等腰三角形的判定-(2)ppt课件

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1、等腰三角形的判定(2)1一、复习引入一、复习引入定义：定义：(三线合一三线合一)等腰三角形等腰三角形有有两边相等两边相等的三角形是的三角形是等腰三角形等腰三角形。性质性质1 1：等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等。(等边对等角等边对等角)性质性质2 2：等腰三角形的底边上的中线和高线、等腰三角形的底边上的中线和高线、顶角平分线互相重合。顶角平分线互相重合。等腰三角形的判定(2)2OAB 如图，位于海上如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到两处的两艘救生船接到O处处遇险船只的报警，当时测得遇险船只的报警，当时测得A=B。如果这两艘救。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同

2、时赶到出事地点生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素（不考虑风浪因素）？）？问题情境问题情境：等腰三角形的判定(2)3探探究究新新知知 操作一操作一做一做做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？的相同吗？操作二操作二量一量，线段量一量，线段AB与与AC的长度。的长度。画画ABC.使使BC30AB=AC怎样用数怎样用数学推理进学推理进行证明呢？行证明呢？等腰三角形的判定(2)4ABCD1 2已知：如图已知：如图,在在ABC中，中，B=C。求证：求证：AB=AC你还有其你还有其他证法吗他证法吗?证明证明:作作BAC的平分线的

3、平分线AD1=2在在BAD和和CAD中中如果一个三角形有如果一个三角形有两个角相等两个角相等,那么这两那么这两 个角所对的边也相等个角所对的边也相等B=C(已知已知)1=2(已证已证)AD=AD(公共边公共边)AB=AC(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)BAD CAD(A.A.S.)等腰三角形的判定(2)5证明：作证明：作ADBC，垂足为垂足为D ADB=ADC=900在在 BAD和和CAD中，中，B=C(已知已知)ADB=ADC(已证已证)AD=AD(公共边公共边）BAD CAD（A.A.S.）AB=AC（全等三角形的对应全等三角形的对应边相等边相等）已知：如图已知：如图,在在

4、ABC中，中，B=C。求证：求证：AB=ACABCD等腰三角形的判定(2)6ABC如果一个三角形有如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么，那么这这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等几何语言：几何语言：B=C(B=C(已知已知)AB=AC(AB=AC(等角对等边等角对等边)等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：(简写成简写成“等角对等边等角对等边”)。注意：在注意：在同一个同一个三角形三角形中应用哟！中应用哟！等腰三角形的判定(2)7等腰三角形的性质与判定有区别吗等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是性质是:1.等边等边 等角等角 2.三线合一三线合一判定是判定是:等角等角 等边

5、等边等腰三角形的判定(2)8已知已知:如图如图,DEBC,1=2.,DEBC,1=2.求证求证:BD=CE.:BD=CE.证明：证明：DEBC DEBC 1=B,2=C 1=B,2=C 1=2 1=2 AD=AE(AD=AE(等角对等边等角对等边)B=C(B=C(等量代换等量代换)AB=AC(等角对等边等角对等边)AB-AD=AC-AEAB-AD=AC-AE 即即 BD=CEBD=CEB BC CE EA AD D2 21 1等腰三角形的判定(2)9已知：如图，已知：如图，ADBC，BD平分平分ABC求证：求证：AB=ADABCD证明：证明：ADBC ADBC ADB=DBC ADB=DBC

6、BD平分平分ABC ABD=DBC ABD=DBC ABD=ADB(ABD=ADB(等量代换等量代换)AB=AD(AB=AD(等角对等边等角对等边)AB=AC(等角对等边等角对等边)等腰三角形的判定(2)10已知：在已知：在ABC ABC 中，中，1=3,2=41=3,2=4，AD平分平分BACBAC。求证：。求证：ADBCADBCABCD1234证明：证明：1=3,1=3,2=42=4 1+1+2=3+42=3+4 即即 ABC=ACB ABC=ACB AB=AC(等角对等边等角对等边)AD平分平分BAC BAD=CAD BAD=CAD ADAD在等腰在等腰ABC ABC 的顶角的角平分线上

7、的顶角的角平分线上 ADBC(ADBC(等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”)等腰三角形的判定(2)11例：如图例：如图,上午上午10 10 时，一条船从时，一条船从A A处出发以处出发以2020海里海里每小时每小时的速度向正北航行，中午的速度向正北航行，中午1212时到达时到达B B处，从处，从A A、B B望灯塔望灯塔C C，测得，测得NAC=40NAC=40NBC=80NBC=80求从求从B B处到处到灯塔灯塔C C的距离的距离解：解：NAC=40NAC=40NBC=80NBC=80 C=C=NBC-NBC-NACNAC =80=80-40-40 =40 =40 C=A C=A

