专题七探索问题

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1、专题七 探索问题探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力,主要主要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性探包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性探索问题索问题.(1)(1)规律探索问题，通常考查数的变化规律，然后用代数式规律探索问题，通常考查数的变化规律，然后用代数式表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值.解题时，要通过解题时，要通过观察、猜想、验证等步骤，应使所得到的规律具有普遍性，只观察、猜想、验证等步骤，应使所得到的规律具有普遍性，只有这样才能应用于解题有这样才能应用

2、于解题.(2)(2)动态探索问题，通常与几何图形有关，给出相应的背景，动态探索问题，通常与几何图形有关，给出相应的背景，设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置关系或数设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置关系或数量关系，解题时应化动为静量关系，解题时应化动为静.(3)(3)结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未知的结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未知的结论结论.解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理论解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理论证，最后作出正确的判断，切忌想当然地确定结论证，最后作出正确的判断，切忌想当然地确定结论.(4)(4)存

3、在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断的值，再作存在性的判断.规律探索问题规律探索问题【技法点拨【技法点拨】规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致地观题的一般思路是通过对所给的具体

4、的结论进行全面、细致地观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用结论，然后再给出合理的证明或加以运用.【例【例1 1】(2012(2012恩施中考恩施中考)根据表中数的排列规律，则根据表中数的排列规律，则B+D=_.B+D=_.【教你解题【教你解题】答案答案:2323【对点训练【对点训练】1.(20121.(2012凉山州中考凉山州中考)对于正数对于正数x,x,规定规定 ,例如例如:,则则f(2 012)+f(2 011)+f(2)f(2 012)+f(2 011)+f(2)=_.=_.【解

5、析【解析】1f(x)1x11114f(4),f()11454514111f(1)f(1)f()f()f()22 0112 0121111f(2 012),f()112 0122 013201212 0122 012,2 013答案：答案：2 0122 01211f(2 012)f()1,:f(2 011)f()2 01220111,f(1)f(1)1,11f(2 012)f(2 011)f(2)f(1)f(1)f()f()22 0111f()201212 011 12f(1)2 01122 012.2 同理2.(20122.(2012河北中考河北中考)某数学活动小组的某数学活动小组的2020位

6、同学站成一列做报位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加己顺序数的倒数加1,1,第第1 1位同学报位同学报 ,第第2 2位同学报位同学报 ，第第3 3位同学报位同学报 这样得到的这样得到的2020个数的积为个数的积为_._.【解析【解析】这样得到的这样得到的2020个数的积为个数的积为答案答案:21211(1)11(1)21(1)311111342021(1)(1)(1)(1)(1)221.1231920231920动态探索问题动态探索问题【技法点拨【技法点拨】动态探索问题的特点是以几何图形为

7、背景，讨论某个元素的运动态探索问题的特点是以几何图形为背景，讨论某个元素的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、面积动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、面积关系、函数关系等关系、函数关系等.在解决动态问题时，要抓住不变的量，找出在解决动态问题时，要抓住不变的量，找出其中的规律其中的规律,同时还应该考虑到，当动态元素到达某一位置时，同时还应该考虑到，当动态元素到达某一位置时，“动动”则变为则变为“静静”，从而化动为静，从而化动为静.【例【例2 2】(2011(2011河南中考河南中考)如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，BB9090，CC3030.点点D D从

8、点从点C C出发沿出发沿CACA方向方向以每秒以每秒2 2个单位长的速度向点个单位长的速度向点A A匀速匀速运动，同时点运动，同时点E E从点从点A A出发沿出发沿ABAB方向以每秒方向以每秒1 1个单位长的速度向点个单位长的速度向点B B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动动.设点设点D D，E E运动的时间是运动的时间是t t秒秒(t(t0).0).过点过点D D作作DFBCDFBC于点于点F F，连，连接接DEDE，EFEF(1)(1)求证：求证：AEAEDFDF；(2)(2)四边形四边形AEFDAEFD能够成为菱

9、形吗？如果能，求出相应的能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t t值；如值；如果不能，说明理由果不能，说明理由.(3)(3)当当t t为何值时，为何值时，DEFDEF为直角三角形？请说明理由为直角三角形？请说明理由.BC5 3，【思路点拨【思路点拨】(3)(3)分分EDF=90EDF=90，DEF=90DEF=90，EFD=90EFD=90三种情况进行讨论，三种情况进行讨论，并得出结果并得出结果.【自主解答【自主解答】(1)(1)在在DFCDFC中，中，DFCDFC9090，CC3030，DCDC2t2t，DFDFt.t.又又AEAEt t，AEAEDFDF (2)(2)能能.理由如下：理由如下

