数理方法习题解答

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1、数理方法习题解答课后习题答案 ze P60解 51/z1-n-n+5=zz=zn=0n!n=0 51111111=-=-222()z-1zz-11+z-1()zz-1z()1+z-1解 1/(1+x)=1-x+x-x+L+(-1)x+L=(-1)xn23nnnn=01(1+x)21k+1n+2k-1n=-=(-1)kx=(-1)(n+1)x1+xk=1n=011n+=(-1)(n+2)xn21+x(1+x)n=0 11n+1nn+1n()()()()()()=+-1n+2z-1=-1n+2z-1z2(z-1)z-1n=0n=-1 解 在点z0=0 11111n-1=-=-=-z-z=-zn1-

2、zzn=0n=-1 z(z-1)z-1z 11111=-=-z=1 z(z-1)z-1zz-11+(z-1) 在点01n+1nn+1n =+(-1)(z-1)=(-1)(z-1) z-1n=0n=-1解 Rz(z-1)(z-2)=1+4z-10=1-21+61(z-3)(z-4)(z-3)(z-4)z1-3/zz1-4/z 2334=1-+3n=1z2n=1z nn(z-1)(z-2)=1-23n-64nz(z-3)(z-4)zn=0zn=0z-2-nn3-nn-(n+1)n=1-3z+4z=1-23z+64-(n+1)zn3n=-12n=0n=-1n=-1 1解 1z2 (z-1)(z-2)

3、n=-n111111+=-z-1z-2z1-1/z21-z/2 nn+1-1111z1z1n-1n=-=-z-=-z-2zz2222z-3z+2n=0n=00n=0n=-1n=02 zn 解 2z 1 1(z-1)(z-2)=-111111+=-+z-1z-2z1-1/zz1-2/z nnn-1-111121-zn-1=-+=-z+2zn=0zzn=0z2n=02n=0 z-3z+21=-z+zn-1n=-1n=02 n-n1=n=-12-n+1nz-znn=-1-11n1e/z=z=zn-1z=0。 zn=0n ! n=0n 解 奇点是0z112n12n-1nn+1(1-co)s/z=1-(

4、-1)z=(-1)zz=0()()z2n !2n !n=0n=1解 奇点是0。 z解 (z-1)(z-2)=-12+z-1z-2 -11n-nn=-=z-2z=1-2-nznz1(z-1)(z-2)1-z1-z/2n=0n=0n=0： z()-1111-n-nnn-1=-=-z-2z=-z-2-nzn1z2(z-1)(z-2)z1-1/zz1-2/z zn=0zn=0n=-1n=-1： z122zz-1w=z解 令， 2()2=/111+w1-w(1-w)211=20z10w11-w()1-w，： 11n-1nn()=nw=n+1w=w21-w()1-wn=1n=0n=0 ； 111-1n-2

5、=+=w+(n+2)w=z+(n+2)z2n2222w1-w(1-w)n=0n=0 zz-1 1()第四章 P71 ez1e-1n()=z+1 ()()1+zz+1n!n=01、解 奇点： -1 单极点； 本性奇点 -1-1()()Resf=-eResf-1=e f(z)=解 z(z-1)(z-2) 2Resf(1)=lim(z-1)f(z)=limz1z1z(z-2)2=1 2 Resf(2)=limddz-12(z-2)f(z)=lim=z2dzz1dz(z-1)(z-1)2=-1z=2eizf(z)=2z+a2 奇点： z1=ia 单极点； z2=-ia 单极点； z3= 本性奇点 解

6、=eizeiz=2zz=iaResf(ia)(z2+a2)z=iae-a=2ia Resf(-ia)=eiz(z2+a2)eiz=2zz=-iaz=-iaea=-2iaea-e-a Resf()=-Resf(ia)+Resf(-ia)=2ia f(z)=解 zez(z-a)3 奇点：z1=a三阶极点； z2=本性奇点 1d2=lim2zezResf(a)2!zadzf(z)=解 ()z=a=1(z+2)ez2z=aaa=1+ea=-Resf(a)=-1+ea2 Resf()2 11=z3+z5z3(1-z)(1+z) 奇点：z1=1 单极点； z2=-1单极点； z3=0 三阶极点 e13Re

7、sf(1)(z=-z5)=z=113z2-5z4=-z=112(z Resf(-1)=e13-z5)=z=-113z2-5z4=-z=-1121d21=lim2=1z0dz1-z2()Resf02! f(z)=2、解 (z12+1(z-1) 2)22()()x-1+y-1=2内的奇点：z1=1 二阶极点； 上半半平面在园z2=i 单极点 =z=i1d11=lim=-222z1dzz+1z=12 Resf(i)(z+1)(z-1) Resf(1)14(zldz2+1(z-1)f(z)=)2pi11=2pi-+=-2 24解 cosz1-11-3()=z-z +L Resf0=-22 z3 z=1

