数理方法习题解答

数理方法习题解答课后习题答案 ze P60解 51/z1-n-¥n+5=zåz=åzn=0n!n=0 5¥1111111=-=-222()z-1zz-11+z-1()zz-1z()1+z-1解 1/(1+x)=1-x+x-x+L+(-1)x+L=å(-1)xn23nnnn=0¥1(1+x)2¢¥¥æ1ök+1n+2k-1n=-ç÷=å(-1)kx=å(-1)(n+1)xè1+xøk=1n=0¥11n+=å(-1)(n+2)xn21+x(1+x)n=0 ¥¥11n+1nn+1n()()()()()()=+-1n+2z-1=-1n+2z-1ååz2(z-1)z-1n=0n=-1 解 在点z0=0 ¥¥11111n-1=-=-=-åz-z=-åzn1-zzn=0n=-1 z(z-1)z-1z 11111=-=-z=1 z(z-1)z-1zz-11+(z-1) 在点0¥¥1n+1nn+1n =+å(-1)(z-1)=å(-1)(z-1) z-1n=0n=-1解 R<z<¥(z-1)(z-2)=1+4z-10=1-2×1+6×1(z-3)(z-4)(z-3)(z-4)z1-3/zz1-4/z 2¥é3ù3¥é4ù=1-åêú+åêú3n=1ëzû2n=1ëzû nn(z-1)(z-2)=1-2¥æ3ön-6¥æ4önç÷åç÷zå(z-3)(z-4)zn=0èzøn=0èzø-¥¥2-¥-nn3¥-nn-(n+1)n=1-å3z+å4z=1-å2×3z+å6×4-(n+1)zn3n=-12n=0n=-1n=-1 1解 1<z<2 (z-1)(z-2)n=-n111111+=-×-×z-1z-2z1-1/z21-z/2 nn+1-¥-¥¥11¥æ1ö1¥æzö1¥æzöæ1ön-1n=-=-z-=-z-ç÷ç÷ç÷ç÷åååååå2zz2222z-3z+2èøèøèøn=0n=00n=0n=-1n=0è2ø zn 解 2<z<¥ 1 1(z-1)(z-2)=-111111+=-×+××z-1z-2z1-1/zz1-2/z nnn-1-¥11¥æ1ö1¥æ2ö1-¥æzön-1=-åç÷+åç÷=-åz+åç÷2zn=0èzøzn=0èzø2n=0è2øn=0 z-3z+2æ1ö=-åz+åç÷zn-1n=-1n=0è2ø n-¥-¥næ1ö=åç÷n=-1è2ø-¥n+1nz-åznn=-1-¥¥1¥1n1e/z=åz=åzn-1z=0。 zn=0n ! n=0n 解 奇点是0z¥1é12nù¥12n-1nn+1(1-co)s/z=ê1-å(-1)zú=å(-1)zz=0()()z2n !2n !ën=0ûn=1解 奇点是0。 z解 (z-1)(z-2)=-12+z-1z-2 ¥-¥¥11n-nn=-=åz-å2z=å1-2-nznz<1(z-1)(z-2)1-z1-z/2n=0n=0n=0： z()-¥¥1111¥-n¥-nnn-1=-×-×=-åz-å2z=-åz-å2-nzn1<z<2(z-1)(z-2)z1-1/z1-z/2 zn=0n=0n=-1n=0： z-¥-¥11211¥-n2¥n-nn=-×+×=-åz+å2z=-åz+å2(n+1)znz>2(z-1)(z-2)z1-1/zz1-2/z zn=0zn=0n=-1n=-1： z122zz-1w=z解 令， 2()2=/111+w1-w(1-w)21æ1ö=ç÷20<z<10<w<11-wø()1-wè，： ¥¥¥11n-1nn()=nw=n+1w=åwåå21-w()1-wn=1n=0n=0 ； ¥¥111-1n-2=+=w+å(n+2)w=z+å(n+2)z2n2222w1-w(1-w)n=0n=0 zz-1 1()第四章 P71 ez1¥e-1n()=z+1 å()()1+zz+1n!n=01、解 奇点： -1 单极点； ¥ 本性奇点 -1-1()()Resf¥=-eResf-1=e f(z)=解 z(z-1)(z-2) 2Resf(1)=lim(z-1)f(z)=limz®1z®1z(z-2)2=1 2 Resf(2)=limddz-12(z-2)f(z)=lim=z®2dzz®1dz(z-1)(z-1)2=-1z=2eizf(z)=2z+a2 奇点： z1=ia 单极点； z2=-ia 单极点； z3=¥ 本性奇点 解 =eizeiz=2zz=iaResf(ia)(z2+a2)¢z=iae-a=2ia