辐射换热理论基础课件

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1、6-1 热辐射的基本概念热辐射的基本概念1.热辐射定义及特点热辐射定义及特点(1)(1)定义定义：由：由热运动产生热运动产生的，以的，以电磁波形式电磁波形式传递的能量；传递的能量；(2)(2)特点特点：a 任何物体，只要温度高于任何物体，只要温度高于0 0 K，就会不停地向周，就会不停地向周围空间发出热辐射；围空间发出热辐射；b 可以在真空中传播；可以在真空中传播；c 伴随能量形伴随能量形式的转变；式的转变；d 具有强烈的方向性；具有强烈的方向性；e 辐射能与温度和波长辐射能与温度和波长均有关；均有关；f 发射辐射取决于温度的发射辐射取决于温度的4次方。次方。2.电磁波谱电磁波谱电磁辐射包含了

2、多种形式，如图电磁辐射包含了多种形式，如图6-16-1所示，而我们所感兴趣所示，而我们所感兴趣的，即工业上有实际意义的热辐射区域一般为的，即工业上有实际意义的热辐射区域一般为0.11000.1100mm。电磁波的传播速度：电磁波的传播速度：c=f 式中：式中：f 频率频率,波长，波长，m电电 磁磁 辐辐 射射 波波 谱谱图6-1当热辐射投射到物体表面上时，一般当热辐射投射到物体表面上时，一般会发生三种现象，即会发生三种现象，即吸收吸收、反射反射和和穿穿透透，如图，如图6.5-2所示。所示。11QQQQQQQQQQ3.3.物体对热辐射的吸收、反射和穿透物体对热辐射的吸收、反射和穿透 图图6.26

3、.2物体对热辐射物体对热辐射的吸收反射和穿透的吸收反射和穿透对于大多数的固体和液体：对于大多数的固体和液体：对于不含颗粒的气体：对于不含颗粒的气体：对于黑体：对于黑体：镜体或白体：镜体或白体：1111,01,0透明体：透明体：反射又分镜反射和漫反射两种反射又分镜反射和漫反射两种图图6-3 镜反射镜反射图图6-4 漫反射漫反射1.1.黑体概念黑体概念黑体：黑体：是指是指能吸收投射到其面能吸收投射到其面上的所有热辐射能的物体上的所有热辐射能的物体，是，是一种科学假想的物体，现实生一种科学假想的物体，现实生活中是不存在的。但却可以人活中是不存在的。但却可以人工制造出近似的工制造出近似的人工黑体人工黑

4、体。图图6-5 6-5 黑体模型黑体模型6-2 黑体辐射的基本定律黑体辐射的基本定律辐射力辐射力E E：单位时间内，物体的单位表面积向半球空间发射的所有波单位时间内，物体的单位表面积向半球空间发射的所有波长的能量总和。长的能量总和。(W/m2)；光谱辐射力光谱辐射力E E：单位时间内，单位波长范围内单位时间内，单位波长范围内(包含某一给定波长包含某一给定波长)，物体，物体的单位表面积向半球空间发射的能量。的单位表面积向半球空间发射的能量。(W/m3)；2.2.热辐射能量的表示方法热辐射能量的表示方法E、E关系关系:显然，显然，E和和E之间具有如下关系：之间具有如下关系：dEE0黑体一般采用下标

5、黑体一般采用下标b表示，如黑体的辐射力为表示，如黑体的辐射力为Eb，黑体的黑体的光谱辐射力光谱辐射力为为Eb3.黑体辐射的三个基本定律及相关性质黑体辐射的三个基本定律及相关性质 1)(512TcbecE式中，式中，波长，波长，m m；T T 黑体温度，黑体温度，K K；c c1 1 第一辐射常数，第一辐射常数，3.7423.7421010-16-16 W W m m2 2；c c2 2 第二辐射常数，第二辐射常数，1.43881.43881010-2-2 m m K K；(1)Planck(1)Planck定律定律(第一个定律第一个定律)：图图6-66-6是根据上式描绘的是根据上式描绘的黑黑体

