概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章1讲

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1、 概率论 与数理统计 Probability and Mathematical Statistics 授授 课课 人：人：张学梅张学梅 张学梅简况学位：博士学位：博士教研室：高等数学教研室教研室：高等数学教研室办公地点：主楼办公地点：主楼C625办公电话：办公电话：61772874E-mail:学习要求 期末考试成绩期末考试成绩70，平时成绩，平时成绩30 平时成绩由出勤、作业完成情况、课堂平时成绩由出勤、作业完成情况、课堂表现等决定表现等决定 不能无故缺席课堂，缺课不能无故缺席课堂，缺课1/3者取消考试者取消考试资格资格 不及格者实行补考制度不及格者实行补考制度 在在社会生产活动中，人们常常

2、在不确定的情况下社会生产活动中，人们常常在不确定的情况下做出决策。做出决策。比如：比如：许多人希望通过抽彩票中大奖，你许多人希望通过抽彩票中大奖，你们们参与参与过过吗？吗？2008 2008年年2 2月月2222日，美国佐治亚州波特尔镇日，美国佐治亚州波特尔镇5454岁的铁岁的铁厂工人罗伯特厂工人罗伯特哈里斯和哈里斯和4747岁妻子唐娅岁妻子唐娅哈里斯用哈里斯用6 6个个孙儿的生日数字作为孙儿的生日数字作为“幸运号码幸运号码”购买了两张购买了两张“兆彩兆彩”彩票，当中奖号码开出后，哈里斯夫妇购买的一张彩彩票，当中奖号码开出后，哈里斯夫妇购买的一张彩票竟然一举中了票竟然一举中了2.72.7亿美元

3、的头奖！据统计，美国亿美元的头奖！据统计，美国“兆兆彩彩”头奖的中奖概率只有头奖的中奖概率只有1.761.76亿分之一，这一中奖概率亿分之一，这一中奖概率比遭雷击的概率还小。比遭雷击的概率还小。此类现象都可归类于概率问题，概率属于此类现象都可归类于概率问题，概率属于“不确不确定性定性”数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规数学，它探求社会生活中这些不确定现象的规律性（必然性）律性（必然性）-是对是对“可能性可能性”的量化；的量化；19 19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题活中的大部分，最重要的问题实际上

4、只是概率问题”。可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。率论的基础之上。下面我简要地从三个方面介绍下面我简要地从三个方面介绍“概率论概率论”的的相关知识相关知识：一、概率论的起源一、概率论的起源二、概率论的发展二、概率论的发展三、概率论的应用三、概率论的应用概率论的起源 促使概率论产生的强大动力来自社会实促使概率论产生的强大动力来自社会实践首先是

5、保险事业文艺复兴后，随着航海事践首先是保险事业文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务业的发展，意大利开始出现海上保险业务1616世世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件为了保工商业上，保险的对象都是偶然性事件为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论于是，一种专门适用于去创立保险的一般理论于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必

6、要了分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的因为这些问不是在上述实际问题的材料上形成的因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，使它难以呈扰，使它难以呈“自然的随机状态自然的随机状态”。概率论的起源与赌博问题有关。概率论的起源与赌博问题有关。14941494年意大利年意大利数学家帕西奥尼数学家帕西奥尼(1445(14451509)1509)出版了一本有关算术出版了一本有关算术技术的书技术的书.书中叙述了这样的一个问题书中叙

7、述了这样的一个问题:在一场赌博在一场赌博中中,某一方先胜某一方先胜6 6局便算赢家局便算赢家,那么那么,当甲方胜了当甲方胜了4 4局局,乙方胜了乙方胜了3 3局的情况下局的情况下,因出现意外因出现意外,赌局被中断赌局被中断,无无法继续法继续,此时此时,赌金应该如何分配赌金应该如何分配?帕西奥尼的答案是帕西奥尼的答案是:应当按照应当按照4:34:3的比的比例把赌金分给双方例把赌金分给双方.当时当时,许多人都认许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为因为,已胜了已胜了4 4局的一方只要再胜局的一方只要再胜2 2局就局就可以拿走全部的赌金可以拿走全部的赌金,而

