（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第二十二章 选修4系列 22.1 矩阵与变换课件

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1、第二十二章选修4系列22.1矩阵与变换高考数学高考数学1.矩阵的概念在数学中,我们把形如,这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵(matrix).记法:矩阵通常用大写的黑体拉丁字母来表示,比如A,B,C,或(aij)(其中i,j分别为元素aij所在的行和列).矩阵相等:设有两个矩阵A,B,如果它们适合如下条件:(1)A与B的行数与列数分别相等;341233 232t13 知识清单(2)A与B对应位置的元素也分别相等.则称A与B相等并记为A=B.说明:如果A=(aij)mn中行数与列数相等,即m=n,比如,则称A为m阶方矩阵或m阶方阵.方阵在矩阵理论中占有重要的地位.2.矩阵乘法定义一般地,我们规

2、定行矩阵a11,a12与列矩阵的乘法规则为a11,a12=a11b11+a12b21,二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为=.232t1121bb1121bbabcdxy abcdxy axbycxdy说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.一般地,对于平面上的任意一个向量P=,若按照对应法则T,总能对应唯一的一个向量P=,则称T为一个变换(transformation),简记为:T:(x,y)(x,y)或T:.3.几种常见的平面变换恒等变换:对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都把自己变成自己.因此,我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单

3、位矩阵,所实施的对应变换称作恒等变换.xy xyxy xy1001伸压变换:像,(m,n0,|m|,|n|1),这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称作沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.反射变换:像,这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称为反射变换矩阵,相应的变换称为反射变换.,对应于轴反射,对应于中心反射.旋转变换:矩阵通常叫做旋转变换矩阵,对应的变换称作旋转变换,其中的角叫做旋转角.100nm00110011001 1001100110011001cossinsincos投影变换

4、:像,这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的变换矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应的变换称作投影变换.切变变换:矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移|ky|个单位;当ky0时,沿x轴正方向移动;当ky0),或者方向相反(0),特别地,当=0时,特征向量就被变成了0.(3)特征多项式设是二阶矩阵A=的一个特征值,它的一个特征向量为=,则A=,即满足二元一次方程组故(*)由特征向量的定义知0,因此x,y不全为0,若要上述二元一次方程组有abcdxy xy xy xy axbyx,cxdyy,(a)xby0,cx(d)y0.不全为0的解,则必须有D=0,即=0.定义:设A=是一个二阶矩

5、阵,R,我们把多项式f()=2-(a+d)+ad-bc称为A的特征多项式.(4)求矩阵的特征值与特征向量如果是二阶矩阵A的特征值,则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根,它满足f()=0.此时,将代入二元一次方程组(*),就可以得到一组非零解,于是,非零向量即为A的属于的一个特征向量.abcdabcdabcd00 xy00 xy 求解逆矩阵求解逆矩阵求逆矩阵常用的三种方法:(1)待定系数法:设A是一个二阶可逆矩阵,则AA-1=A-1A=E(E为单位矩阵).(2)公式法:=ad-bc,记为det A,有A-1=(当且仅当det A=ad-bc0时可用).(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵

6、.abcdabcddbdetA detAcadetA detA方法技巧方法1例1 (2017江苏南通中学期中)设矩阵A=的逆矩阵为A-1,矩阵B满足AB=,求A-1,B.31 1237解析因为A=,所以|A|=-7+6=-1.由逆矩阵公式得,A-1=.因为AB=,所以B=A-1AB=.12371237723131 723131 198 矩阵变换的应用矩阵变换的应用利用矩阵求曲线方程或图形中相关点的坐标,再利用曲线或图形的性质求解相关问题.例2 (2017江苏苏北四市摸底考试)求椭圆C:+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程.2x92y4103102方法2解析设椭圆C上的点(x1,y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x,y).则=,则代入椭圆方程+=1,得x2+y2=1.所以所求曲线的方程为x2+y2=1.10310211xy111x31y2xy 11x3,y2.xy2x92y4