高等数学课件：习题课

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1、下 页上 页 返 回多元函数微分学多元函数微分学第八章第八章 习题课习题课下 页上 页 返 回CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(),(),(000000，令令处取极值，处取极值，在点在点时，时，当当则则),(),(0)1(002yxyxfBAC 值，值，小小为极大为极大时，时，且当且当)(),()0(00yxfA 处不取极值，处不取极值，在点在点时，时，当当),(),(0)2(002yxyxfBAC .0)3(2时，不能确定时，不能确定当当 BAC0),(0),(0000 yxfyxfyx，将函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的的边界上的最

2、大值和最小值进行比较，其中最大者即为最大值，最大值和最小值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小者即为最小值.2、多元函数最值的求法、多元函数最值的求法1、取极值的判别法、取极值的判别法 下 页上 页 返 回解方程组解方程组 .0),(,0),(),(,0),(),()2(yxyxyxfLyxyxfLyyyxxx ),(),(),()1(yxyxfyxL 构造函数构造函数、拉格朗日数乘法：、拉格朗日数乘法：3.0),(),(下的可能极值点方法下的可能极值点方法在条件在条件求函数求函数 yxyxfz),(00yx得可能极值点得可能极值点.0),(,0),(),(下的可能极值点方法下

3、的可能极值点方法在条件在条件同理求函数同理求函数 zyxzyxzyxfu ),(),(),(),()1(zyxzyxzyxfzyxL 构造函数构造函数解方程组解方程组 0),(0),(0),(),(),(0),(),(),(0),(),(),()2(zyxzyxzyxzyxzyxfLzyxzyxzyxfLzyxzyxzyxfLzzzzyyyyxxxx ),(000zyx得可能极值点得可能极值点下 页上 页 返 回上任一点，上任一点，为抛物面为抛物面解：设解：设22),(yxzzyxP 的距离为：的距离为：到平面到平面则则022 zyxP.0)22(),(222下下的的最最小小值值在在条条件件于

4、于是是问问题题转转化化为为求求函函数数 zyxzyxzyxf2261 zyxd)()22(),(222yxzzyxzyxL 令令22yxz 02)22(2 yzyxLy 0)2)(22(2 zyxLz02)22(2 xzyxLx 解方程组解方程组)81,41,41(得唯一驻点得唯一驻点距距离离为为由由问问题题实实际际意意义义得得最最短短2467 d的最短距离的最短距离之间之间与平面与平面例、求旋转抛物面例、求旋转抛物面02222 zyxyxz下 页上 页 返 回续续一、二元函数极限与连一、二元函数极限与连:1、二元函数极限求法、二元函数极限求法求求利用第一章求极限方法利用第一章求极限方法存在方

5、法：存在方法：、证明二元函数极限不、证明二元函数极限不2过程得到极限不同过程得到极限不同选取两种不同趋向选取两种不同趋向、连续：、连续：3),(),(lim0000yxfyxfyyxx 1、偏导数的求法、偏导数的求法：.变量求导变量求导数，利用求导方法对该数，利用求导方法对该将其余变量暂时看成常将其余变量暂时看成常 2、高阶偏导求法：、高阶偏导求法：.接连多次求偏导接连多次求偏导顺顺序序从从左左到到右右注注：高高阶阶混混合合偏偏导导求求导导、多元复合函数求导：、多元复合函数求导：3，则，则设设)(),(),()1(xvxuvufz .dxdvvzdxduuzdxdz 示意图：示意图：zuvx二

6、、偏导数二、偏导数下 页上 页 返 回，则，则设设),(),(),()2(yxvyxuvufz ，xvvzxuuzxz 示意图：示意图：.yvvzyuuzyz uvxzy，则，则设设),(),()3(yxuyxufz ,xfxuufxz 示意图：示意图：,yfyuufyz zuxyyx.321等等数数字字代代表表中中间间变变量量、用用到到右右为为方方便便起起见见通通常常是是从从左左注注：对对抽抽象象复复合合函函数数，且记且记uff 1，vff 2，2211uff ，2222vff .212等等vuff 下 页上 页 返 回1、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系 可微