10、：ABBCABBC，DFBCDFBC，AEDF.AEDF.又又AEAEDFDF，四边形四边形AEFDAEFD为平行四边形为平行四边形.AC=2AB=10,AC=2AB=10,ADADACACDCDC10102t.2t.若使若使AEFDAEFD为菱形，则需为菱形，则需AEAEADAD，即，即t t10102t2t，解得，解得即当即当 时，四边形时，四边形AEFDAEFD为菱形为菱形.3ABBC tan305 35,310t3，10t3(3)(3)EDFEDF9090时，四边形时，四边形EBFDEBFD为矩形为矩形.在在RtRtAEDAED中，中，ADEADECC3030，ADAD2AE,2AE,

11、即即10102t2t2t2t，DEFDEF9090时，由时，由(2)(2)知知EFADEFAD，ADEADEDEFDEF9090.AA9090CC6060，ADADAEAEcos60cos60,即即 ,解得解得t=4.t=4.EFDEFD9090时，此种情况不存在时，此种情况不存在.综上所述，当综上所述，当 或或4 4时，时，DEFDEF为直角三角形为直角三角形.5t.21102tt25t2【对点训练【对点训练】3.(20113.(2011莱芜中考莱芜中考)如图，在平面直角坐如图，在平面直角坐标系中，长为标系中，长为2 2，宽为，宽为1 1的矩形的矩形ABCDABCD上有一上有一动点动点P P

12、，沿，沿ABCDAABCDA运动一周，则点运动一周，则点P P的纵坐标的纵坐标y y与与P P走过的路程走过的路程s s之间的函数关之间的函数关系式用图象表示大致是系式用图象表示大致是()()【解析【解析】选选D.D.点点P P按按ABCDAABCDA运动一周，共有四个过程，运动一周，共有四个过程，开始点开始点P P在点在点A A处其纵坐标是处其纵坐标是2 2，因此，因此A A，B B项错误；又矩形的长为项错误；又矩形的长为2 2、宽为、宽为1 1，所以四个过程中的第一个过程路程是，所以四个过程中的第一个过程路程是1 1，第二个过程，第二个过程的路程是的路程是2 2，第三个过程的路程是，第三个

13、过程的路程是1 1，第四个过程的路程是，第四个过程的路程是2 2，而，而选项选项C C中第二个过程的路程是中第二个过程的路程是3,3,因此选项因此选项C C错误错误,只有选项只有选项D D正确正确.4.(20124.(2012桂林中考桂林中考)如图如图1 1：在：在ABCABC中，中，BACBAC9090，ABABAC=6AC=6，D D为为BCBC的中点的中点.(1)(1)若若E,FE,F分别是分别是AB,ACAB,AC上的点，且上的点，且AE=CFAE=CF，求证：，求证：AEDAEDCFD;CFD;(2)(2)当点当点F,EF,E分别从分别从C,AC,A两点同时出发，以每秒两点同时出发，

14、以每秒1 1个单位长度的速个单位长度的速度沿度沿CA,ABCA,AB运动，到点运动，到点A,BA,B时停止；设时停止；设FEDFED的面积为的面积为y y，F F点运动点运动的时间为的时间为x x，求，求y y与与x x的函数关系式的函数关系式;(3)(3)在在(2)(2)的条件下，点的条件下，点F,EF,E分别沿分别沿CA,ABCA,AB的延长线继续运动的延长线继续运动(如图如图2)2)，求此时，求此时y y与与x x的函数关系式的函数关系式.【解析【解析】(1)BAC=90(1)BAC=90,AB=AC=6,D,AB=AC=6,D为为BCBC中点中点,BAD=DAC=B=C=45BAD=D