8、另一方则需要而另一方则需要胜胜3 3局局.但是但是,人们又找不到更好的解决方法人们又找不到更好的解决方法.在这以后在这以后100100多年中多年中,先后有多位数学家研究过这个问题先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案但均未得到过正确的答案.直到直到16541654年一位经验年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教请教“赌金分配问题赌金分配问题”,引起了这位法国天才数引起了这位法国天才数学家的兴趣学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信学家之间就此问题

9、展开的异乎寻常频繁的通信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题这个问题.帕斯卡和费马以帕斯卡和费马以“赌金分配问题赌金分配问题”开始开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯（后来荷兰数学家惠更斯（1629162916951695）也参）也参加了这场讨论加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一并写出了关于概率论的第一篇正式论文篇正式论文赌博中的推理赌博中的推理.帕斯卡、费帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.随着随着1818、1919世纪科

10、学的发展，人们注意世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。推动了概率论本身的发展。二、概率论的发展（四个阶段）第一阶段：古典概率 这个定义是法国数学家拉普拉斯1812年给出的。它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能结果为有限多且等可能的情形（如掷硬币、抽签、摸球等）。随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率

11、定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。第二阶段：几何概率.它是利用几何图形的点的个数，长度、面积、体积等的比来刻画。它包含古典概率，有更大的适用范围。（转盘问题、投点问题、等候问题）第三阶段：概率的频率定义.在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率m/n 总是接近于某个常数C，在它附近摆动,这时就把这个C常数叫做事件 A 的概率记作P(A)=C。第四阶段：概率的公理化定义。为概率论确定严密的理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了

12、著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利，在他写的士数学家伯努利，在他写的概率论的第一本概率论的第一本专著专著推测术推测术中，中，他建立了概率论中第一他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和P.S.P.S.拉普拉斯拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。

13、拉普拉斯理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了在系统总结前人工作的基础上写出了分析分析的概率理论的概率理论，明确给出了概率的古典定义，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。概率论推向一个新的发展阶段。1919世纪末，俄国数学家世纪末，俄国数学家P.L.P.L.切比雪夫、切比雪夫、A.A.A.A.马尔可夫、马尔可夫、A.M.A.M.李亚普诺夫等人用分李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇

14、一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。到的许多随机变量近似服从正态分布。2020世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面机过程。这方面A.N.A.N.柯尔莫哥洛夫、柯尔莫哥洛夫、N.N.维维纳、纳、A.A.A.A.马尔可夫、马尔可夫、A.RA.R辛钦、辛钦、P.P.莱维及莱维及W.W.费勒等人作了杰出的贡献。费勒等人作了杰出的贡献。如何定义概率，如何把概率论建立在严格如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了在，对这一问题

15、的探索一直持续了3 3个世纪。个世纪。2020世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫19331933年在他年在他的的概率论基础概率论基础一书中第一次给出了概一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论使概率论成为严

16、谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。的迅速发展起了积极的作用。三、概率论的应用 在社会科学领域，特别是经济学中研究最在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采采用用许多服务系统，如电话通信，船舶装许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，竞选等存货控制，水库调度，购货排队，竞选等等，都可用一类概率模型来描述。等，都可用一类概率模型来描述。2020世纪以来，由于物理学、生物学、工程世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技

17、术和军事技术发展的推动，技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入法被引入到到经济、金融和

18、管理科学，概率经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。论成为它们的有力工具。应用案例1：保险数学（精算师）保险公司运用集少成多的保险费可以兴办事业、企业，获取利润。但是，保险费应当收多少才合理?多收了大家吃亏；少收了，保险公司赔不起，会破产，也就不保险了。保险数学，就是研究这类问题的一门应用数学，是很早就开始的，在社会生活中运用数学的成功的例子。应用案例2：天气预报 传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。一般来讲，概率值小于或等于30%，可认为基本不会降水；概率值在30%-60%，降水可能发生，但可能性较小；概率在60