7、可微 连续连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在.dyyzdxxzdz 2、全微分的计算公式、全微分的计算公式:3、全微分形式不变性：、全微分形式不变性：三、全微分三、全微分dvvzduuzdz 下 页上 页 返 回四、隐函数求导方法：四、隐函数求导方法：的导数求法：的导数求法：确定确定、由、由)(0),(1xfyyxF yxFFdxdy 阶导数定义求阶导数定义求二阶导数求法：利用二二阶导数求法：利用二的偏导数求法：的偏导数求法：确定确定、由、由),(0),(2yxfzzyxF ，zxFFxz zyFFyz 的导数求法：的导数求法：确定确定、由、由 )()(0),(0),(3xgzxfyzy

8、xGzyxF.dxdzdxdyx、求求导导，再再解解方方程程组组得得将将每每个个方方程程两两边边对对的偏导数求法：的偏导数求法：确定确定、由、由 ),(),(0),(0),(4yxgvyxfuvuyxGvuyxF.xvxux 、求求偏偏导导，再再解解方方程程组组得得将将每每个个方方程程两两边边对对.yvyuy 、求求偏偏导导，再再解解方方程程组组得得将将每每个个方方程程两两边边对对下 页上 页 返 回 coscoscos)1(zfyfxflf 、方向导数计算公式：、方向导数计算公式：1 coscos)2(yfxflf 、梯度计算公式：、梯度计算公式：2 zfyfxff,1)grad(yfxff

9、,2)grad(五、方向导数与梯度五、方向导数与梯度下 页上 页 返 回方方程程：、曲曲线线的的切切线线与与法法平平面面1切线方程为：切线方程为：.)()()(000000tzztyytxx )(),(),(000tttT 法平面方程为：法平面方程为：0)()()(000000 zztyytxxt (1)设空间曲线的方程为设空间曲线的方程为 )()()(tztytx 切切向向量量用用六六、微微分分学学在在几几何何上上应应下 页上 页 返 回(2)设空间曲线方程为设空间曲线方程为,)()(xzxy ,)()(100000 xzzxyyxx .0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程

10、为法平面方程为切线方程为切线方程为 )(),(,100 xxT 切向量切向量(3)设空间曲线方程为设空间曲线方程为,0),(0),(zyxGzyxF)()()2(00 xzxy 、得到得到，利用隐函数求导方法，利用隐函数求导方法化为化为)(),(,100 xzxyT 切向量切向量下 页上 页 返 回切平面方程为切平面方程为0)()()(000 zzFyyFxxFzyx、切切平平面面与与法法线线方方程程20),()1(zyxF设曲面方程为设曲面方程为则法向量则法向量,zyxFFFn 法线方程为法线方程为zyxFzzFyyFxx 000),()2(yxfz 设曲面方程为设曲面方程为切平面方程为切平

11、面方程为0)()()(000 zzyyfxxfyx则法向量则法向量1,yxffn法线方程为法线方程为1000 zzfyyfxxyxzyxfzyxF ),(),(令令下 页上 页 返 回CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(),(),(000000，令令处取极值，处取极值，在点在点时，时，当当则则),(),(0)1(002yxyxfBAC 值，值，小小为极大为极大时，时，且当且当)(),()0(00yxfA 处不取极值，处不取极值，在点在点时，时，当当),(),(0)2(002yxyxfBAC .0)3(2时，不能确定时，不能确定当当 BAC0),(0),(0000 yxfyxfyx，将函

12、数在区域将函数在区域D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D的边界的边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大者即为最大上的最大值和最小值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值值，最小者即为最小值.2、多元函数最值的求法、多元函数最值的求法1、取极值的判别法、取极值的判别法 七、多元函数极值七、多元函数极值下 页上 页 返 回解方程组解方程组 .0),(,0),(),(,0),(),()2(yxyxyxfLyxyxfLyyyxxx ),(),(),()1(yxyxfyxL 构造函数构造函数、拉格朗日数乘法：、拉格朗日数乘法：3.0),(),(下的可能极值点方法下的可能极