15、AC=B=C=45,AD=BD=DC,AD=BD=DC,AE=CF,AE=CF,AEDAEDCFD.CFD.(2)(2)依题意有依题意有:CF=AE=x,:CF=AE=x,AEDAEDCFD,CFD,SS四边形四边形AEDFAEDF=S=SAEDAED+S+SADFADF=S=SCFDCFD+S+SADFADF=S=SADCADC=9,=9,2EDFAEDFAEF11SSS9(6x)xx3x9,22四边形21yx3x9,x0,6.2(3)(3)依题意有：依题意有：AF=BE=x-6AF=BE=x-6，AD=DBAD=DB，ABD=DAC=45ABD=DAC=45,DAF=DBE=135DAF=

16、DBE=135,ADFADFBDE,BDE,SSADFADF=S=SBDEBDE,SSEDFEDF=S=SEAFEAF+S+SADBADB2211(x6)x9x3x9,221yx3x9,x6,).2结论探索问题结论探索问题【技法点拨【技法点拨】结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数学结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数学思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试验、思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试验、猜想、论证等方法求解猜想、论证等方法求解.这类问题的解决特别强调数形结合思想这类问题的解决特别强调数形结合思想的运用的运用.【例【例3 3】

17、(2011(2011内江中考内江中考)如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AC=2ABAC=2AB，点，点D D是是ACAC的中点，将一块锐角为的中点，将一块锐角为4545的直的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与个端点分别与A A，D D重合，连接重合，连接BEBE，ECEC试猜想线段试猜想线段BEBE和和ECEC的数的数量关系及位置关系，并证明你的猜想量关系及位置关系，并证明你的猜想【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】BE=ECBE=EC，BEEC.BEEC.证明如下：证明如下：AC=2ABAC=2AB

18、，点，点D D是是ACAC的中点，的中点，AB=AD=CD.AB=AD=CD.EAD=EDA=45EAD=EDA=45，EAB=EDC=135EAB=EDC=135，EA=EDEA=ED，EABEABEDCEDC，AEB=DECAEB=DEC，EB=ECEB=EC，BEC=AED=90BEC=AED=90，BE=ECBE=EC，BEECBEEC【对点训练【对点训练】5.(20125.(2012青岛中考青岛中考)已知：如图，已知：如图，四边形四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD交于交于点点O.BEACO.BEAC于于E E，DFACDFAC于于F F，点，点O O既是既是AC

19、AC的中点，又是的中点，又是EFEF的中点的中点.(1)(1)求证：求证：BOEBOEDOFDOF；(2)(2)若若 ，则四边形，则四边形ABCDABCD是什么特殊的四边形？说明理是什么特殊的四边形？说明理由由.1OABD2【解析【解析】(1)BEAC(1)BEAC，DFACDFAC，BEO=DFO=90BEO=DFO=90.又又EOB=FODEOB=FOD，OE=OFOE=OF，BOEBOEDOF(ASA).DOF(ASA).(2)(2)四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.BOEBOEDOFDOF，OB=ODOB=OD，又又OA=OCOA=OC，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形

20、是平行四边形,BD=ACBD=AC，ABCDABCD是矩形是矩形.11OABDOAAC22，存在性探索问题存在性探索问题【技法点拨【技法点拨】存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，这存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，这类题目的一般解题规律是：假设存在类题目的一般解题规律是：假设存在推理论证推理论证得出结论得出结论.若若能推导出合理的结论，就作出能推导出合理的结论，就作出“存在存在”的判断，若推导出不合的判断，若推导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出“不存在不存在”的判断的判断.【例【例4 4】(2011

21、(2011河源中考河源中考)如图，已知如图，已知抛物线抛物线y=xy=x2 2-4x+3-4x+3与与x x 轴交于两点轴交于两点A,BA,B，其顶点为其顶点为C.C.(1)(1)对于任意实数对于任意实数m m，点，点M(mM(m，2)2)是否是否在该抛物线上在该抛物线上?请说明理由；请说明理由；(2)(2)求证求证:ABCABC是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3)(3)已知点已知点D D在在x x轴上，那么在抛物线上是否存在点轴上，那么在抛物线上是否存在点P P，使得以，使得以B B，C C，D D，P P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点

22、P P的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】(1)(1)假如点假如点M(mM(m，-2)-2)在该抛物线上，在该抛物线上，则则-2=m-2=m2 2-4m+3,m-4m+3,m2 2-4m+5=0,-4m+5=0,由于由于=(-4)=(-4)2 2-4-41 15=-45=-40 0，此方程无实数解，所以点此方程无实数解，所以点M(mM(m，-2)-2)不在该抛物线上不在该抛物线上.(2)(2)当当y=0y=0时，时，x x2 2-4x+3=0,x-4x+3=0,x1 1=1,x=1,x2 2=3,=3,由于点由于点A A在点在点B

