电磁场与电磁波第一章

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1、第一章第一章 矢量分析矢量分析标量场和矢量场标量场和矢量场标量场的标量场的梯梯度度矢量场的通量矢量场的通量 散度散度矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢量分析矢量分析第一节：矢量分析基础第一节：矢量分析基础一、矢量与矢量场一、矢量与矢量场1 1、标量：、标量：2 2、矢量、矢量 表示方式表示方式:3 3、标量场与矢量场、标量场与矢量场标量场标量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量函数标量函数,其值随空间坐标的变化而变其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。

2、如温度场,电位场电位场,高度场等。高度场等。矢量场矢量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量函数矢量函数,其大小和方向随空间坐标的其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等电场、磁场等.AAa 4 4、矢量的运算、矢量的运算二、常用坐标系二、常用坐标系1 1、直角坐标系、直角坐标系 x y z O P(x0,y0,z0)x0 y0 z0 A xeyeze,xyzeee单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：()xxyyzzA rA eA eA e 其位置矢量

3、其位置矢量：000 xyzrx ey ez e空间任一点空间任一点P P（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0):):坐标变量坐标变量:zyx,变量取值范围：变量取值范围：yxz微分元：微分元：xyzdre dxe dye dz2 2、圆柱坐标系、圆柱坐标系 x y z O P(r0,0,z0)0 r0 z0 reeze,rzeee单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：()()()()rxzzA rA r eA r eA r e 其位置矢量：其位置矢量：00rzrr ez e空间任一点空间任一点P(rP(r0 0,0 0,z,z0 0)变量取值范围变量取值范围 r020z微分元微分元

4、rzdre dr e rde dz3 3、球面坐标系、球面坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：y O z x P(r0,0,0)0 0 r0 reee,reee()()()()rrA rA r eA r eA r e 位置矢量：位置矢量：0 rrr e变量取值范围变量取值范围:2000 r微分元：微分元：sinrdre dre rde rd 4 4、坐标变换、坐标变换圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系cossinsincosrxyxyzzeeeeeeee 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系

5、sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyzeeeeeeeeeee 第二节第二节 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、矢量线（力线）一、矢量线（力线）矢量场的通量 二、矢量场的通量二、矢量场的通量v矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线的疏密表征矢量场的大小；v矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ()srd AS()SrdAS 若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空间中存分布于空间中，在空间中存在任意曲面在任意曲面S S，则定义：，则定义：()A r为为矢量矢量 沿有向曲面沿有

6、向曲面S S 的通量。的通量。()A r 3 3）物理含义：以流速场为例）物理含义：以流速场为例 讨论：讨论：1 1）面元矢量面元矢量 定义；定义；dS()cos()sA rr ds 2 2）ddS nS三、矢量场的散度三、矢量场的散度1、散度的定义、散度的定义2、散度的物理意义、散度的物理意义 1)1)矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量；通过闭合面通过闭合面S的通量的物理意义：的通量的物理意义：a)若若 ，闭合面内有产生矢量线的正源；，闭合面内有产生矢量线的正源；0 b)若若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源；，闭合面内有吸收矢量线的负源；0 c)若若 ，闭合面内无源。，闭合面内无源

7、。0 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为：()A rV()A r0()div()limsvrdrv ASA 2)2)矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；3、散度的计算、散度的计算1)在直角坐标系下：在直角坐标系下：(无源无源）()0divF r(正源正源)()0divF r 负负源源)()0divF r 3)3)表征该点单位体积内源的强度。表征该点单位体积内源的强度。讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，1 1）若）若 ，则该矢量场称为

8、有源场，则该矢量场称为有源场，为源密度为源密度；()0divA r()0divA r 2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无源场。()yxzFFFdivF rxyz()()()()xyzxxyyzzdivF rF reeeF eF eF exyz()()xyzxxyyzzeeexyzF rF eF eF e 哈密顿算符哈密顿算符2)在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：3)在球面坐标系下：在球面坐标系下：1()rzeeerrz()11()rzFrFFF rrrrz11()sinreeerrr 22111()()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr四、散