13、值点方法在条件在条件求函数求函数 yxyxfz),(00yx得可能极值点得可能极值点.0),(,0),(),(下的可能极值点方法下的可能极值点方法在条件在条件同理求函数同理求函数 zyxzyxzyxfu ),(),(),(),()1(zyxzyxzyxfzyxL 构造函数构造函数解方程组解方程组 0),(0),(0),(),(),(0),(),(),(0),(),(),()2(zyxzyxzyxzyxzyxfLzyxzyxzyxfLzyxzyxzyxfLzzzzyyyyxxxx ),(000zyx得可能极值点得可能极值点下 页上 页 返 回，求求，确定确定设方程设方程yzxzyxzzezyxz

14、 )(2.sin 1.2222xuyxzeuzyx 求求，而而，设设，设设解：解：222)(zyxezyxf ，则则2222zyxxexf .2222zyxzezf ，又又yxxzsin2 2222 zyxxexu 故故yxzezyxsin22222 ).sin21(2222yzxezyx ，解：令解：令zezyxzyxF )(，则则1 xF 1，yF.1zzeF zxFFxz ，ze 11zyFFyz ，ze 11yxz 222)1(zzeyzeyxz .)1(3zzee 下 页上 页 返 回.)0(ln.3duaxauayzx求求，设设 ,ln xaaaxuyzx 解：解：,lnazayu

15、yzx ,lnayazuyzx ).(ln)ln(ydzzdyaadxxaaaduyzxyzx .3)(.422的极值的极值，求函数求函数xyxyxyxf 32 ，解：解：yxfx.2yxfy 得驻点得驻点解方程组解方程组 02032yxyx).1 2(，.2 1 2 yyxyxxfff，又又 03 )1 2(2，处，处，故在点故在点 BAC，且且02 A处取极小值，处取极小值，在点在点，因此因此)1 2()(yxf.3)1 2(，且极小值为且极小值为f下 页上 页 返 回.)1 2 1(823.5222和法线方程和法线方程处的切平面处的切平面，上点上点求曲面求曲面 zxzyyzx,823)(

16、222zxzyyzxzyxF ，解：令解：令,222zxyzFx 则则,62yzxFy .842 xzyxFz,14 11 6，n,0)1(14)2(11)1(6 zyx切平面方程为切平面方程为,0214116 zyx即即.14111261 zyx法线方程为法线方程为.)(sin)(.6yzyzxyfyxzyxzz 求求确定，确定，由由，设设)(sin)(，解：令解：令xzyzxyfyzyxF ,cos21ffxyFy 则则,2xfFz zyFFyz .cos221fxffxy 下 页上 页 返 回与法平面方程与法平面方程处的切线处的切线在点在点求曲线求曲线、)1 ,1 ,1(0453203

17、7222 zyxxzyx，切向量为切向量为)161,169,1(T故切线方程故切线方程:111 zyx1691 法平面方程法平面方程:0)1()1(9)1(16 zyx024916 zyx即即求导得求导得解：将方程两边对解：将方程两边对x,053203222 zyz zyyx代入得代入得把把1 zyx,2)1(5)1(31)1(2)1(2 zyzy，169)1(y161)1(z可取切向量为可取切向量为1,9 ,1616 T下 页上 页 返 回.),(0),(8可可微微与与定定直直线线平平行行，其其中中上上任任意意一一点点的的切切平平面面、证证明明曲曲面面vuFnyzmyxF ),(),(nyz

18、myxFzyxG 证证：令令，则则uxFG ，vuyFnFmG vzFG 量为量为曲面上任意一点的法向曲面上任意一点的法向,vvuuFFnFmFn ,1,nms 取向量取向量 sn则则0 sn nFFnFmmFvvuu 1)(.故结论成立故结论成立下 页上 页 返 回课堂练习课堂练习).1()1()()()1 1()1 1(1)1 1()(.221 ，求求，又又，具有连续偏导，具有连续偏导，设设xxfxfxfxbfaffyxf.01 0 0)(.3的距离平方和最小的距离平方和最小，使它到三条直线使它到三条直线，平面上求一点平面上求一点在在 yxyxyxMxoy.0 sin 0),()(.42d

