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1、1.变上限的定积分6.3牛顿莱布尼茨公式2.牛顿莱布尼茨公式公式1.变上限的定积分如果 x 是区间 a,b上任意一点，定积分 xattfd)(表示曲线 y=f(x)在部分区间 a,x 上曲边梯形AaxC 的面积，如 图 中 阴 影 部 分 所 示 的 面 积.当 x 在区间 a,b 上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分 xattfd)(yxy=f(x)axbOACB是上限变量 x 的函数.记作 即F(x)xattfd)(xattfxd)()(则)(x变上限的积分有下列重要性质:定 理 1 若 函 数 f (x)在 区 间 a,b 上 连 续，则变上限定积分在区间 a,b
2、 上可导，并且它的导数等于被积函数，即xattfxd)()(xattfxd)()()()(xfx)(d)(xfttfdxdxa或积分上限函数求导定理,)(上连续在闭区间如果baxfxattfxd)()(则定理2 (原函数存在定理）ab)(xfy Oxyx)(x.,)(上的一个原函数在是baxf例 1 (1)21()e d,xtxt已知求(x).解221()e de.xtxxt(2)求24111xddtdxt解2242481112()11()1xdxdtxdxtxxbxuttfx)(d)(dd)2()(d)(dd)1(xuattfx)()(xuxuf)()(21d)(dd)3(xuxuttfx)
3、()()()(2211xuxufxuxuf)()(xuxuf定理 如果函数 f(x)在区间a,b上连续，F(x)是 f(x)在区间 a,b 上任一原函数，).()(d)(aFbFxxfba 那么为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的,)()()(baxFaFbF记记作作 这样 上面公式就写成如下形式：.()()()()bbaaf xxF xF bF ad“NewtonLeibniz公式”2.牛顿莱布尼茨公式公式例 3 计算下列定积分.解;d11)1(102xx 30(2)sind.xx xxd11)1(102 10arctan x;40arctan1arctan 30(2)sindxx 30cos x cos(cos0)3 11122.112dxx例6.计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积.yoxxysin例5.计算.|2|31dxx,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼兹公式2.变限积分求导公式
高等数学牛顿莱布尼茨公式