6、光谱辐射力体光谱辐射力随波长和温随波长和温度的依变关系。度的依变关系。mm与与T T 的关系由的关系由WienWien位移位移定律给出，定律给出，KmTm3108976.2图图6-6 Planck 定律的图示定律的图示8 如不是黑体，则不完全遵守这个定律，但其变化方向是如不是黑体，则不完全遵守这个定律，但其变化方向是相同的，例如金属：相同的，例如金属：当当T T500500C C时，没有可见光，颜色不时，没有可见光，颜色不变；变；T T 增大，其颜色分别为暗红、鲜红、桔黄和白色增大，其颜色分别为暗红、鲜红、桔黄和白色(色温现色温现象象)。用于判断被加热物体的温度。用于判断被加热物体的温度。ma

7、xmax=2.8976=2.8976 1010-3-3/2000=1.45/2000=1.45 maxmax=2.8976=2.8976 1010-3-3/5800=0.50/5800=0.50(2)Stefan-Boltzmann(2)Stefan-Boltzmann定律定律(第二个定律第二个定律)：21dEEbb40)(51012TdecdEETcbb式中，式中，=5.66=5.661010-8-8 w/(m w/(m2 2 K K4 4)，是，是Stefan-BoltzmannStefan-Boltzmann常数。常数。(3)(3)黑体辐射函数黑体辐射函数黑体在波长黑体在波长11和和22

8、区段区段内所发射的辐射力，如图内所发射的辐射力，如图6-76-7所示：所示：图图6-7 6-7 特定波长区段内的特定波长区段内的 黑体辐射力黑体辐射力定义：球面面积除以球半径的平方称为定义：球面面积除以球半径的平方称为立体角立体角，单位：，单位：sr(球面度球面度)，如图，如图6-8和和6-9所示：所示：ddsindd2rAc(4)(4)立体角立体角用用黑体辐射函数黑体辐射函数表示波段区间的辐射能表示波段区间的辐射能:)()(1112)0()0(00440)(1212212121TfTfFFdEdETdETdEdEFbbbbbbbb图图6-8 6-8 立体角定义图立体角定义图图图6-9 6-9

9、 计算微元立体角的几何关系计算微元立体角的几何关系定义：定义：单位时间内单位时间内，物体，物体在垂直发射方向的单位面积上在垂直发射方向的单位面积上，在，在单位立体角内单位立体角内发射的一切波长的能量，参见图发射的一切波长的能量，参见图6-106-10。dcosd),(d),(AL(5)(5)定向辐射强度定向辐射强度L L(,)：图图6-10 6-10 定向辐射强度定向辐射强度 的定义图的定义图(6)Lambert 定律定律(黑体辐射的第黑体辐射的第 三个基本定律三个基本定律)cosdd),(dLA它说明它说明黑体的定向辐射随天顶角黑体的定向辐射随天顶角 呈余弦规律变化呈余弦规律变化，见图，见图

10、6-11，因此，因此，Lambert定律也称为定律也称为余弦定律余弦定律。图图6-11 Lambert6-11 Lambert定律图示定律图示LLEdcos2沿半球方向积分上式，可获得了半球辐射强度沿半球方向积分上式，可获得了半球辐射强度E:E:说明：说明：黑体的定向辐射强度为其总辐射能力的黑体的定向辐射强度为其总辐射能力的1/倍。倍。6-3 实际固体和液体的辐射特性实际固体和液体的辐射特性1 发射率发射率 前面定义了黑体的发射特性：前面定义了黑体的发射特性：同温度下，黑体发射热同温度下，黑体发射热辐射的能力最强，包括所有方向和所有波长辐射的能力最强，包括所有方向和所有波长；真实物体表面的发射

11、能力低于同温度下的黑体；真实物体表面的发射能力低于同温度下的黑体；因此，定义了因此，定义了发射率发射率(也称为也称为黑度黑度)：相同温度下，相同温度下，实际物体的半球总辐射力与黑体半球总辐射力之比实际物体的半球总辐射力与黑体半球总辐射力之比:4TEEEb上面公式只是针对方向和光谱平均的情况，但实际上，真实上面公式只是针对方向和光谱平均的情况，但实际上，真实表面的发射能力是随表面的发射能力是随方向方向和和光谱光谱变化的。变化的。WavelengthDirection(angle from the surface normal)因此，我们需要定义因此，我们需要定义方向光谱发射率方向光谱发射率，对于

