阻带）内，故如此设计出的滤波均匀发布在通带（或阻带）内，故如此设计出的滤波器阶数较低。器阶数较低。切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器切比雪夫切比雪夫型型切比雪夫切比雪夫型型：通带等波纹、阻带单调：通带等波纹、阻带单调：通带单调、阻带等波纹：通带单调、阻带等波纹 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器的缺点是的缺点是阶次较高阶次较高，原因是，原因是它的频率特性在通带和阻带内都是随它的频率特性在通带和阻带内都是随的增大而单调的增大而单调减小，减小，如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通带）内肯定有富裕

29、量。带）内肯定有富裕量。三、切比雪夫滤波器的设计三、切比雪夫滤波器的设计切比雪夫切比雪夫型的幅度平方函数为：型的幅度平方函数为：)/(11)(222pNaCjH为小于为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，愈大，波动幅度也愈大波动幅度也愈大;p称为通带截止频率。令称为通带截止频率。令=/p，称为，称为对对p的归一化频率。的归一化频率。CN(x)称为称为N阶切比雪夫多项式。阶切比雪夫多项式。三、切比雪夫滤波器的设计三、切比雪夫滤波器的设计设计过程：设计过程：1 1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数根据要求的滤波器指标确定波纹参数 和阶数和阶数N N。2)

30、2)求归一化传输函数求归一化传输函数 。3)3)去归一化。去归一化。将将 代入归一化原型滤波器系代入归一化原型滤波器系统函数统函数，即得到实际滤波器传输函数，即得到实际滤波器传输函数 。1101.02p)/()110/()110(1.01.0psarcharchNps)(pGapsp/)(sHa三、切比雪夫滤波器的设计三、切比雪夫滤波器的设计四、椭圆滤波器四、椭圆滤波器 椭圆椭圆(Elliptic)滤波器允许在滤波器允许在通带和阻带内通带和阻带内都有等间隔的波动，可进一步减少滤波器的阶都有等间隔的波动，可进一步减少滤波器的阶次，但通带上的相位响应非线性失真（波形）次，但通带上的相位响应非线性失

31、真（波形）较大。较大。五、三种滤波器比较五、三种滤波器比较 滤波器滤波器幅频特性幅频特性相频特性相频特性巴特沃斯巴特沃斯通带和阻带都单减通带和阻带都单减接近线性相位接近线性相位切比雪夫切比雪夫通带或阻带单减通带或阻带单减介于两者之间介于两者之间椭圆椭圆通带和阻带都波动通带和阻带都波动线性相位最差线性相位最差复杂性复杂性:在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭

32、圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。当阶数相同时，对相同的通带最大衰减当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带和阻带最小衰减最小衰减 s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪

33、夫过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。纹幅频特性。五、三种滤波器比较五、三种滤波器比较六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。低通到

34、其他各种滤波器的频率变换公式。设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是:(1)(1)通过频率变换公式，先将希望设计的滤通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；波器指标转换为相应的低通滤波器指标；(2)(2)设计相应的低通系统函数设计相应的低通系统函数Q Q(p p)；(3)(3)对对Q Q(p p)进行频率变换，得到希望设计的进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数滤波器系统函数H H(s s)。七、用七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器工具箱设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数信号处理工具箱函

35、数buttap,buttord和和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。是巴特沃斯滤波器设计函数。其其5种调用格式如下。种调用格式如下。1）Z，P,K=buttap(N)该格式用于计算该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为的零、极点和增益因子。返回长度为N的列向量的列向量Z和和P，分别给出，分别给出N个零点和极点的位置，个零点和极点的位置，K表示表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式滤波器增益。得到的系统函数为如下形式:a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G(

36、p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)2）N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算巴特沃斯该格式用于计算巴特沃斯数字数字滤波器的阶滤波器的阶数数N和和3 dB截止频率截止频率wc。调用参数。调用参数wp和和ws分分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求率的归一化值，要求0wp1，0ws1,1表示表示数字频率数字频率。Rp和和As分别为通带最大衰减和阻分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（带最小衰减（dB）。当）。当wswp时，为高通滤波时，为高通滤波器；器；当当wp和和ws为二元矢量时，为带通或带阻为二元矢量时

