动力系统综述

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1、Xxxxxx U N I V E R S I T Y微分方程定性理论实践报告所属学院：理学院专业班级：应用数学姓 名：学 号：xxxxxxxxxxx实践课题：动力系统综述实践成绩：任课教师：动力系统综述随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工 程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系 统。随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工 程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系 统。对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态，如 平衡点或周期运动的数目和稳定性等会发生突然

2、变化，这种变化称为分叉。 分叉理论主要研究当参数在分叉值附近变化时，系统轨线的拓扑结构或定性性态 将如何变化。近几十年来，动力系统的分叉理论被系统而深入的研究，并得到了 迅猛的发展，且广泛应用于物理、化学、生物、工程等研究领域中，分叉问题的 研究己成为非线性动力系统研究的重点和难点之一。1动力系统简介动力系统的研究起源于牛顿的经典力学理论.假设空间Rn的一个质点M在时 刻t的坐标为x=(,七,七)并且己知质点M此时的运动速度为 v(x) = (v1(x),v2(x),.,Vn(x)，并且只与坐标x有关.那么质点M的运动方程为：臣二v(x)(1)dt这个方程是一个自治的微分方程.更进一步如果方程

3、(1)满足微分方程解的存 在和唯一性定理的条件，那么对任何的初值条件x(t0) = x0，则方程存在唯一解 中(t) = (t, t , x )。我们称x取值的空间沉n为相空间，而称(t,x)的取值空间“宙X宙n”为增广 相空间.按照微分方程的几何意义，方程(1)定义了增广相空间中的一个向量场.解 的几何意义为增广相空间中经过点(t0,x0)的唯一的积分曲线1.2动力系统在力学中的应用稳定性是系统的一个重要特性。对系统运动稳定性分析是系统与控制论的一 个重要组成部分，一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不能付诸于工 程实施的。设系统的向量状态方程为：x = f (x,t),x(t ) =

4、 x ,t 0(2.1)00式中：x为n维状态向量；f (,)为n维向量函数。定义1：对于所考察的系统（2.1）如果存在某个状态x ,使得下式成立： ef（x , t）, t t（2.2）式中：为零向量，则称为系统的一个平衡状态。所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态 的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它 的一个有限邻域内。一般所说的稳定性就是指李亚普诺夫意义下的稳定性，即系 统状态自由运动的稳定性。定义2：设为系统（2.的一个平衡状态，则称七为李亚普诺夫意义下是 稳定的，如果对于给定的任一实数0，都对应地存在一个实数（，0，使得由

5、满足不等式：11x0 x |（ ,t）（2.3）的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式：（tx,t）x |, t t（2.4）0 0 e0式中（tx0,t0）表示由初始状态x0所引起的运动。在上述稳定性的定义中，如果 只依赖于，而和初始时刻t的选取无关，0则进一步称平衡状态xe是一致稳定的。定义3：动力学系统（2.1的平衡状态七称为是渐近稳定的，如果1）xe是李亚普诺夫意义下稳定的，即满足上述关于稳定性的定义2 ；2）对在创（，和任意给定的实数0，存在实数T（,0，使得得由满足（2.3式的任一初态x0出发的受扰运动都同时满足不等式：（t, x , t） x , t t T （ , , t

6、）（2.5）0 0 e00实例1分析：设有一个可以绕定点0左右摆动的对称刚体，其质量为M，刚体质心E到O 点的距离为l在刚体内有一狭长的柱形腔，其对称轴与刚体对称轴重合，质量 为m的质点D可以顺着柱形腔移动，用弹性系数为k的弹簧将质点D与固定点O相连，弹簧的自然长度为Z0,质点D与柱形腔之间的摩擦系数为a,其系统 如下图所示：取0点所在的水平面作为零势面，两个广义坐标分别取为刚体相对于竖直方 向的偏转角0和小质点D距0点的距离为&，当不计任何摩擦时，平衡状态为:0= 0, &二算 +1（2.6）此时，该系统是稳定的但不是渐近稳定的。原因是该系统是一个保守系统， 从物理角度分析，当不计任何摩擦时

7、，给系统一个扰动，系统将在一定范围内永 远摆动下去，不会稳定在其平衡状态，从后面分析看出，当取系统能量函数作为 李亚普诺夫函数，该函数本身是正定的，而该函数导数为零，故上述结论成立。 如果考虑质点D与柱形腔之间的摩擦，其余摩擦不计，该系统的稳定性又如何 呢?下面讨论之：所分析实例1的总动能为：E = Ml 20 2 + mg 2 + mg 20 2（2.7）k 222系统的总势能为：1 一E = -Mglc o 0 -mgg c o 0 + 2k（g -1 ）2（2.8）相应地可得到以下形式的方程：（2.9）M120 + mg 20 + 2mgg0 + Mgl s i 0 + mgg s i