9、度定理（矢量场的高斯定理）四、散度定理（矢量场的高斯定理）()()VsF r dVF rdS 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场 与边界与边界S S上的场上的场 之间的关系。之间的关系。()F r()F r第三节第三节 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度一、矢量的环流一、矢量的环流SSn 环流的计算ACP环流的定义：环流的定义：设有矢量场设有矢量场 ，沿场中任一闭合的，沿场中任一闭合的有向路径有向路径l l的积分，叫作的积分，叫作 沿曲线沿曲线l l的环流。即：的环流。即：()A r()A r()lA rdl讨论：讨论：1 1）线元矢量）线元矢量 的定义；的定义；dl3 3）环流

10、意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。反之，则矢量场存在涡漩运动。()()cos()llA rdlA rr dl2)2)反映矢量场漩涡源分反映矢量场漩涡源分布情况。布情况。二、矢量的旋度二、矢量的旋度1.1.环流面密度环流面密度在场矢量在场矢量 空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M M取一面元取一面元S S，其，其边界曲线为边界曲线为C C，面元法线方向为，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小，当面元面积无限缩小时，可定义时，可定义 在点在点M M处的环量面密度处的环量面密度()A r n()A r0limc

11、sA dls SSnACM环流面密度的计算公式：环流面密度的计算公式：0lim()cos()cos()coscsyyxxzzA dlsAAAAAAyzzxxy 其中其中 为为点点M M处处 的方向余弦的方向余弦 ncoscoscos、2.2.矢量场的矢量场的旋度旋度 在直角坐标中，若定义在直角坐标中，若定义F F为：为：0limc o s(,)cSAd lFnFFnS式中：式中：表示面元单位法线方向；表示面元单位法线方向；n()()()yyxxzzxyzAAAAAAFeeeyzzxxy则称：矢量则称：矢量F F为矢量为矢量A A的旋度，记作：的旋度，记作：FrotA 旋度是一个矢量，模值等于环

12、量密度的最大值；方向为最大旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用环量密度的方向。用 表示表示rot A3.3.旋度的物理意义旋度的物理意义4.4.旋度的计算旋度的计算1 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；1)在直角坐标系下：在直角坐标系下：()()()yyxxzzxyzAAAAAArotAeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Ae Ae AxyzxyzxxxeeeAxyzAAA 三、斯托克斯

13、定理三、斯托克斯定理c()SlddAlAS四、矢量场旋度的重要性质四、矢量场旋度的重要性质()0F 意义：矢量场的旋度在曲面上的积意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分线上的线积分。第四节第四节 标量场的梯度标量场的梯度一一.标量场的梯度标量场的梯度1 1、梯度的定义、梯度的定义(,)gradu x y zu 1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场在该点处变化率最

14、大的方向，模表示此最大变化率的数值。在该点处变化率最大的方向，模表示此最大变化率的数值。2 2、梯度的运算、梯度的运算1 1）在直角坐标系中：）在直角坐标系中：xyzuuuueeexyz 2 2）在柱面坐标系中：）在柱面坐标系中：1rzuuuueeerrz 3 3）在球面坐标系中：）在球面坐标系中：11sinruuuueeerrr 三三.梯度的重要性质梯度的重要性质0u 标量场的梯度的旋度恒等于零。标量场的梯度的旋度恒等于零。四四.例题例题例题一例题一例题：例题：若若 ，证明：证明：RrrRR11()()RR 说明：说明：xyzeeexyz xyzeeexyz 第五节第五节 亥姆霍兹定理亥姆霍

15、兹定理一一.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界边界条件条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。亥姆霍兹定理的内容。二二.矢量场的分类矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)1)调和场调和场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：或或 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为调和场。为调和场。0F0F()F r()F r注意：不存在在整个空间

16、内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。2)2)有源无旋场有源无旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为有源无旋场。为有源无旋场。0F0F()F r()F r2)2)有源无旋场为有源无旋场为保守场保守场，其重要性质为：，其重要性质为：()0cF rdl 1)1)为矢量场通量源密度；为矢量场通量源密度；保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。讨论：讨论：3)3)无源有旋场无

17、源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。()F r0F0FJ()F r说明：式中说明：式中 为矢量场漩涡源密度。为矢量场漩涡源密度。J已知已知矢量矢量A A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A A的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A唯一地确定）唯一地确定）亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。4)4)有源有旋场有源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，在某些位置或整个空间内，内，在某些位置或整个空间内，有有 和和 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，内，场场 为有源有旋场。为有源有旋场。()F r0F0FJ()F r有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：()()()lsF rF rF r()()0llF rF r()0()ssF rF rJ()()lF rF r ()()sF rF rJ