37、，为带通或带阻滤波器，这时滤波器，这时wc也是二元向量。也是二元向量。N和和wc作为作为butter函数的调用参数。函数的调用参数。七、用七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器工具箱设计巴特沃斯滤波器3）N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s)该格式用于计算巴特沃斯该格式用于计算巴特沃斯模拟模拟滤波器的阶数滤波器的阶数N和和3 dB截止频率截止频率wc。wp、ws和和wc是实际模拟角是实际模拟角频率（频率（rad/s）。其他参数与格式）。其他参数与格式2）相同。）相同。七、用七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器工具箱设计巴特沃斯滤波器4）B,A=

38、butter(N,wc,ftype)计算计算N阶巴特沃斯阶巴特沃斯数字数字滤波器系统函数分子和分母多滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量项式的系数向量B和和A。调用参数。调用参数N和和wc分别为巴特沃斯数分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和字滤波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值（关于截止频率的归一化值（关于归一归一化），一般按格式化），一般按格式2）调用函数）调用函数buttord计算计算N和和wc。由系。由系数向量数向量B和和A可以写出数字滤波器系统函数：可以写出数字滤波器系统函数：1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2

39、)zA(N)zA(N1)z七、用七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器工具箱设计巴特沃斯滤波器5）B,A=butter(N,wc,ftype,s)计算巴特沃斯计算巴特沃斯模拟模拟滤波器系统函数的分子和分母滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量多项式的系数向量B和和A。调用参数。调用参数N和和wc分别为巴特分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和沃斯模拟滤波器的阶数和3 dB截止频率（实际角频截止频率（实际角频率）。由系数向量率）。由系数向量B和和A写出模拟滤波器的系统函数为写出模拟滤波器的系统函数为NN 1aNN 1B(s)B(1)sB(2)sB(N)sB(N1)H(s)A(s)A

40、(1)sA(2)sA(N)sA(N1)七、用七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器工具箱设计巴特沃斯滤波器参数参数ftype区分滤波器类型。区分滤波器类型。ftype=high时，设计时，设计3 dB截止频率为截止频率为wc的的高通高通滤波滤波器。器。缺省缺省ftype时默认设计时默认设计低通低通滤波器。滤波器。ftype=stop时，设计通带时，设计通带3 dB截止频率为截止频率为wc的的带阻带阻滤波器，此时滤波器，此时wc为二元向量为二元向量wcl,wcu，wcl和和wcu分别分别为带阻滤波器的通带为带阻滤波器的通带3 dB下截止频率和上截止频率。下截止频率和上截止频率。缺

41、省缺省ftype时设计时设计带通带通滤波器，通带为频率区间滤波器，通带为频率区间wcl0,0,1,即即s平面的平面的右半平面右半平面映射到映射到z平面平面单位圆外单位圆外；r1,即即s平面的平面的左半平面左半平面映射到映射到z平面平面单位圆内单位圆内；6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器（2）与与的关系（的关系（=T）s平面宽平面宽 的水平条带对的水平条带对应应整个整个z平面。平面。),(),(TTT/2=0，=0，s平面的实轴对应平面的实轴对应 z平面正实轴；平面正实轴；表示模拟频率表示数字频率，,T6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉

42、冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 s平面宽平面宽 的水平条的水平条带，同样对应带，同样对应整个整个z平面。平面。)3,(),3,(TTT/22的周期函数，周期为是的映射是多值映射，6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器一、用模拟滤波器设计一、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器设计过程是：设计过程是：（1 1）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一变换规则变换规则转换转换成相应的模拟滤波器的性能指标。成相应的模拟滤波器的性能指标。（2 2）如要设计的不是数字）如要设计

43、的不是数字低通低通滤波器，则需将步骤（滤波器，则需将步骤（1 1）中）中变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标转换为低通性能指标。转换为低通性能指标。（3 3）设计一个过渡模拟低通滤波器）设计一个过渡模拟低通滤波器。（4 4）将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器。）将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器。（5 5）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器二、脉冲响应不