12、某一指定的方向，对于某一指定的方向(,)和波长和波长 T,T,T,blackbody,emitted actual,LL)()T,(T,T,T,0blackbody,0emitted actual,TLLdLdLb对上面公式在所有波长范围内积分，可得到对上面公式在所有波长范围内积分，可得到方向总发射率方向总发射率，即即实际物体的定向辐射强度实际物体的定向辐射强度与与黑体的定向辐射强度黑体的定向辐射强度之比：之比：bbLLLL)()()()(对应于黑体的辐射力对应于黑体的辐射力Eb，光谱辐射力，光谱辐射力Eb 和定向辐射强度和定向辐射强度L，分别引入了三个修正系数，即，分别引入了三个修正系数，即

13、，发射率发射率，光谱发射率光谱发射率()和和定定向发射率向发射率()，其表达式和物理意义如下，其表达式和物理意义如下40)(TdEEEbb实际物体的辐射力与实际物体的辐射力与黑体辐射力之比黑体辐射力之比:实际物体的光谱辐射实际物体的光谱辐射力与黑体的光谱辐射力与黑体的光谱辐射力之比：力之比：bEE)(实际物体的定向辐射实际物体的定向辐射强度与黑体的定向辐强度与黑体的定向辐射强度之比：射强度之比：漫发射漫发射的概念：的概念：表面的定向发射率表面的定向发射率 ()与方向无关，即定向与方向无关，即定向辐射强度与方向无关辐射强度与方向无关，满足上述规律的表面称为，满足上述规律的表面称为漫发射面漫发射面

14、，这是对大多数实际表面的一种很好的近似。这是对大多数实际表面的一种很好的近似。图图6-15 几种金属导体在不同方向上的定向发射率几种金属导体在不同方向上的定向发射率()(t=150)图图6-16 几种非导电体材料在不同方向上的定向发射率几种非导电体材料在不同方向上的定向发射率()(t=093.3)前面讲过，前面讲过，黑体黑体、灰体灰体、白体白体等都是等都是理想物体，而实际物体的辐射特性并理想物体，而实际物体的辐射特性并不完全与这些理想物体相同，比如，不完全与这些理想物体相同，比如，(1)(1)实际物体的辐射力与黑体和灰体实际物体的辐射力与黑体和灰体的辐射力的差别见图的辐射力的差别见图6-176

15、-17；(2)(2)实际实际物体的辐射力并不完全与热力学温度物体的辐射力并不完全与热力学温度的四次方成正比的四次方成正比；(3)(3)实际物体的定实际物体的定向辐射强度也不严格遵守向辐射强度也不严格遵守LambertLambert定定律律，等等。所有这些差别全部归于上，等等。所有这些差别全部归于上面的系数，因此，他们一般需要实验面的系数，因此，他们一般需要实验来确定，形式也可能很复杂。在工程来确定，形式也可能很复杂。在工程上一般都将真实表面假设为上一般都将真实表面假设为漫发射面漫发射面。图图6-17 实际物体、黑体实际物体、黑体和灰体的辐射能量光谱和灰体的辐射能量光谱本节中，还有几点需要注意本

16、节中，还有几点需要注意 将不确定因素归于修正系数，这是由于热辐射非常复杂，将不确定因素归于修正系数，这是由于热辐射非常复杂，很难理论确定，仅是一种权宜之计；很难理论确定，仅是一种权宜之计；服从服从LambertLambert定律的表面称为漫射表面。虽然实际物体的定律的表面称为漫射表面。虽然实际物体的定向发射率并不完全符合定向发射率并不完全符合LambertLambert定律，但仍然定律，但仍然近似地认近似地认为大多数工程材料服从为大多数工程材料服从LambertLambert定律定律；1.1.物体表面的发射率取决于物质种类、表面温度和表面状况。物体表面的发射率取决于物质种类、表面温度和表面状况

17、。这说明这说明发射率只与发射辐射的物体本身有关，而不涉及外发射率只与发射辐射的物体本身有关，而不涉及外界条件界条件。6-4 6-4 实际固体的吸收比和基尔霍夫定律实际固体的吸收比和基尔霍夫定律 上一节简单介绍了实际物体的发射情况，那么当外界的上一节简单介绍了实际物体的发射情况，那么当外界的辐射投入到物体表面上时，该物体对辐射投入到物体表面上时，该物体对投入辐射投入辐射吸收的吸收的情况又是如何呢？本节将对其作出解答。情况又是如何呢？本节将对其作出解答。Semi-transparent medium1.1.投入辐射投入辐射：单位时间内投射到单位表面积上的总辐射能：单位时间内投射到单位表面积上的总辐