8、0 = 0mg - mg0 2 - mg c o 0 + k (g -1 )+ag = 0 0其中a是大于零的线性因子。取实例1的能量函数作为它的李亚普诺夫函数去判断其稳定性。实例1的能量函数为:L =气 + E=Ml 2。2 + mg 2 +上 m 202 + Mgl cos 0 + mgg cos 0 + L k 化 一 l )2222 o其中Ek、E如上所示，但是势能零势面与上部分略有不同，此处势能零势 面取为系统最低重心处所在的水平面。由于L是正定的，L = E + Ek p利用(2.9 )式进一步化简便得到：L = -ag 2由上可知L是负定的。故上述构造的李亚普诺夫函数可判断实例1

9、是渐近稳定的。但是上述方法只 能对系统进行定性分析，而不能对所讨论的系统进一步进行定量分析。3动力系统在生物中的应用科技的发展推动着数学的发展，而数学的发展又加速了科技的发展.生态科 学无疑是未来的主流科学，但它的发展必须有数学的支持.如果没有数学家的介 入，所谓生态科学研究成果无非是又一次令人振奋的发现而已.种群生态学是生 态学中的一个重要分支，也是迄今数学在生态学中应用的最为广泛和深入，发展 得最为系统和成熟的分支.在现有的经济系统和环境下，支撑人口增长的能力一直是贯穿整个社会历史 的主要问题之一。将种群动力学模型运用在人口过剩问题的解决过程中是否符合 实际呢？最早的简单的人口模型例如Ma

10、lthus (指数)模型和Verhulst(logistic)模 型是人口统计过程研究的出发点。它们帮助人们了解社会学和自然科学中的基本 理想化下的人口统计学的动力学现象。Logistic种群模型在一特定的时间内，占据一定空间的同一种物种的个体的集合称为种群.生 活在一定空间里相互有直接或间接关系的有关种群的总体称为生物体群落.种群 生态学包括对给定种群本身的动力学特性和结构的研究，以及给定种群与相关种 群相互作用下演变规律的研究.用动力学的方法对种群生态学研究称为种群动力 学.它主要研究种群个体数量和结构的变化规律.如上面的的Mathus模型3q表示种群在时间t的规模，或x(t)表示种 dt

11、群规模的变化率，假设种群增长率只依赖于种群规模，这样的假设对简单的生物 体是合理的，对更复杂的有机体如植物、动物、人类就显得太简单化了，在最简 单的种群模型中个体平均增长率是种群数量的递减函数x。Verhulst(1838)第 一个由这个假设引入logistic微分方程X - x（人-ax）以后它又被R.Pearl和L.J.Reed进一步研究，通常将这个方程写为形式X、x - rx（1）（3.1）K其中参数r-人，K = *。参数r和K假设为正数，注意到当x较小时W rx，当 ax接近K时x-0，即x较小时种群经历指数增长，x接近K时种群几乎无变化。分离变量可将方程（1.4）改写为利用部分分式

12、得1x（K 一 x）积分得dx 1 dx dx、1J xK-x）= K T+J K-x）=K（10g x 一log（ K 一 x）其中c为积分常数。如果种群在时间t=0的数量是x0，代入初始条件x（0） - x0得从而有整理得c=l（10g x0-log（ K-x0）1r 1 八 、，、K （log x - log（ K x） - K + k （log x0 - log（ K x）x（ K 一 x ）x （K 一 x）进一步代数化简的x（t）=Kx ertx + （K 一 x ）e -rt00（3.2）上述解仅当0 x 0时种群规模 趋于极限K，值K称为种群的容纳量，因为它表示可用资源支持的种

13、群规模，值 r称为内秉增长率，它表示种群规模足够小能确保资源限制可忽略时达到的个体 平均增长率。但在上述假定种群的内察增长率为恒正的，也就是说种群均有良好的生存环 境，自然出生率要大于自然死亡率。事实上，在实际的生物学和生态学研究中， 我们知道生物种群生活的外部条件如温度，湿度，食物，水及其它资源通常会随 时间的变化而变化，从而对一种物种而言，种群的增长率也会随时间不同而不同。 在适宜它成长的季节里，它的内察增长率自然要大些，在不适宜它成长的季节里， 它的内察增长率自然小些，甚至会出现负增长。另一方面，随着经济的发展，环 境污染的日益加重，人类对资源掠夺式的开发，使得多数种群的生存环境日益恶

14、劣，对于情况比较严重的濒危种群，在某些斑块中可能会出现负增长，即内察增 长率为负.这样看来，要求内察增长恒正就有些强了。而本文所给条件忽略了种 群在个点特点，而只要求其在总体平均的意义下非负即可。我们力图通过研究斑 块间的扩散行为，找到斑块间的最佳扩散方式，从而在人为引导下使那些濒危种 群也能够持续生存4。4动力系统在工程中的应用长度分形维从以包覆和量度为基础的Hausdorff维和分配维入手，测度振动 波形对空间填充能力，是针对非线性动力系统振动波形的前向性，即时间方向上 的一致性提出的。从Hausdorg维和分配维的定义给出振动波形长度分形维的定义及计算方法.4.1 Hausdorff 维