Resf(-ia)=eiz(z2+a2)¢eiz=2zz=-iaz=-iaea=-2iaea-e-a Resf(¥)=-Resf(ia)+Resf(-ia)=2ia f(z)=解 zez(z-a)3 奇点：z1=a三阶极点； z2=¥本性奇点 1d2=lim2zezResf(a)2!z®adzf(z)=解 ()z=a=1(z+2)ez2z=aæaöæaö=ç1+÷ea=-Resf(a)=-ç1+÷eaè2ø Resf(¥)è2ø 11=z3+z5z3(1-z)(1+z) 奇点：z1=1 单极点； z2=-1单极点； z3=0 三阶极点 e13Resf(1)(z=-z5)¢=z=113z2-5z4=-z=112(z Resf(-1)=e13-z5)¢=z=-113z2-5z4=-z=-1121d21=lim2=1z®0dz1-z2()Resf02! f(z)=2、解 (z12+1(z-1) 2)22()()x-1+y-1=2内的奇点：z1=1 二阶极点； 上半半平面在园z2=i 单极点 =z=i1d11=lim=-2¢22z®1dzz+1z=12 Resf(i)(z+1)(z-1) Resf(1)14ò(zldz2+1(z-1)f(z)=)2piæ11ö=2piç-+÷=-2 è24ø解 cosz1-11-3()=z-z +L Resf0=-22 z3 òz=1f(z)dz=-p i zæpözResf=ç÷f(z)=2è4ø-2sinzcosz1/2-sinz 解 =-z=p/4p4 òz=1f(z)dz=-p2 i / 2 3 òP81 1解：I=2p021 dx2+cosx 令z=eix ，则I=i12dz=2òiz+4z+1z=1z=1òF(z)dzF(z)的奇点：z1=-2+3， 在z=1内，单极点。 z2=-2-3，在z=1外，单极点。 12ResF-2+3=(z+4z+1)()¢z=2+3=æ1ö2×2piç÷=2p/323ç÷iè23ø 故 I= 1ò(1+ecosx)I=解：02p12 dx， (0<e<1) 4ixi令z=e ，则I=z=1ò(e zzdz2zdz2+2z+e)2=4i221/e)z+1) z=1e( z+2×(2òzdz=4iz=1òez+1-1-ezdz2(2)/ez+(1+=1-e2)/e2=4F(z)dziòz=1=-=4iz=1òe2(z-z1)2(z-z2)24F(z)dziòz=11-1-e2 其中 z1e，z1=-1+1-e2ez=-F(z)的在z=1内奇点：11-1-e2e， 2阶极点。 dz1=z®z1dze2(z-z)2()ResFz=41-e21-e2 20于是 lim()12p4=I=2pi××222241-e1-e1-e1-ei根据残数定理，得 ()()解：I=ò2p0cos22x dx2e<11-2ecosx+e， -14iz8+2z4+1-1dz=ò4224iz=1ze z-(1+e)+e令z=e ，则I=ixz=1òF(z)dzF(z)的奇点：z1=0， 在z=1内，4阶极点。z2=e，在z=1内，单极点。 z2=e-1，在z=1外，单极点。 z4F(z)=设pq，注意到p¢(0)=p¢¢(0)=p¢¢¢(0)=0, q ¢¢¢(0) =0 ，不难求得 d3dz3æ6pq¢q¢¢6pq¢3öæpö6(1+e2)(1+e4)ç=ç=çq÷÷çq3-q4÷÷e4èøz=0èøz=084(1+e2)(1+e4)1d3æpöe+2e+1ç÷=÷3ç4426dzèqøz=0e()()ResF0=ResFe=ee-1 于是 ； () 4 e8+2e4+1(1+e2)(1+e4)2(e4+1)+=242ResF(0)+ResF(0)=e(e-1)e4e-1 44-12e+1p1+e=I=2pi××2e-11-e2 4i根据残数定理，得()()解：I=òp0a12pa dx= dx2ò0a2+sin2x， a>0 a2+sin2x12p112p1 dx- dx=I1-I2òò004isinx-ai4isinx+ai I= 1dz1I= F1(z)dz1òòixZ=1z2+2az-1Z=12i2i令z=e ，则 I2=1dz1=F2(z)dz2iòZ=1z2-2az-12iòZ=1F1(z)的奇点：z1=-a+1+a2，在z=1内，单极点。z2=-a-1+a2，在z=1外，单极点。 F2(z)的奇点：z1=a-1+a2，在z=1内，单极点。z2=a+1+a2，在z=1外，单极点。 