19、%-70%，降水可能性很大；概率值大于70%，有降水发生。在许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要。第一讲 概率论序言 在我们所生活的世界上，充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性.如同物理学中基本粒子的运动、生如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动

20、、以及物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的然界中的不定性是固有的.这些与其说这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础必要基础.从亚里士多德时代开始，哲学家们从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们

21、理解能力范围的东西越了人们理解能力范围的东西.他们没他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性去测量不定性.将将不定性数量化不定性数量化，来尝试回答这些，来尝试回答这些问题，是直到问题，是直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的.还还不能说这个努力已经十分成功了，但就不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命的一切领域带来了一场革命.这场革命为研究新的设想，发展自这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路路

22、.而且也改变了我们的思维方法，使而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘我们能大胆探索自然的奥秘.下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是参考书目(Reference Book)1.华中科技大学出版社出版2.作者:陈小柱 张立卫编著 概率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 (Statistical Regularity)请回答请回答:预习过教材预习过教材“第一讲第一讲”后后 当人们在一定的条件下对它加当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验以观察或进行试验时

23、，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性知其结果，即呈现出偶然性.或者或者说，出现哪个结果说，出现哪个结果“凭机会而定凭机会而定”.1.什么是随机现象什么是随机现象?试举例说明试举例说明.带有随机性带有随机性(Randomness)、偶然性的现象、偶然性的现象.随随机机现现象象的的特特点点A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；B.明天的最高温度；明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.我们的生活和随机现象我们的生活和随机现象 结下

24、了不解之缘结下了不解之缘.下面的现象哪些是随机现象？下面的现象哪些是随机现象？请回答请回答:2.随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言?否！否！在一定条件下对随机现象进行在一定条件下对随机现象进行大量大量观测观测会发现某种规律性会发现某种规律性.例如例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等布规律等等.又如又如:在一个容器内有许多

25、气体分子，每个气在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向指定时刻的动量和方向.但大量分子的平均但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无无序中的规律序中的规律”.3.天有不测风云天有不测风云 和和 天气可以预报天气可以预报 有有矛盾吗矛盾吗?无无!“天气可以预报天气可以预报”指的是研究者从大指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性性.“

26、天有不测风云天有不测风云”指的是随机现象一指的是随机现象一次实现的偶然性次实现的偶然性.请回答请回答:以后有人不断把它算得更精确以后有人不断把它算得更精确.1873年，年，英国学者沈克士公布了一个英国学者沈克士公布了一个的数值，它的的数值，它的数目在小数点后一共有数目在小数点后一共有707位之多位之多!4.圆周率圆周率=3.1415926是一个无是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位一次把它计算到小数点后七位,这个这个记录保了记录保了1000多年！多年！请回答请回答:你能猜出他怀疑的理由吗你能猜出他怀疑的理由吗?各数码出现的频率应都接

27、近于各数码出现的频率应都接近于0.1,或或者说，它们出现的次数应近似相等者说，它们出现的次数应近似相等.数字数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9出现次数出现次数 60 62 67 68 64 56 62 4460 62 67 68 64 56 62 44 58 67 58 674444 但是，经过几十年后，曼彻斯特的费但是，经过几十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑林生对它产生了怀疑.原因是他统计了原因是他统计了的的608位小数，得到下面的表位小数，得到下面的表:但但7出现的次数过少出现的次数过少.从表面上看，随机现象的每一次观从表面上看，随机现

28、象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律在着必然的规律.总总 结结 随机现象有其偶然性一面，也有其随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为律性，称为随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性.总总 结结 随机现象常常表现出这样或那样的统随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论所研究的对象计规律，这正是概率论所研究的对象.