23、 B左侧，左侧，A(1,0),B(3,0).A(1,0),B(3,0).y=xy=x2 2-4x+3=(x-2)-4x+3=(x-2)2 2-1,-1,顶点顶点C C的坐标是的坐标是(2(2，-1)-1)，由勾股定理得，由勾股定理得，ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2,ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形.AC2,BC2,AB2，(3)(3)存在这样的点存在这样的点P.P.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P P与点与点C C的线段应被的线段应被x x轴平分，轴平分，点点P P的纵坐标是的纵坐标是1.1.

24、点点P P在抛物线在抛物线y=xy=x2 2-4x+3-4x+3上，上，当当y=1y=1时，时，即即x x2 2-4x+3=1-4x+3=1，解得解得点点P P的坐标是的坐标是 或或12x22,x22,(221)，(221).，【对点训练【对点训练】6.(20126.(2012六盘水中考六盘水中考)如图如图1 1，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=10 cm,ACAB=10 cm,AC=8 cm8 cm，BC=6 cm.BC=6 cm.如果点如果点P P由由B B点出发沿点出发沿BABA方向向点方向向点A A匀速运动，同时匀速运动，同时点点Q Q由由A A点出发沿点出发沿ACAC方向向点

25、方向向点C C匀速运动，它们的速度均为匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.2 cm/s.连接连接PQPQ，设运动时间为，设运动时间为t(t(单位：单位：s)(0t4).s)(0t4).解答下列问题：解答下列问题：(1)(1)当当t t为何值时，为何值时，PQBC.PQBC.(2)(2)设设AQPAQP的面积为的面积为S(S(单位：单位：cmcm2 2)，当，当t t为何值时，为何值时，S S取得最大值，取得最大值，并求出最大值并求出最大值.(3)(3)是否存在某时刻是否存在某时刻t t，使线段，使线段PQPQ恰好把恰好把ABCABC的面积平分？若存在，的面积平分？若存在，求出此时求出此时t

26、t的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由.(4)(4)如图如图2 2，把，把APQAPQ沿沿APAP翻折，得到四边形翻折，得到四边形AQPQAQPQ，那么是否存，那么是否存在某时刻在某时刻t,t,使四边形使四边形AQPQAQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由面积；若不存在，请说明理由.【解析【解析】(1)(1)若若PQBCPQBC，则，则AQPAQPACB.ACB.,解得解得,(s),(s),即当即当 s s时，时，PQBC.PQBC.(2)8(2)82 2+6+62 2=10=102 2，ABCABC为直角三角形为直角三角

27、形,且且C=90C=90，过点过点P P作作PHACPHAC于点于点H H，则，则PHBCPHBC，AQAP,ACAB2t102t81020t920t9于是，于是，APHAPHABC,ABC,解得解得,当当 s s时，时，S S取得最大值为取得最大值为 cmcm2 2.(3)(3)不存在不存在.理由是：若理由是：若PQPQ把把ABCABC的面积平分的面积平分即即PHAP,BCABPH102t6106PHt6.5 22116SAQ PH2t(t6)2256t6t56515(t).522 6055t2152APQABC1SS,2则则整理得，整理得，t t2 2-5t+10=0,-5t+10=0,=

28、25-40=-150,=25-40=-150,此方程无实数解此方程无实数解.不存在不存在.(4)(4)存在存在.理由是：连接理由是：连接QQ,QQ,交交APAP于点于点E E，若四边形，若四边形AQPQAQPQ是菱形，是菱形，2611t6t(6 8),522 则则QEAPQEAP，易知易知RtRtAQERtAQERtABCABC，,解得解得,(s).,(s).,存在存在.即当即当 s s时，四边形时，四边形AQPQAQPQ为菱形为菱形.此时，此时，RtRtAQERtAQERtABCABC,11AEPEAP(102t)5t.22AEAQACAB，5t2t81025t1325041325t135080AP102t10,1313AQPQ2QEAQ QE2t,BCAB61066253060QEt.QQ2QE,55131313118060SAP QQ2213132 400(cm).169 菱形