12z+2a于是 ResF1(z1)=z=-a+1+a2121+a2 ResF2(z1)=2z-2a1=-z=-a+1+a2121+a2 1p1=I=2pi××1+a21+a2 2i根据留数定理，得解：I=òp/20112p1 dx= dx4ò01+cos2x 1+cos2xI=1dz1= F(z)dz42òòZ=1Z=14iz+6z+14i ixz=e令 ，则F(z)的奇点：z1=i3-22，在z=1内，单极点。z2=-i3-22，在z=1内，单极点。 z3=i3+22，在z=1=外，单极点。z4=-i3+22，在z=1外，单极点。 12z+3z=i()ResFz=1于是 3-221222； ResF(z2)=z+3z=-i1=3-22122 11öp1æ+=ç÷I=2pi××4iè2222ø22 根据留数定理，得 z2+1z2+1x2+1f(z)=4=2 dx2ò4-¥x+1z+1(z-i)z+i I=2.解：， ¥()f(z)的奇点：z1=22(1+i)(1+i)-z=22，在上半平面内，单极点。2，在下半平面内，单极点。 5 z3=22(1-i)(-1+i)z=z22，在下半平面内，单极点。4在上半平面内，单极点。 z2+12(1-i)2iz2+12(1+i)2i=-=-334(1+i)44z()4-1+i44zz=z41()()Resfz=Resfz=z=z114 ； f(z)=-2i/2 I = 2p if(z)=2p 21¥x2z dxf(z)=2ò22-¥222x+9x+4()()()()z-3iz+3iz-2iz+2iI=解： ()()f(z)在上半平面内的奇点：z1=3 i，单极点。z2=2 i，2阶极点。 z2(z()Resf3i= ¥2+9z2+4)()2¢z=3i=3i12i=50200dz213ilim=-2z®2idzz2+9(z+2i)200 Resf(2i)=() I=p if(z)=p i×-ip=200200 4ò(x解：I=-¥14+a2)(x2+b2) dx， f(z)=1(x4+a2)(x24+b2 )f(z)在上半平面的奇点：z1=ai，二阶极点。z2=bi，单极点。 ùdé13a2-b2Resf(ai)=iê222ú322dzë(z+ai)z+bûz=ai4aa-b ()()21x4+a2()Resfbi= ()(x24+b2¢¢)=-iz=bi12b(a2-b2)2 f(z)=Resf(ai)+Resf(bi)=-i2a+b4a3b(a+b) 2 I = 2p if(z)=p(2a+b)2a3b(a+b) 211¥dx=44ò-¥x4+a42x+a()fzI=解：， ()()3()b=i=expip/4b=i=exp(i3p/4)， 则 12令 ， f(z)=1(x-ab1)(x+ab1)(x-ab2)(x+ab2) f(z)在上半平面的奇点：z1=ab1， 单极点。 z2=ab2， 单极点。 Resf(ab1)=14z3=-z=ab12(1+i)8a3Resf(ab2)=； 14z3=z=ab22(1-i)8a3 6 f(z)=Resf(ai)+Resf(bi)=-2p2()i I = 2p ifz=4a3； 2a3 ò(解：I=0¥1¥x2+1z2+1 dx=ò dx=62-¥x6+1()fzx6+1x+1 x2+1)()6令 z+1=0，则z=eikp/6, k=1,3,5,7,9,11. f(z)在上半平面的奇点：z1=eip/6，单极点。z2=eip/2，单极点。z2=ei5p/6，单极点。 z2+1=56z()Resfz=z=zkk f(z)=Resf(z1)+Resf(z2)+Resf(z3) I=p if(z)=1p2 =-3311+3i+0-1+3i=-i12122 ()()1¥x2ò-¥x2+a22解：I=()2dx， f(z)=z2(z2+a22)(z-ai)(z+ai)2=z22f(z)在上半平面的奇点：z0=ai 二阶极点 =z=ai2z(z+ai)-2z2dz2=Resf(ai)=lim32z®aidz(z+ai)(z+ai) 3解：I=414ai I = p if(z)=p4a ò¥01cosmx dx (m>0)=eimz44x+1 F(z)z+1 ikp/4令 z+1=0，则z=e, k=1,3,5,7. F(z)在上半平面的奇点：z1=eip/4，单极点。Z2=eI3p/4，单极点。 