8、f(z)dz=-p i zpzResf=f(z)=24-2sinzcosz1/2-sinz 解 =-z=p/4p4 z=1f(z)dz=-p2 i / 2 3 P81 1解：I=2p021 dx2+cosx 令z=eix ，则I=i12dz=2iz+4z+1z=1z=1F(z)dzF(z)的奇点：z1=-2+3， 在z=1内，单极点。 z2=-2-3，在z=1外，单极点。 12ResF-2+3=(z+4z+1)()z=2+3=122pi=2p/323i23 故 I= 1(1+ecosx)I=解：02p12 dx， (0e1) 4ixi令z=e ，则I=z=1(e zzdz2zdz2+2z+e)

9、2=4i221/e)z+1) z=1e( z+2(2zdz=4iz=1ez+1-1-ezdz2(2)/ez+(1+=1-e2)/e2=4F(z)dziz=1=-=4iz=1e2(z-z1)2(z-z2)24F(z)dziz=11-1-e2 其中 z1e，z1=-1+1-e2ez=-F(z)的在z=1内奇点：11-1-e2e， 2阶极点。 dz1=zz1dze2(z-z)2()ResFz=41-e21-e2 20于是 lim()12p4=I=2pi222241-e1-e1-e1-ei根据残数定理，得 ()()解：I=2p0cos22x dx2e0 a2+sin2x12p112p1 dx- dx=

10、I1-I2004isinx-ai4isinx+ai I= 1dz1I= F1(z)dz1ixZ=1z2+2az-1Z=12i2i令z=e ，则 I2=1dz1=F2(z)dz2iZ=1z2-2az-12iZ=1F1(z)的奇点：z1=-a+1+a2，在z=1内，单极点。z2=-a-1+a2，在z=1外，单极点。 F2(z)的奇点：z1=a-1+a2，在z=1内，单极点。z2=a+1+a2，在z=1外，单极点。 12z+2a于是 ResF1(z1)=z=-a+1+a2121+a2 ResF2(z1)=2z-2a1=-z=-a+1+a2121+a2 1p1=I=2pi1+a21+a2 2i根据留数

11、定理，得解：I=p/20112p1 dx= dx401+cos2x 1+cos2xI=1dz1= F(z)dz42Z=1Z=14iz+6z+14i ixz=e令 ，则F(z)的奇点：z1=i3-22，在z=1内，单极点。z2=-i3-22，在z=1内，单极点。 z3=i3+22，在z=1=外，单极点。z4=-i3+22，在z=1外，单极点。 12z+3z=i()ResFz=1于是 3-221222； ResF(z2)=z+3z=-i1=3-22122 11p1+=I=2pi4i222222 根据留数定理，得 z2+1z2+1x2+1f(z)=4=2 dx24-x+1z+1(z-i)z+i I=

12、2.解：， ()f(z)的奇点：z1=22(1+i)(1+i)-z=22，在上半平面内，单极点。2，在下半平面内，单极点。 5 z3=22(1-i)(-1+i)z=z22，在下半平面内，单极点。4在上半平面内，单极点。 z2+12(1-i)2iz2+12(1+i)2i=-=-334(1+i)44z()4-1+i44zz=z41()()Resfz=Resfz=z=z114 ； f(z)=-2i/2 I = 2p if(z)=2p 21x2z dxf(z)=222-222x+9x+4()()()()z-3iz+3iz-2iz+2iI=解： ()()f(z)在上半平面内的奇点：z1=3 i，单极点。

13、z2=2 i，2阶极点。 z2(z()Resf3i= 2+9z2+4)()2z=3i=3i12i=50200dz213ilim=-2z2idzz2+9(z+2i)200 Resf(2i)=() I=p if(z)=p i-ip=200200 4(x解：I=-14+a2)(x2+b2) dx， f(z)=1(x4+a2)(x24+b2 )f(z)在上半平面的奇点：z1=ai，二阶极点。z2=bi，单极点。 d13a2-b2Resf(ai)=i222322dz(z+ai)z+bz=ai4aa-b ()()21x4+a2()Resfbi= ()(x24+b2)=-iz=bi12b(a2-b2)2 f

14、(z)=Resf(ai)+Resf(bi)=-i2a+b4a3b(a+b) 2 I = 2p if(z)=p(2a+b)2a3b(a+b) 211dx=44-x4+a42x+a()fzI=解：， ()()3()b=i=expip/4b=i=exp(i3p/4)， 则 12令 ， f(z)=1(x-ab1)(x+ab1)(x-ab2)(x+ab2) f(z)在上半平面的奇点：z1=ab1， 单极点。 z2=ab2， 单极点。 Resf(ab1)=14z3=-z=ab12(1+i)8a3Resf(ab2)=； 14z3=z=ab22(1-i)8a3 6 f(z)=Resf(ai)+Resf(bi)

