【数学】高考二轮复习数学学案（3）立体几何

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1、立体几何初步【学法导航】稳定中有所创新,由知识立意转为水平立意（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要表达在命题的立意和思路上注重对学生水平的考查 （2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及

2、其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2010年高考命题的重点（4）支持新课改，在重叠局部做文章,在知识交汇点处命题【典例精析】1， 空间几何体及三视图例1用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm3 图1（俯视图） 图2（主视图）例2.一个多面体的直观图及三视图如下图，则多面体的体积为 例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有

3、 个5例5假如一个几何体的三视图如下图(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。主视图俯视图左视图2俯视图主视图左视图212例 6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为 例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，能够计算出该几何体的表面积是 12+4 2.平行与垂直例8.已知：正方体，E为棱的中点求证：；求证：平面；求三棱锥的体积证明：连结，则/， 是正方形，面，又，面 面， 证明：作的中点F，连结是的中点，四边形是平行四边形， 是的中点，又，四边形

4、是平行四边形，/，平面面 又平面，面例ABCDE9. 多面体中，。（1）求证：；（2）求证：证明：（1） ABCDEMN（2）令中点为，中点为，连结、 是的中位线 又 为正 又，四边形为平行四边形 例10如图四边形是菱形，平面， 为的中点. 求证： 平面；BACDPQO 平面平面.解：证：设 ,连 为菱形， 为中点，又为中点。 又 , 为菱形， , 又， 又 又 3.距离与角例11已知所在的平面互相垂直，且，求：直线AD与平面BCD所成角的大小； 直线AD与直线BC所成角的大小；二面角A-BD-C的余弦值如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面

5、BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90 过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC的余弦值的大小为 【点评】:此题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上表达：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。所以求直线和平面

6、所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图） 特别地 时，；时， ，或。用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，利用三垂线定理证，利用对称性定义法作二面角【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影.求PB与平面BCD所成角；.求BP与平面PCD所成的角.【解法】. PD平面BCD，BD是PB在平面BCD内的射影，PBD为PB与平面BCD所成角,BDBC，由三垂线定理得BCBD，B

7、P=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45, 即PB与平面BCD所成角为45.过B作BECD于E，连结PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE为BP与平面PCD所成的角,在RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30 即BP与平面PCD所成角为30BDPCA例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小BDPCA解析一BDPCA解析三EFGBDPCA解析二解析1.定义法 过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义

8、可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可【解法一】过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角在四棱锥P-ABCD中， PA 平面ABCD且ABCD为矩形，ADDCPDDCPA=a，AD=BC=2a，PD=,PC=,DE=,CE=同理在RtPBC中，在RtEFC中,FC=, 在RtDFC中,DF=,在DEF中由余弦定理cos=所求二面角B-PC-D的余弦值为解析2.垂面法易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN

9、相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解【解法二】略解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G，连接GF，由三垂线得GF PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可BDPCA解析四解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可。利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理

10、求出q 即可【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：直接利用定义，图(1).利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。作棱的垂面，图(3).AOBMNababAOPABOPab (1) (2) (3)4.空间几何中的向量方法例13. 如以下图，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.C1A1B1BCA

11、（1）求BN的长；（2）求异面直线BA与1CB1的余弦值；（3）求证：A1BC1M.【解法】：ACBC,CC1面ABC，能够建立如下图的坐标系（1）依题意得B（0， 1，0），N（1，0，1），=.（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=(1,-1,2)，=（0，1，2），=3，=，=.cos，=.所以，异面直线BA与1CB1的余弦值为（3）证明：C1（0，0，2），M（，2），=(-1,1,-2)，=（，0），=0，A1BC1M.【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，能够用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。特

12、别注意异面直线角的范围(0,而向量角的范围为0, SBCA【变式与拓展】在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.【解法一】：如以下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）=0，SCBC.（2）设SC与AB所成的角为，=（0，0），=4，| |=4，cos=，即为所求. 【解法二】：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，SCBC.（2）如以下图，