8、BA=BC BA=BC（等角对等边）（等角对等边）AB=20AB=20（12-1012-10）=40=40（海里）（海里）BC=40 BC=40 （海里）（海里）答：答：B B处到达灯塔处到达灯塔C C的距离为的距离为4040海里。海里。小试牛刀小试牛刀80804040NBAC北等腰三角形的判定(2)12在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABCABC和和ACBACB的平分线交于点的平分线交于点O.O.过过O O作作EFBCEFBC交交ABAB于于E E，交，交ACAC于于F.F.请你写出图中所有请你写出图中所有等腰三角形，并探究等腰三角形，并探究EFEF、BEBE、FCFC之间的关

9、系之间的关系22ABO ABO，33ACOACOOABCEF若若ABAC，其他，其他条件不变，图中条件不变，图中还有等腰三角形还有等腰三角形吗？吗？(1)中结论还中结论还成立吗？成立吗？解：解：EF=BE+CF理由如下：理由如下：ABCOEF1324 EFBCEFBC112 2，3344 BO BO、COCO分别平分分别平分ABCABC、ACBACB11ABO 4ABO 4ACOACOBEBEEO FC=FOEO FC=FO(等角对等边等角对等边)EF=EO+FO EF=EO+FOEFEFBE+FCBE+FC等腰三角形的判定(2)13求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三求证：如果三角形一个

10、外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。EBADC21已知：如图，已知：如图，CAE是是ABC的外角，的外角，1=2，ADBC求证：求证：AB=AC分析：要证分析：要证AB=AC，就要证，就要证B=C，而已，而已知有知有1=2，只要找出，只要找出B、C与与1、2的关系就可以了。的关系就可以了。等腰三角形的判定(2)14解：解：ADBC1=B(两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）2 C(两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）1=2 B C(等量代换等量代换)AB=AC(等角对等边等角对等边）EBADC21已知：如图

11、，已知：如图，CAE是是ABC的外角，的外角，1=2，ADBC。求证：。求证：AB=AC等腰三角形的判定(2)15ABC从以上讲解我们可以得到什么结论？从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在已知：在ABCABC中，中，A=B=CA=B=C求证：求证：AB=AC=BCAB=AC=BC等腰三角形的判定(2)16这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。推论推论1 1：三个角都相等三个角都相等的三角形是的三角形是等边三角形等边三角形。等腰三角形的判定(2)17符号语言：符号语言：在在ABC 中，中，A=B=C，ABC 是等边三角形是等边三角形细心观察，探索性质细心观察

12、，探索性质等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 C A B 等腰三角形的判定(2)18ABC6060你又可以得到什么？你又可以得到什么？已知：在等腰已知：在等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=60A=60(或者或者B=60B=60）求证：求证：AB=AC=BCAB=AC=BC等腰三角形的判定(2)19推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。这是由判定定理推导出的又一个定理，这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法。外一种方法。等腰三

13、角形的判定(2)20等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理2：有一个角为有一个角为60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 C A B 符号语言：符号语言：在在ABC 中，中，BC=AC，A=60ABC 是等边三角形是等边三角形等腰三角形的判定(2)21证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，A=B=C=60 DEBC，ADE=B=60 ，AED=C=60 A=ADE=AED=60 ADE 是等边三角形是等边三角形ABC 是等边三角形，是等边三角形，DEBC,分别交分别交AB，AC 于点于点D，E求证：求证：ADE 是等边三角形是等边三角形.ABCDE等腰三角形的判定(2

14、)22证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，A=ABC=ACB=60 DEBC ABC=D=60 ACB=E=60 A=D=E=60 ADE 是等边三角形是等边三角形动脑思考，变式训练动脑思考，变式训练变式变式1：若点若点D、E 在边在边AB、AC 的延长线上，的延长线上，且且 DEBC，结论还成立吗？，结论还成立吗？ADEBC等腰三角形的判定(2)23变式变式2：若点若点D、E 在边在边AB、AC 的反向延长线的反向延长线上，且上，且DEBC，结论依然成立吗？，结论依然成立吗？证明证明：ABC 是等边三角形是等边三角形 BAC=B=C=60 DEBC B=D=60 C=E=60 E

15、AD=D=E=60 ADE 是等边三角形是等边三角形ADEBC等腰三角形的判定(2)24证明：证明：延长延长BC 到到D，使，使BD=AB，连结，连结AD，AAC B=90，BBAC=30,B=180=180-A-ACB -BACBAC =180 =180-90-90-30-30 =60ABD 是等边三角形是等边三角形(有一个角等于有一个角等于60的等腰三的等腰三角形是等边三角形角形是等边三角形)由等边三角形的性质可知，由等边三角形的性质可知，AC 也是也是BD 边上的中线，边上的中线，已知：如图，在已知：如图，在RtABC 中，中，C=90，A=30.求证：求证：BC=AB21ABCD 21