ResF(zk)=1imze4z3=-22(-1-i)eim(1+i)+1-i)eim(-1+i) F ( z)e=8z=zk8 imz22-m/ie4cos(m/22)+sin(m/2) I=p iF(z)eimz=2p-m/4ecos(m/2)+sin(m/2) 解：òI=¥0sinmx dx (m>0,a>0)22x(x+a) F(z)=1imzez(z2+a2) F(z)在上半平面的奇点：Z2=ai，单极点。 7 F(z)在实轴上的奇点：z1=0，单极点 。 ResF(0)=1imzez(z2+a2)¢=z=01a2； ResF(ai)=1imze2z2=-z=ai1-mae2a2-ma I=pF(ai)+F(0)= 2(1-e)2a2 pp解：I=ò¥0sin2xsin2x dx = -xx2¥0+ò¥0sin2x dx=¥1 ei2xdxò0xxF(z)=1i2zez F(z)只有实轴上的奇点：z1=0，单极点。 i2zz=0ResF(0)=e I = ×1= =122 ppP92 4解： 令z=eix，则 1é1ùcos3x=êz+z-1ú=z3+3z+3z-1+z-3=3cosx+1cos3x84ë2û 4 ()3()1-a221-a2ak=òcoskxdx=-p1-2acosx+a2pp解：1p()òp0coskxdx1-2acosx+a2 2p1-a2é2pcoskxcokxcoskxùépù=dx+dx-dx22òòòp1-2acosx+a2úúpêë01-2acosx+aûêë01-2acosx+aû1-a2é2pcoskxù=dx2òúpêë01-2acosx+aû 设 1-a2ak=2p iz=exp(ix)，则 1-a2=p izk+zkòz=1-az2+1+a2z-adz()zk1-a2òz=1-az2+1+a2z-adz=p i()òz=1f(z)dzf(z)在z=1内的奇点：z=a 单极点。 Resf(a)=zk-az+(1+a)z-a¢22zk=-2az+1+a2z=aak=z=a1-a2 1-a2akak=×2pi×=2ak2pi1-a根据留数定理，得 1-a2sinkx2b=0。 因为 1-2acosx+a是奇函数，所以 k8 ¥a0¥1-a2k=+acoskx=1+2acoskxåå22k=11-2acosx+ak=1 keax+e-axeax-e-axchax=shax=22解： dch(ax)=ash(ax)dx dsh(ax)=ach(ax)dx ak=2pòp0eax+e-ax2shapakcoskxdx=×(-1)22pk+a2 ¥¥a02shap1akk=+åacoskx=+å(-1)2coskx2b=02p2ak+ak=1k=1因为 ckaxsinkx是奇函数所以 k。ckax 5解：因为f(x)=cosax，f(0)=f(p)=0，所以作奇延拓。 bk=2pòp0cosaxsinkxdx=1p111ppcos(k+a)x0-×cos(k-a)x0pk+apk-a 2kk+1()bk=21+-1cosap¥2k-a； cosax=åbksinkx =-×k=11òsin(k+a)x+sin(k-a)xdx 0p3()fx=x解：因为，f(0)=f(p)=0，所以作奇延拓。 bk=2pòp0¥æ122p2ö3xsinkxdx=(-1)çx=åbksinkxçk2-k÷÷èø (分部积分) k=1 3k¢¢6解：因为f(0)=f(l)=0，所以作偶延拓。 2l2alkpx2alkpxak=òa(1-x/l)coskxdx=cosdx-xcosdxl0lò0lll2ò0 2akpx2a=sin-22kpl0kplllékpxkpxkpxù2aé1ùk+1sin+cosêú=()-1+12úl0l0úêëlûp2êëkû 2la0=òa(1-x/l)dx=a l0a2n+1(2n+1)pxa4a¥1()=2a1-x/l=+coså2p2n=0(2n+1)2lp(2n+1)2； 4a1P103 3、解：因为f(t)是奇函数，所以A(w)=0。 