18、射能 2.2.选择性吸收选择性吸收：投入辐射本身具有光谱特性，因此，实际：投入辐射本身具有光谱特性，因此，实际 物体对投入辐射的吸收能力也根据其波长的不同而变物体对投入辐射的吸收能力也根据其波长的不同而变 化，这叫化，这叫选择性吸收选择性吸收3.3.吸收比吸收比：物体对投入辐射所吸收的百分数，通常用：物体对投入辐射所吸收的百分数，通常用 表表 示示，即，即)(投入辐射投入的能量吸收的能量首先介绍几个概念：首先介绍几个概念：(4)光谱吸收比光谱吸收比：物体对某一特定波长的辐射能所吸收：物体对某一特定波长的辐射能所吸收的百分数，也叫的百分数，也叫单色吸收比单色吸收比。光谱吸收比随波长的变光谱吸收比

19、随波长的变化体现了实际物体的选择性吸收的特性化体现了实际物体的选择性吸收的特性。能量投入的某一特定波长的能量吸收的某一特定波长的),(1T图图6-19和和6-20分别给出了室温下几种材料的光谱吸收比同分别给出了室温下几种材料的光谱吸收比同波长的关系。波长的关系。图图6-19 金属导电体的光谱吸收比同波长的关系金属导电体的光谱吸收比同波长的关系图图6-19 6-19 非导电体材料的光谱吸收比同波长的关系非导电体材料的光谱吸收比同波长的关系灰体灰体：光谱吸收比与波长无关的物体称为灰体。此时，不：光谱吸收比与波长无关的物体称为灰体。此时，不管投入辐射的分布如何，管投入辐射的分布如何，吸收比吸收比 都

20、是同一个常数都是同一个常数。根据前面的定义可知，物体的吸收比除与根据前面的定义可知，物体的吸收比除与自身表面性质自身表面性质及及温温度度有关外，还与有关外，还与投入辐射按波长的能量分布投入辐射按波长的能量分布有关。设下标有关。设下标1 1、2 2分别代表所研究的物体和产生投入辐射的物体，则物体分别代表所研究的物体和产生投入辐射的物体，则物体1 1的的吸收比为吸收比为)21,(d)(),(d)(),(),(2102202211的性质表面的性质，表面投入的总能量吸收的总能量TTfTETTETTbb如果投入辐射来自黑体，由于如果投入辐射来自黑体，由于 ，则上式可变为，则上式可变为1),(2Tb)1,

21、(d)(),(d)(d)(),(d)(),(d)(),(),(21420210202102202211的性质表面TTfTTETTETETTETTETTbbbbbbb图图6-21 6-21 物体表面对黑体辐射的吸收比与温度的关系物体表面对黑体辐射的吸收比与温度的关系 1859 1859年，年，Kirchhoff Kirchhoff 用热力学方法回答了这个问题，用热力学方法回答了这个问题，从而提出了从而提出了Kirchhoff Kirchhoff 定律定律。bbEEEE发射辐射发射辐射与与吸收辐射吸收辐射之间具有什么样的联系：之间具有什么样的联系：此即此即Kirchhoff Kirchhoff 定

22、律的表达式之一。该式说明，定律的表达式之一。该式说明，在热力在热力学平衡状态下，物体的吸收率等与它的发射率学平衡状态下，物体的吸收率等与它的发射率。但该式。但该式具有如下具有如下限制限制：整个系统处于热平衡状态；整个系统处于热平衡状态；如物体的吸收率和发射率与温度有关，则二者只有处于如物体的吸收率和发射率与温度有关，则二者只有处于同一温度下的值才能相等；同一温度下的值才能相等；(1)(1)投射辐射源必须是同温度下的黑体投射辐射源必须是同温度下的黑体。为了将为了将Kirchhoff Kirchhoff 定律推向实际的工程应用，人们考察、定律推向实际的工程应用，人们考察、推导了多种适用条件，形成了