15、=-2p2()i I = 2p ifz=4a3； 2a3 (解：I=01x2+1z2+1 dx= dx=62-x6+1()fzx6+1x+1 x2+1)()6令 z+1=0，则z=eikp/6, k=1,3,5,7,9,11. f(z)在上半平面的奇点：z1=eip/6，单极点。z2=eip/2，单极点。z2=ei5p/6，单极点。 z2+1=56z()Resfz=z=zkk f(z)=Resf(z1)+Resf(z2)+Resf(z3) I=p if(z)=1p2 =-3311+3i+0-1+3i=-i12122 ()()1x2-x2+a22解：I=()2dx， f(z)=z2(z2+a22

16、)(z-ai)(z+ai)2=z22f(z)在上半平面的奇点：z0=ai 二阶极点 =z=ai2z(z+ai)-2z2dz2=Resf(ai)=lim32zaidz(z+ai)(z+ai) 3解：I=414ai I = p if(z)=p4a 01cosmx dx (m0)=eimz44x+1 F(z)z+1 ikp/4令 z+1=0，则z=e, k=1,3,5,7. F(z)在上半平面的奇点：z1=eip/4，单极点。Z2=eI3p/4，单极点。 ResF(zk)=1imze4z3=-22(-1-i)eim(1+i)+1-i)eim(-1+i) F ( z)e=8z=zk8 imz22-m/

17、ie4cos(m/22)+sin(m/2) I=p iF(z)eimz=2p-m/4ecos(m/2)+sin(m/2) 解：I=0sinmx dx (m0,a0)22x(x+a) F(z)=1imzez(z2+a2) F(z)在上半平面的奇点：Z2=ai，单极点。 7 F(z)在实轴上的奇点：z1=0，单极点 。 ResF(0)=1imzez(z2+a2)=z=01a2； ResF(ai)=1imze2z2=-z=ai1-mae2a2-ma I=pF(ai)+F(0)= 2(1-e)2a2 pp解：I=0sin2xsin2x dx = -xx20+0sin2x dx=1 ei2xdx0xxF

18、(z)=1i2zez F(z)只有实轴上的奇点：z1=0，单极点。 i2zz=0ResF(0)=e I = 1= =122 ppP92 4解： 令z=eix，则 11cos3x=z+z-1=z3+3z+3z-1+z-3=3cosx+1cos3x842 4 ()3()1-a221-a2ak=coskxdx=-p1-2acosx+a2pp解：1p()p0coskxdx1-2acosx+a2 2p1-a22pcoskxcokxcoskxp=dx+dx-dx22p1-2acosx+a2p01-2acosx+a01-2acosx+a1-a22pcoskx=dx2p01-2acosx+a 设 1-a2ak

19、=2p iz=exp(ix)，则 1-a2=p izk+zkz=1-az2+1+a2z-adz()zk1-a2z=1-az2+1+a2z-adz=p i()z=1f(z)dzf(z)在z=1内的奇点：z=a 单极点。 Resf(a)=zk-az+(1+a)z-a22zk=-2az+1+a2z=aak=z=a1-a2 1-a2akak=2pi=2ak2pi1-a根据留数定理，得 1-a2sinkx2b=0。 因为 1-2acosx+a是奇函数，所以 k8 a01-a2k=+acoskx=1+2acoskx22k=11-2acosx+ak=1 keax+e-axeax-e-axchax=shax=

20、22解： dch(ax)=ash(ax)dx dsh(ax)=ach(ax)dx ak=2pp0eax+e-ax2shapakcoskxdx=(-1)22pk+a2 a02shap1akk=+acoskx=+(-1)2coskx2b=02p2ak+ak=1k=1因为 ckaxsinkx是奇函数所以 k。ckax 5解：因为f(x)=cosax，f(0)=f(p)=0，所以作奇延拓。 bk=2pp0cosaxsinkxdx=1p111ppcos(k+a)x0-cos(k-a)x0pk+apk-a 2kk+1()bk=21+-1cosap2k-a； cosax=bksinkx =-k=11sin(

21、k+a)x+sin(k-a)xdx 0p3()fx=x解：因为，f(0)=f(p)=0，所以作奇延拓。 bk=2pp0122p23xsinkxdx=(-1)x=bksinkxk2-k (分部积分) k=1 3k6解：因为f(0)=f(l)=0，所以作偶延拓。 2l2alkpx2alkpxak=a(1-x/l)coskxdx=cosdx-xcosdxl0l0lll20 2akpx2a=sin-22kpl0kplllkpxkpxkpx2a1k+1sin+cos=()-1+12l0l0lp2k 2la0=a(1-x/l)dx=a l0a2n+1(2n+1)pxa4a1()=2a1-x/l=+cos2