15、Hausdorg维(DH)的求法是用边长为，维数等于分形体拓扑维的单元对分形 体进行覆盖.覆盖单元可有多种，这里统一称为超立方体.计算公式如下：ln N (e)D = lim 一(4.1)H A0ln 式中，N(e)为包覆所用的边长为e的超立方体数，测量平而曲线时可用单元盒作为超立方体，此时式(4.1)即盒维数.针对具有前向性的振动波形，将一维长度线段作为超立方体对振动波形进行 覆盖.集合M中，设振动波形长度为L，超立方体边长为e，则覆盖单元数为L/e， 取，= 1/N,N = N-1,由式(4.1)得到：=lim 一 冬=lim 一ln(L/N -1)5 ln()n 项ln N -1=1 +

16、 lim-(4.2)n -项 ln N 式中，e为双脚规脚距，有L = (N-1)e，其中N为曲线上测片数;L即双脚规量得的曲线长度.针对具有前向性的振动波形，集合 M中，设振动波形的长度为L，取建二1/N,Nr = N-1,由式(6),得:InL v 、.InL一 D - 1-lim -=1 + lim i nt(4.3)4.2长度分形维因为在包覆或量度振动波形时，单元是用具有一维长度单位的超立方体，因 此所得分形维称为长度分形维，即八 1 inLl N,* 顽在M中，对于有限样本点的非线性动力系统振动波形，下式成立:D = 1 + lim in(L / Nr)= 1 + l N,*in N

17、为了验证长度分形维在工程应用上的普适性，用如表1所列的已知分形维理 论值的典型工程模型及不同分形维计算方法为参考系进行分析.对于表1中4种 模型，每种取10个样本，每个样本10 000个样本点，训一算其分形维数、标准 差.结果表明，Katz方法表征分形维数的能力明显较弱，在样本点集大的情况下 不具备训一算分形维的能力;多重分形谱，当q=2时计算的关联维D:有过高估计 分维值的趋势，其计算结果几乎等于理论值.作为一特定集合，其样本点有限， 分维值不可能覆盖整个平而而达到平而维长度分形维较适度地表达了模型的分 形维理论值，且与前文比较得出，样本点集越大计算结果越精确.从实例结果还 可以看出其对理论

18、值表达的近似性，使其对于不同模型具有区分能力，这也是适 合于工程应用的特色之一。由于DL形式简单，容易程序实现，可以据其开发用于非线性动力系统检测 的软件系统，对动力状态空间进行检测和监测.笔者采用Matlab程序语言设计了 基于振动波形分析的混凝土地下防渗墙无损检测系统.该系统基于分形理论，从 非线性动力学本质上提取长度分形维这一变量作为动力状态空间的表征因子.多 个工程实践证明，长度分形维作为非线性动力系统状态空间特征参量，其检测曲 线反映了动力系统不同的状态水平及突变点，从突变点可以对缺陷准确定位.该 系统的理论本质决定了其具有较高的抗噪声能力:噪声可认为是一个全局性的时 不变动力状态子

19、空间，称为分形背景空间;在其上叠加时变动力状态子空间，这 些子空间称为分形有效空间，得到检测信号.而背景空间的不同反映在长度分形 维变化曲线的上下平移上，不影响对有效空间的表征，这决定了其噪声免疫力较 强.数值模型实验得出，对信噪平均振幅比为10:7时，该系统仍能准确地拾取突 变点.水工结构中的地下防渗墙属于隐蔽工程，其健康诊断成为土木工程领域中研 究的热点和难点.由于介质的不一致性及施工质量难以控制，检测过程中，地下 防渗墙实际是一个非线性动力系统，在激振输入下输出承载着墙体丰富介质信息 的振动波形.介质发生突变时，对应于系统动力状态的改变，反映在长度分维值 的跳跃上.为了发展混凝土防渗墙的

20、有效检测方法，某研究所建立了长20 m，厚30 cm， 平均深度11 m的混凝土防渗墙模型.根据墙体深度变化，在墙底预设了若干个局 部水平段和形状差异的锯齿形构造.这里采用DL方法对反射波进行分析，从而对 墙底进行定位并由此检测墙体的基本形状利用分形维数特征对非线性动力系统进行模式辨识是分形理论的一个成功 应用领域。讨论了用盒维数对振动波形进行特征提取和模式判别，及用谱维数对 机械振动信号进行了分析.长度分形维对理论值的适度近似性及适应于小数据点 集的性质，可以用于非线性动力系统的特征提取及模式辨识.在多个工程领域， 分形几何作为一门新的语言已得到成功应用并展示出独特的魅力.例如用不同分 维值的模型对裂缝进行数学模拟，从而研究裂缝的成因和发展是一个典型的参考文献：1李健.动力系统的复杂性及其应用J.中国科学技术大学，2012.周艳.非线性动力系统双Hopf分叉理论及在工程中的应用J.北京工业大 学，2013.3 金成桴.生物数学(第2版)M.清华大学出版社,2013.4 李金仙.几类生态种群动力系统性质的研究J.山西大学学报.2008,5 邱秀梅，田洪臣，李发洋,李妮.非线性动力系统长度分形维理论及工程应用研 究J.水利水电技术.2004,35(8):41-43.