B(w)=2hpòT0sinw t dt=-2hpwcosw t0=T2hpw(1-coswT) 故f(t)=2hpò¥1-cosi0wsinw tdw4解：作偶延拓 A(w)=pò2¥0f(x)coswxdx=2hpòT0coswxdx=2hsinwT×pwf(t)=2hpò¥sinwT0wsinwtdw(2)解：作奇延拓 9 B(w)=pò2¥0f(x)sinwxdx=B(w)=22hpòT0sinwxdx=2h1-coswT×pw05、解：作奇延拓pò¥0exp(-lx)sinwxdx=1p iòexp(-l+iw)x-exp-(l+iw)xdx¥f(t)=2hpò¥1-coswT0wsinw t dw1ì11ü=exp(-l+iw)x+exp-(l+iw)xýíp iî-l+iwl+iwþ0¥=2¥w-1é11ù2w()fx=sinw xdw+=2222òêú0p(w+l)p ië-l+iwl+iwûpw+l 故()P122解：Q Lsinwt=òsinwtexp(-pt)dt=0¥wp2+w2 Lexp(-lt)sinwt=w(p+l)2+w2 Q Lcoswt=òcoswtexp(-pt)dt=0¥pp2+w2 Lexp(-lt)coswt=p+l(p+l)2+w2¥1é1ù Lêexp(-pt)dtú=ò02ptëptû (3) 解：设t=x ¥则 ò10p texp(-pt)dt=2p pò¥0¥02epxé-xpùdxpêúëû()()=2p p×p2=1é1ù1 Lê=úptûppë Ld(t-t)=òd(t-t)exp(-pt)dt 解：=exp(-pt)f(p)=P127 1(2)解：3p3pA(p)=p2-1(p-1)(p+1)B(p) B(p)只有单零点：p1=1, p2=-1. L-1f(p)=3p3pexp(pt)+exp(pt)2p2pp=1p=-13exp(t)+exp(-t)2 故 N4(p)=3 解：N0c1c2c3A(p)=p(p+c1)(p+c2)(p+c3)B(p) B(p)只有单零点：p0=0, p1=-c1 , p2=-c2, p3=-c3. 432()()=p+c+c+cp+cc+cc+ccp+c1c2c3p ()Bp123121323 =(p+c1)(p+c2)(p+c3)+p(p+c1)(p+c2)+(p+c1)(p+c3)+(p+c2)(p+c3) ¢ B(p)f(t)=N0+故 N0c2c3N0c1c3ex(p-c1t)+ex(p-c2t)(c1-c2)(c3-c1)(c2-c3)(c1-c2)10 N0c1c2ex(p-c3t)(c3-c1)(c2-c3)y(p)=4.解： lm p(p+c)4 B(p)=(p+c)4=0有四重根：-c。 lmd31æ213ö-ctpt=limpe=lmçt-ct÷e3-1p®-c¢6dp2è3ø故 y(t)=Ly(p) ()f(p)=5 解：(p+1/Rc)(p2+w2)E0w p/R=A(p)B(p) B(p)=(p+1/Rc)p2+w2 ()B(p)只有单零点：p1=-1/Rc, p2=iw , p3=-iw. -E0wc-E0wc(1+iRwc)A(p1)A(p2)()()exp(p1t)=2exp-t/Rcexppt=ex(piw t)22222222B¢(p1)B¢(p2)1+Rcw21+Rcw ()A(p3)-E0wc(1-iRcw)exp(p3t)=exp(-iw t)2222B¢(p3)21+Rcw()f(t)=åexp(pnt)=n=13(RE02+1/c2w2)1æöE0wcRsinw t-cosw t÷-çexp(-t/Rc)cwèø12+R2c2w2ìy¢+2y+2z=10e2 tí2 t¢- 2y z+ z=7eîP131 1(3) 求常微分方程组： 解：就方程组对t施于拉氏变换，得 ìy(0)=1í)3 îz(0=10ì()()()pyp-1+2yp+2zp=ïïp-2í7ïpz(p)-3-2y(p)+z(p)=ïp-2î 10ì()()()()pyp-y0+2yp+2zp=ïïp-2í7ïpz(p)-z(0)-2y(p)+z(p)=ïp-2î代入初始条件，得 1ì()yp=ïïp-2í3ïz(p)=ïp-2解代数方程组，得î 对式施于拉氏逆变换，得所给常微分方程组的解： ìy(t)=e2tí2tîz(t)=3e P131 4. ¢解：设j(0)=0; y(0)=0 , y(0)=0。 就j(t)的方程对t施于拉氏变换，得 c2pj(p+)+2c(j)pp =l(j)pj(p)=求得 l p(p+c)222()yt()()pyp+2cpyp+cy(p)=mj(p)由上t 就的方程对施于拉氏变换，得 y(p)=式并注意到，求得 lm p(p+c)4 d31æ213ö-ctpt=limpe=lmçt-ct÷e3-1p®-c¢6dp3øè故：y(t)=Ly(p) 2 lm() 11