16、21BC=BD=AB 追问：你还能用其他方追问：你还能用其他方法证明吗？法证明吗？3060等腰三角形的判定(2)25证明：证明：作作BCE=60，交，交AB于于E，连结，连结CE，ACACB=90 ACE=90-60=30在在A ABC中中ACB=90，A=30B=90=90-A=-A=60 在在BCE 中，中，BCE=60,B=60BEC=BCE=B=60BEC=BCE=B=60BCE 是等边三角形是等边三角形BC=BE=CEEABC已知：在已知：在RtABC 中，中，C=90，A=30.求证：求证：BC=AB21在在ACE 中，中，A=30，ACE=30AEC是等腰三角形是等腰三角形CE=

17、AEBC=BE=CE=AE21BC=AB 60303060等腰三角形的判定(2)26符号语言：符号语言：在在RtABC 中，中，C=90，A=30，动手操作，探索性质动手操作，探索性质在直角三角形中，在直角三角形中，如果如果一个锐角等于一个锐角等于30，那么它那么它所对的直角边所对的直角边等于等于斜边的一半斜边的一半.ABCBC=AB2130等腰三角形的判定(2)275课堂练习课堂练习练习练习1如图，在如图，在ABC 中，中，C=90，A=30，AB=10，则，则BC 的长为的长为 A B C 30等腰三角形的判定(2)281课堂练习课堂练习练习练习2如图，在如图，在ABC 中，中，ACB=9

18、0，CD 是是 高，高，A=30，AB=4则则BD=.A B C D 30426030等腰三角形的判定(2)29 如图，已知如图，已知P P、Q Q是是ABCABC的边的边BCBC上两点，并且上两点，并且BPBPPQPQQCQCAPAPAQAQ，求，求BACBAC的大小的大小X0X02X0X02X02X0X0X0+X0+2X0+X0+X0=1800解得解得 X0=300 BACBAC=4300=1200等腰三角形的判定(2)30 如图，已知如图，已知P P、Q Q是是ABCABC的边的边BCBC上两点，并且上两点，并且BPBPPQPQQCQCAPAPAQAQ，求，求BACBAC的大小的大小解：

19、解：PQ=AP=AQPQ=AP=AQ PAQ=APQ=AQP=60 PAQ=APQ=AQP=600 0B+BAP=APQ=60B+BAP=APQ=600 0 C+CAQ=AQP=60 C+CAQ=AQP=600 0AP=BP,QC=AQ,AP=BP,QC=AQ,B=B=BAPBAP=30=300 0 C=C=CAQCAQ=30=300 0，BAC=BAP+PAQ+CAQ=30BAC=BAP+PAQ+CAQ=300 0+60+600 0+30+300 0=1201200 0等腰三角形的判定(2)311 1、如图，、如图，A=36A=36，DBC=36DBC=36，C=72C=72。分别计算。分别

20、计算1 1、2 2的度数，的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。并说明图中有哪些等腰三角形。7272等腰三角形有：等腰三角形有：ABCABC，ABDABD，BCDBCD。3636363672723636等腰三角形的判定(2)322 2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？部分是一个等腰三角形吗？解解：根据题意，得根据题意，得D=D=F F，AD=CFAD=CF在在DEA和和FEC中中ABCDEABCDEFDEA=DEA=FEC(FEC(对顶角相等对顶角相等)D=D=F(F(已证已证)AD=CF(AD=CF(已证已证)DEA FEC

21、(A.A.S.)EA=EC(全等三角形的对应全等三角形的对应边相等边相等)AEC是等腰三角形是等腰三角形等腰三角形的判定(2)333 3、如图，、如图，ACAC和和BDBD相交于点相交于点OO，且，且ABDCABDC，OA=OBOA=OB。求证：求证：OC=ODOC=OD。等腰三角形的判定(2)34BADC5 5、已知：如图，、已知：如图，AD BCAD BC，BDBD平分平分ABCABC。求证：求证：AB=ADAB=AD证明：证明：AD BC AD BC ADB=DBC ADB=DBC BD BD平分平分ABCABC ABD=DBC ABD=DBC ABD=ADB ABD=ADB AB=AD AB=AD4 4、已知：如图，、已知：如图，CDCD是等腰直角三是等腰直角三角形角形ABCABC斜边上的高，找出图中有斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。哪些等腰直角三角形。等腰直角三角形有：等腰直角三角形有：ABC ABC，ACD ACD，BCDBCD。ACDB