23、推导了多种适用条件，形成了该定律不同层次上的表达该定律不同层次上的表达式式，见表，见表6-26-2。层层 次次数学表达式数学表达式成立条件成立条件光谱，定向光谱，定向光谱，半球光谱，半球全波段，半球全波段，半球无条件，无条件，为天顶角为天顶角漫射表面漫射表面与黑体处于热平衡或对与黑体处于热平衡或对漫灰表面漫灰表面),(),(TT),(),(TT)()(TT表表6-2 6-2 KirchhoffKirchhoff 定律的不同表达式定律的不同表达式注：注：漫射表面漫射表面：指发射或反射的定向辐射强度与空间方向无：指发射或反射的定向辐射强度与空间方向无关，即符合关，即符合LambertLambert

24、定律的物体表面；定律的物体表面；(1)(1)灰体灰体：指：指光谱吸收比与波长无关的物体光谱吸收比与波长无关的物体，其发射和吸收，其发射和吸收辐射与黑体在形式上完全一样，只是减小了一个相同的辐射与黑体在形式上完全一样，只是减小了一个相同的比例。比例。6-5 6-5 角系数的定义、性质及计算角系数的定义、性质及计算 前面讲过，前面讲过，热辐射的发射和吸收均具有空间方向特性热辐射的发射和吸收均具有空间方向特性，因，因此，表面间的辐射换热与此，表面间的辐射换热与表面几何形状、大小和各表面的相表面几何形状、大小和各表面的相对位置对位置等几个因素均有关系，这种因素常用等几个因素均有关系，这种因素常用角系数

25、角系数来考虑。来考虑。1.1.角系数的定义角系数的定义 在介绍角系数概念前，要先温习两个概念在介绍角系数概念前，要先温习两个概念(1)(1)投入辐射投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能，记为：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能，记为G G。下面介绍角系数的概念及表达式。下面介绍角系数的概念及表达式。(1)角系数角系数：有两个表面，编号为：有两个表面，编号为1和和2，其间充满透明介，其间充满透明介质，则表面质，则表面1对表面对表面2的角系数的角系数X1,2是：是：表面表面1 1直接投射到表直接投射到表面面2 2上的能量，占表面上的能量，占表面1 1辐射能量的百分比辐射能量的百分比。即

26、。即(2)有效辐射有效辐射：单位时间内离开单位：单位时间内离开单位面积的总辐射。包括了自身的发面积的总辐射。包括了自身的发射辐射射辐射E和反射辐射和反射辐射 G。G为投为投射辐射。射辐射。的有效辐射表面的投入辐射对表面表面1212,1X同理，也可以定义表面同理，也可以定义表面2对表面对表面1的角系数。角系数的应用的角系数。角系数的应用是有一定限制条件的，即是有一定限制条件的，即漫射面、等温、物性均匀漫射面、等温、物性均匀(6-1)351111cos21ddALddAdA两个微元表面两个微元表面d dA A1 1和和d dA A2 2，则，则2212cosdAdr 212121222111cos

27、coscoscos21dAdArLrdAdALddAdA(2)(2)微元面对微元面的角系数微元面对微元面的角系数362121coscos12rdAXdAdA同理同理可见可见2212121coscos1221rdAdAXdAXdAdAdAdAdA如果表面如果表面d dA A1 1是漫射表面（满足是漫射表面（满足LambertLamberts Laws Law）11LE2221coscos21rdAXdAdA表面表面d dA A1 1发出的能量发出的能量111dAEddA221211coscos12121dArELddXdAdAdAdAdA(6-2a)(6-2b)37(3)(3)微元面对面的角系数

28、微元面对面的角系数 由角系数的定义可知，微元面由角系数的定义可知，微元面dAdA1 1对面对面A A2 2的角系数为的角系数为22121,21,222coscosdddAAXXdAr11,21,2AdddXX微元面微元面dAdA2 2对面对面A1A1的角系数则为的角系数则为(6-3a)(6-3b)38表面对表面表面对表面 12122121212121coscosAAAAdAdAAAdAdArLd 1221121211111AAdAdAAAAAAddAEX 12212121coscos11AAdAdArA同理同理 1212212122coscos11AAAAdAdArAX二式比较二式比较1221