19、xduxyzexzyxfuzy求求，设设 .)()(1 5.2yxzyxyxyfxz 求求，设设.00)()(,)(6.dxduxzeyexzzxyyzyxfuzxy确定，求确定，求和和分别由分别由，有连续偏导有连续偏导，设设 .0222 7.22的切平面方程的切平面方程平行平面平行平面求曲面求曲面 zyxyxz.)ln(1.23yxzxyxz 求求，设设.)0(8.常常数数坐坐标标轴轴上上的的截截距距之之和和为为三三个个上上任任一一点点处处的的切切平平面面在在证证明明曲曲面面 aazyx下 页上 页 返 回解：解：,1)ln(xyxz.)ln(1.23yxzxyxz 求求，设设,122xxz

20、 .023 yxz).1()1()()()1 1()1 1(1)1 1()(.221 ，求求，又又，具有连续偏导，具有连续偏导，设设xxfxfxfxbfaffyxf解：解：)1 1(1 1)1(，fff 1 1 1，ff 1 1，f.1 222122121)(fffffffffx .)1(32bababa .01 0 0)(.3的距离平方和最小的距离平方和最小，使它到三条直线使它到三条直线，平面上求一点平面上求一点在在 yxyxyxMxoy解：解：为：为：到三条直线的距离分别到三条直线的距离分别点点M,x,y,21 yx 距离平方和为距离平方和为.2)1(222 yxyxd ,0)1(2 yx

21、xdx解解.0)1(2 yxydy),41 41(，得唯一驻点得唯一驻点 ).41 41(，点为点为由问题实际意义得所求由问题实际意义得所求 M下 页上 页 返 回.0 sin 0),()(.42dxduxyzexzyxfuzy求求，设设 ,dxdyyzfxzfdxdyffdxduzzyx 解：解：，令令)()(2zexzyxFy ,21 xFx则则,2 yyeF.3 zF,231 xxz.32 yeyz，又又xdxdycos .cos2cos 321zyyxfxexfxfdxdu 故故.)()(1 5.2yxzyxyxyfxz 求求，设设),()()(1 2yxyxyfxyxyfxxz 解：

22、解：)()()()(1)(1 2yxyyxxyf yxyfxxyfxyxz ).()()(yxyyxxyf y 下 页上 页 返 回.00)()(,)(6.dxduxzeyexzzxyyzyxfuzxy确定，求确定，求和和分别由分别由，有连续偏导有连续偏导，设设 .0222 7.22的切平面方程的切平面方程平行平面平行平面求曲面求曲面 zyxyxz 解：解：0 得得解：由解：由 yexy0)(dxdydxdyxyexy.1 xyxyxeyedxdy 0 得得由由 xzez0)(dxdzxzdxdzez.xezdxdzz dxdzfdxdyffdxduzyx .1xef zxefyefzzxyy

23、xyx ，设切点为设切点为)(000zyxP,2)(22zyxzyxF ，令令,xFx 则则,2yFy ,1 zF.1 2 00 ，yxn 由已知得由已知得,1122200 yx,2 0 x,10 y.30 z 故所求切平面方程为：故所求切平面方程为：,0)3()1(2)2(2 zyx.0322 zyx即即下 页上 页 返 回，令令azyxzyxF )(zFyFxFzyx21 21 21 ，则则 21 21 21000zyxn，法法向向量量为为 :切切平平面面方方程程为为的的截截距距分分别别为为：切切平平面面在在三三个个坐坐标标轴轴上上，00000zyyxyb .00000zyzxzc cba故故截截距距和和为为)(2000zyx ，.)0(8.常数常数坐标轴上的截距之和为坐标轴上的截距之和为三个三个上任一点处的切平面在上任一点处的切平面在证明曲面证明曲面 aazyx )(000，解：设曲面上任一点为解：设曲面上任一点为zyx，00000zxyxxa .结论成立结论成立.000azyx 则则.0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx000000000222zyzxyxzyx ，a