44、变法的变换原理二、脉冲响应不变法的变换原理 已知一个满足滤波器设计指标的模拟滤波器已知一个满足滤波器设计指标的模拟滤波器的冲激响应的冲激响应h ha a(t)(t)，先离散化，先离散化h ha a(t)(t)，使数字滤波器，使数字滤波器的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(n)h(n)正好等于模拟滤波器的冲激正好等于模拟滤波器的冲激响应响应h ha a(t)(t)的采样值，即的采样值，即 为采样周期TnThnha),()()()(),()(nhzHthLsHaa 从这个关系式出发，找出从这个关系式出发，找出H Ha a(s)(s)和和H(z)H(z)之间之间的关系式。的关系式。这里这里H Ha a(

45、s)(s)表示表示 h ha a(t)(t)的拉普拉斯变换，的拉普拉斯变换，H(z)H(z)表示表示h(n)h(n)的的 z z 变换，即变换，即映射关系 ：sTez ImzjRez0z 平面:j0T/3S 平面T/T/T/3二、脉冲响应不变法的变换原理二、脉冲响应不变法的变换原理数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特性之间的关系：性之间的关系：j a12(e)(jj)TkHHkTTja12(e)(j)kkHHTT上式说明，上式说明，H(eH(ejTjT)是是H Ha a(j)(j)以以2/T2/T为周期的周期延为周期的周期延拓函数（对数字频率，则是以

46、拓函数（对数字频率，则是以22为周期）。为周期）。三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠 如果模拟滤波器的频率特性是如果模拟滤波器的频率特性是带限信号带限信号，带，带限于折叠频率以内时，即限于折叠频率以内时，即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。TH/|0)j(a，如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，或采样频率不满足采样定理时将会或采样频率不满足采样定理时将会产生混叠产生混叠。由于由于实际实际的模拟滤波器，其的模

47、拟滤波器，其频率响应都不频率响应都不可能是真正带限可能是真正带限的，因而数字滤波器的频率响的，因而数字滤波器的频率响应应不可避免地存在频谱的混叠不可避免地存在频谱的混叠，从而带有一定，从而带有一定的失真。的失真。模拟滤波器频率响应在折叠频率模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰减以上衰减越大，失真越小。这时，采用脉冲响应不变法越大，失真越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。设计的数字滤波器才能得到良好的效果。三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化 脉冲响应不变法特别适用于用脉冲响应不变法特别适用于用部分分式部分分式表

48、达表达传递函数。传递函数。设模拟滤波器的传递函数只有单阶极点，设模拟滤波器的传递函数只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数且分母的阶数高于分子阶数 N NMM，则可表达，则可表达为部分分式形式：为部分分式形式：其相应的冲激响应其相应的冲激响应h ha a(t)(t)为为H Ha a(s)(s)的拉普拉斯反变换：的拉普拉斯反变换：NiiiassAsH1)(NitsiaatueAsHLthi11)()()(式中式中si 是是Ha(s)的的单阶极点。单阶极点。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应冲响应h(n)h(n)等于等于h ha a(t)(t

49、)的采样，即的采样，即NinTsianTueAnThnhi1)()()(四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化对对h(n)h(n)取取z z变换，得到数字滤波器的系统函数：变换，得到数字滤波器的系统函数：NiTsinnTsNiinnNiTsinnnNinTsinzeAzeAzeAznTueAznhzHiiii1101101111)()()()()(四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化比较两式：比较两式：NiTsizeAzHi111)(NiiiassAsH1)(。平面的单极点变换到平面的单极点即），（）（不变；）系数（TsiTsiiiieszessAzs1211四、模拟滤波器的数字