29、21AAAAXAXA 角系数的二个条件：漫射，角系数的二个条件：漫射，L L均匀分布均匀分布 黑体和灰体都满足黑体和灰体都满足 实际物体当灰体，这样处理误差不大实际物体当灰体，这样处理误差不大 此时，角系数只是几何量此时，角系数只是几何量(4)(4)面对面的角系数面对面的角系数(6-4a)(6-4b)2.2.角系数性质角系数性质根据角系数的定义和诸解析式，可导出角系数的代数性质。根据角系数的定义和诸解析式，可导出角系数的代数性质。(1)(1)相对性相对性 由式由式(6-2a)(6-2a)和和(6-2b)(6-2b)可以看出可以看出1,222,11ddddddXAXA22111,2coscosd

30、rAXdd22121b11112,1coscosddEddcosrAAALXbdd 由式由式(6-4a)(6-4a)和和(6-4b)(6-4b)也可以看出也可以看出1,222,11XAXA 以上性质被称为角系数的以上性质被称为角系数的相对性相对性。1212121,221coscosd d1AAA AXAr 1212122,122coscosd d1AAA AXAr niinXXXXX1,1,13,12,11,11上式称为角系数的完整性。若表面上式称为角系数的完整性。若表面1 1为非凹表面时，为非凹表面时，X X1,11,1=0=0。图图6.5-3 角系数的完整性角系数的完整性(2)(2)完整性

31、完整性 对于由对于由n n个表面组成的封闭系统，据能量守恒可得个表面组成的封闭系统，据能量守恒可得:42niiXX12,12,1值得注意的是，图中的表面值得注意的是，图中的表面2 2对表面对表面1 1的角系数不存在上述的的角系数不存在上述的可加性。可加性。(3)(3)可加性可加性 如图所示，表面如图所示，表面2 2可分为可分为a a和和b b两个面，当然也可以分两个面，当然也可以分 为为n n个面，则角系数的可加性为个面，则角系数的可加性为图图6.5-4 角系数的可加性角系数的可加性图图6.5-4 角系数的可加性角系数的可加性BABbAbbBAXXXXEAXEAXEA2,12,12,12,11

32、12,1112,1112,12,12,12,1,1,1222,12,12,122,1,1,122ABbAbABbBABABA E XA E XA E XAAXXXAA 再来看一下再来看一下2 2 对对 1 1 的的能量守恒情况能量守恒情况:3 3 角系数的计算方法角系数的计算方法 求解角系数的方法通常有求解角系数的方法通常有直接积分法直接积分法、代数分析法代数分析法、几几何分析法何分析法以及以及Monte-CarloMonte-Carlo法法。直接积分法的结果见公式。直接积分法的结果见公式(6-(6-2)-(6-4)2)-(6-4)。下面只给出代数分析法。下面只给出代数分析法。代数分析法代数分

33、析法是利用角系数的各种性质，获得是利用角系数的各种性质，获得一组代数一组代数方程方程，通过求解获得角系数通过求解获得角系数。值得注意的是，。值得注意的是，(1)(1)利用该方利用该方法的前提是法的前提是系统一定是封闭的，如果不封闭可以做假想面，系统一定是封闭的，如果不封闭可以做假想面，令其封闭令其封闭；(2)(2)凹面的数量必须与不可见表面数相等凹面的数量必须与不可见表面数相等。45例：三个非凹表面构成的封闭系统，如图例：三个非凹表面构成的封闭系统，如图完整性完整性：1112.31.33.21.23.12.1XXXXXX相对性相对性：2.333.221.333.111.222.11XAXAXA

34、XAXAXA六个方程六个未知数可解得：六个方程六个未知数可解得：132113212.122llllAAAAX(1)(1)代数分析法代数分析法46例：任意两个不相交非凹表面，如图例：任意两个不相交非凹表面，如图做辅助线做辅助线acac，bdbd由完整性：由完整性：1.bdabacabcdabXXX或或1.2.1abacabbdXXX 再作辅助线再作辅助线adad、bcbc，则成为两个三表面封闭系统。，则成为两个三表面封闭系统。abbcacabXacab2.abadbdabXbdab2.于是于是abadbdababbcacabX2212.1222ab ab ac bc ab bd adbc ad ac bdabab的长度表面不交线之和交叉线之和12 A1A247(3)(3)图图表法（法（p157p157）将常见结构做成图以便查阅将常见结构做成图以便查阅(2)(2)积分法积分法直接用角系数的公式进行积分得出，此法较繁琐，应用不多。直接用角系数的公式进行积分得出，此法较繁琐，应用不多。