22、p2n=0(2n+1)2lp(2n+1)2； 4a1P103 3、解：因为f(t)是奇函数，所以A(w)=0。 B(w)=2hpT0sinw t dt=-2hpwcosw t0=T2hpw(1-coswT) 故f(t)=2hp1-cosi0wsinw tdw4解：作偶延拓 A(w)=p20f(x)coswxdx=2hpT0coswxdx=2hsinwTpwf(t)=2hpsinwT0wsinwtdw(2)解：作奇延拓 9 B(w)=p20f(x)sinwxdx=B(w)=22hpT0sinwxdx=2h1-coswTpw05、解：作奇延拓p0exp(-lx)sinwxdx=1p iexp(-l

23、+iw)x-exp-(l+iw)xdxf(t)=2hp1-coswT0wsinw t dw111=exp(-l+iw)x+exp-(l+iw)xp i-l+iwl+iw0=2w-1112w()fx=sinw xdw+=22220p(w+l)p i-l+iwl+iwpw+l 故()P122解：Q Lsinwt=sinwtexp(-pt)dt=0wp2+w2 Lexp(-lt)sinwt=w(p+l)2+w2 Q Lcoswt=coswtexp(-pt)dt=0pp2+w2 Lexp(-lt)coswt=p+l(p+l)2+w211 Lexp(-pt)dt=02ptpt (3) 解：设t=x 则

24、10p texp(-pt)dt=2p p002epx-xpdxp()()=2p pp2=111 L=ptpp Ld(t-t)=d(t-t)exp(-pt)dt 解：=exp(-pt)f(p)=P127 1(2)解：3p3pA(p)=p2-1(p-1)(p+1)B(p) B(p)只有单零点：p1=1, p2=-1. L-1f(p)=3p3pexp(pt)+exp(pt)2p2pp=1p=-13exp(t)+exp(-t)2 故 N4(p)=3 解：N0c1c2c3A(p)=p(p+c1)(p+c2)(p+c3)B(p) B(p)只有单零点：p0=0, p1=-c1 , p2=-c2, p3=-c

25、3. 432()()=p+c+c+cp+cc+cc+ccp+c1c2c3p ()Bp123121323 =(p+c1)(p+c2)(p+c3)+p(p+c1)(p+c2)+(p+c1)(p+c3)+(p+c2)(p+c3) B(p)f(t)=N0+故 N0c2c3N0c1c3ex(p-c1t)+ex(p-c2t)(c1-c2)(c3-c1)(c2-c3)(c1-c2)10 N0c1c2ex(p-c3t)(c3-c1)(c2-c3)y(p)=4.解： lm p(p+c)4 B(p)=(p+c)4=0有四重根：-c。 lmd31213-ctpt=limpe=lmt-cte3-1p-c6dp23故

26、y(t)=Ly(p) ()f(p)=5 解：(p+1/Rc)(p2+w2)E0w p/R=A(p)B(p) B(p)=(p+1/Rc)p2+w2 ()B(p)只有单零点：p1=-1/Rc, p2=iw , p3=-iw. -E0wc-E0wc(1+iRwc)A(p1)A(p2)()()exp(p1t)=2exp-t/Rcexppt=ex(piw t)22222222B(p1)B(p2)1+Rcw21+Rcw ()A(p3)-E0wc(1-iRcw)exp(p3t)=exp(-iw t)2222B(p3)21+Rcw()f(t)=exp(pnt)=n=13(RE02+1/c2w2)1E0wcRs

27、inw t-cosw t-exp(-t/Rc)cw12+R2c2w2y+2y+2z=10e2 t2 t- 2y z+ z=7eP131 1(3) 求常微分方程组： 解：就方程组对t施于拉氏变换，得 y(0)=1)3 z(0=10()()()pyp-1+2yp+2zp=p-27pz(p)-3-2y(p)+z(p)=p-2 10()()()()pyp-y0+2yp+2zp=p-27pz(p)-z(0)-2y(p)+z(p)=p-2代入初始条件，得 1()yp=p-23z(p)=p-2解代数方程组，得 对式施于拉氏逆变换，得所给常微分方程组的解： y(t)=e2t2tz(t)=3e P131 4. 解：设j(0)=0; y(0)=0 , y(0)=0。 就j(t)的方程对t施于拉氏变换，得 c2pj(p+)+2c(j)pp =l(j)pj(p)=求得 l p(p+c)222()yt()()pyp+2cpyp+cy(p)=mj(p)由上t 就的方程对施于拉氏变换，得 y(p)=式并注意到，求得 lm p(p+c)4 d31213-ctpt=limpe=lmt-cte3-1p-c6dp3故：y(t)=Ly(p) 2 lm() 11