50、化四、模拟滤波器的数字化此时，)(1)(TjHTeHaj作如下修正：将会很大，为此，很大时，如果抽样频率成反比，与响应由于数字滤波器的频率)(f)(jjeHTeH)()(nTThnha，)()(TjHeHajNkTskzeTAzHk111)(四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化例题例题例例5：设模拟滤波器的系统函数为：设模拟滤波器的系统函数为 试用脉冲响应不变法设计试用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器。数字滤波器。3111)3)(1(2)(sssssH例题例题 TTNiTsiaezezzHzeAzHsssHi31111211111)(1)(31)(得由，的极点为解：243131)(1

51、)(zeeezeezTTTTT21101831.04177.01318.0)(zzzzH五、优缺点五、优缺点 脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应。全模仿模拟滤波器的冲激响应。优点：优点：（1）时域逼近好；。有线性关系与数字频率模拟频率T（2）如线性相位关系不变。缺点：缺点：存在存在频谱混叠频谱混叠，只适合，只适合带限带限的模拟滤波的模拟滤波器，如器，如低通、带通低通、带通，但不适合高通、带阻滤波器。，但不适合高通、带阻滤波器。而且对低通、带通应充分的带限。而且对低通、带通应充分的带限。6.4 6.4 用双线性变换法用双线性

52、变换法一、变换原理一、变换原理 第一步：将第一步：将整个整个s平面压缩到另一个平面压缩到另一个s1平面的一平面的一条横带里，横带的宽度为条横带里，横带的宽度为2/T；Tsez1 第二步：再通过变换第二步：再通过变换 将此横带变换到整将此横带变换到整个个z平面上去。平面上去。由此建立由此建立s平面与平面与z平面一一对应的平面一一对应的单值单值关系，关系，消除多值性，也就消除了混叠现象。消除多值性，也就消除了混叠现象。一、变换原理一、变换原理)2tan(21TTz平面11ImzjRezT/T/Tsez1一、变换原理一、变换原理 得令11,jsjs先推理先推理s与与s1之间的关系式之间的关系式TjT

53、jTjTjTjTjTTeeTeeeeTjTTTjj1111111122)cos()sin(2)2tan(2222221211TsTseeTs11112一、变换原理一、变换原理11112zzTsTsTsTsezeeTs111112中代入在从从s1s1平面转换到平面转换到z z平面，得平面，得sTsTz22或或11112)()(zzTsasHzH二、优缺点二、优缺点优点：优点：缺点：缺点：)2tan(2T没有频谱混叠。没有频谱混叠。而是没有线性关系与数字频率模拟频率,T 这种非线性关系如这种非线性关系如右图所示，表现为：右图所示，表现为：)2tan(2T0 所以，原来是所以，原来是线性相位的模拟滤

54、波器线性相位的模拟滤波器经双线性经双线性变换后得到的却是变换后得到的却是非线性数字滤波器非线性数字滤波器。在零频率附近，近似在零频率附近，近似为线性关系；随着为线性关系；随着的增的增加，非线性关系关系越来加，非线性关系关系越来越严重，造成两者的幅频越严重，造成两者的幅频响应不同（有畸变）。响应不同（有畸变）。二、优缺点二、优缺点 所以，所以，双线性变换适合用于设计双线性变换适合用于设计低通、低通、高通、带通、带阻高通、带通、带阻等等选频选频滤波器。滤波器。是目前是目前使用的最普遍、最有成效的一种设计工具。使用的最普遍、最有成效的一种设计工具。频率预校正频率预校正 模拟滤波器的频率点与数字滤波器

55、的频率点模拟滤波器的频率点与数字滤波器的频率点是非线性对应关系，应按是非线性对应关系，应按转换，称为频率预校正。转换，称为频率预校正。)2tan(2T二、优缺点二、优缺点例题例题字滤波器。利用双线性法转换成数，为模拟滤波器的系统函数、例ssH)(6a1111112112)()(zzTzzTsasHzH解：)1(15,3.01,2.07sTdBraddBradsspp波器。线性变换法设计数字滤低通滤波器，并采用双，利用巴特沃斯，要求、设计低通数字滤波器例解解：（：（1）预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为例题例题（2）设计巴特沃斯低通模拟滤波器。设计巴特沃

56、斯低通模拟滤波器。计算得 N=5.3056，取N=6；c=0.7663 rad/s 查表得Ga(p)将将p=s/c代入代入Ga(p)，去归一化得到实际的，去归一化得到实际的Ha(s)为为a2221()(0.51761)(1.1.41421)(1.93191)Gppppppp)5871.0480.1)(5871.0083.1)(5871.0396.0(2024.0)(222asssssssH例题例题（3）用双线性变换法将用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器转换成数字滤波器H(z),即即11a1211 6121212()()|0.000 7378(1)(1 1.2680.7051)(1 1.

57、0100.358)(1 0.90440.215 5)zszH zHszzzzzzz例题例题6.5 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 对于数字高通、带通和带阻的设计，通用方法对于数字高通、带通和带阻的设计，通用方法为为双线性变换双线性变换。可以借助于模拟滤波器的频率变换。可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通过双线设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。具体设计步骤：具体设计步骤：（1 1）确定所需类型数字滤波器的技术指标。确定所需类型数字滤波器的

58、技术指标。（2 2）将所需类型数字滤波器的边界频率转换成将所需类型数字滤波器的边界频率转换成相应类型模拟滤波器的边界频率，转换公式为相应类型模拟滤波器的边界频率，转换公式为（3 3）将相应类型模拟滤波器技术指标转换成将相应类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器模拟低通滤波器技术指标。技术指标。（4 4）设计模拟低通滤波器。设计模拟低通滤波器。（5 5）通过频率变换将模拟低通转换成相应类型通过频率变换将模拟低通转换成相应类型的过渡模拟滤波器。的过渡模拟滤波器。（6 6）采用双线性变换法将相应类型的过渡模拟采用双线性变换法将相应类型的过渡模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。滤波器转换成所需类

59、型的数字滤波器。21tan2T6.5 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计1、将模拟滤波器的传输函数Ha(s)转换为数字滤波器的系统函数H(z)的常用方法有两种：和 。脉冲响应不变法、双线性变换法 课堂练习2、用双线性变换法设计IIR数字滤波器的主要优点是避免了频率响应的_现象。频谱混叠 课堂练习 3、脉冲响应不变法的缺点是会产生 现象，优点是数字频率与模拟角频率成线性关系，因此适合 滤波器的设计。频谱混叠，低通和带通 课堂练习4、数字滤波器两个分支IIR和FIR中，具有递归型结构的为 滤波器，绝对稳定的是 滤波器。IIR，FIR 课堂练习课堂练习5、已知模

60、拟滤波器的系统函数为：（1）分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求对应数字滤波器的系统函数，抽样间隔T=2。（2）比较两种变换方法的优缺点。1321)(2sssHal解解:（1）脉冲响应不变法：课堂练习双线性变换法：（2）脉冲响应不变法的主要优点是模拟频率和数字频率之间的关系）脉冲响应不变法的主要优点是模拟频率和数字频率之间的关系是线性的，时域逼近好，其主要缺点是存在频谱混叠。是线性的，时域逼近好，其主要缺点是存在频谱混叠。双线性变换法的主要优点是避免了频谱混叠，其缺点是模拟频率和数双线性变换法的主要优点是避免了频谱混叠，其缺点是模拟频率和数字频率之间的关系是非线性的。字频率之间的关系是非线性的

61、。课堂练习 6、简述利用模拟滤波器设计、简述利用模拟滤波器设计IIR数字低通数字低通滤波器的步骤？滤波器的步骤？（1）确定数字低通滤波器的技术指标：确定数字低通滤波器的技术指标：通带边通带边界频率界频率p、通带最大衰减、通带最大衰减 p、阻带截止频率、阻带截止频率s、阻带最小衰减、阻带最小衰减 s。（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成相应将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。的模拟低通滤波器的技术指标。（3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。模拟低通滤波器。（4）用所选的转换方法，将模拟滤波器用所选的转换方法，将模拟滤波器Ha(s)转转换成数字低通滤波器系统函数换成数字低通滤波器系统函数H(z)。课堂练习精品课件精品课件！精品课件精品课件！l作业：课后习题 1 5、（1）（2）10