13、过点C作CDAB，过点A作ADBC交CD于点D，连结SD、SC，则SCD为异面直线SC与AB所成的角.四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即为所求.例14.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小【解法】：如下图建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG. 依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故点G的坐标为且. 这说明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。证明：依题意得。

14、又故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：设点F的坐标为则从而所以由条件知，即 解得 点F的坐标为 且,即，故是二面角的平面角.且 ,所以，二面角CPCD的大小为【点评】考查空间向量数量积及其坐标表示，使用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。【变式与拓展】如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD； （3）若PDA45，求EF与平面ABCD所成的角 证明：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a,

15、 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1)(0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0)() 与、共面又 E 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) (-2a, 0, 0)(0, b, c)0 CDEF(3)若PDA45，则有2b2c，即 bc， (0, b, b)，(0, 0, 2b) cos ， ， 45 平面AC， 是平面AC的法向量 EF与平面AC所成的角为：90， 45图9例15.如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的

16、点，且（）求证：平面；（）求点到平面的距离.解：()以为原点，以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则于是且 平面 （）由()知，为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是故点到平面的距离为例16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；PABCDE（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离解：方法一、（1）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=即AC与PB所成角

17、的余弦值为. （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离方法二、（）建立如下图的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为. （）因为N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.【专题综合】一、线面位置

18、关系判断:根据公理定理判断线与线、线与面、面与面的位置关系。 1（安徽3）已知是两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中准确的是省（ B ）ABC D 二、求求空间角与距离：在各图形中求异面直线角、线面角、二面角以各种距离的大小（或三角函数值），注意使用一些特殊的结论实行简便的计算。2(福建6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）A. B. C. D.三、求立体几何图形的表面积和体积：（1）球的体积与表面积；（2）棱柱（棱锥）的表面积与体积，注意用分割法，或注意等积变形，寻找不同的底面与高。3（福建15

19、）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .9四、与函数等知识相结合：将立体几何问题函数化，用函数来分析解决立体几何中的求值（最值）问题。4（北京8）如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ B ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO五、比较几何体中量的大小：比较立体几何图形中角、或边的大小5(陕西10) 如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（ D ）ABablABCD【专题突破】一、选择题1.设有两条直线a、b和两个平面、，则以下命题中错误的选项是（ ）

20、A若，且，则或 B若，且，则C若，且，则 D若，且，则450322.如下图的直观图，其平面图形的面积为 ( ) A 3 B 6 C D 3在以下命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总能够唯一表示其中准确命题的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.34已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）5、如图9，正四棱锥PABCD的侧面PAB为正三角形，E为PC中点，则异面直线BE和PA所成角的余弦值为 （ ）ABCD6已知二面角AB为

21、，P是平面内的一点，P到的距离为1则P在内的射影到AB的距离为 （ ）A B C D二、 填空题体积为的等边圆柱内有一内切球, 球内接正方体的棱长为 .8.如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到平面的距离为 .9.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 . 10.已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是 。三、解答题ABCDEFMNG11已知：正方形与正方形不共面，、分别在和上，=.求证：平面.变式：如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA

22、14，AB=5,点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1；（II）求证：AC 1/平面CDB1； ABCDP12.如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值正视图侧视图俯视图13.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（）用多少个这样的几何体能够拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论

23、；（）在（）的情形下,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值. 参考答案一、选择题1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B二、填空题7. 1 8. 9. 10.三、解答题11. 证明：（方法一）连结AM并延长交BC于G则=所以6又MN平面EG平面故平面12（方法二）过N做直线NH/EB交直线AB于H连结MH因为=所以 HM/AD/BC6于是 平面MHN/平面CBEMN平面MHN所以 平面12变式：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1

24、；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；12.解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCAB CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则为异面直线PA与BC所成的角 由（）可得ABBC，CFAF由三垂线定理，得PFAF则AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=， 异面直线PA与BC所成的角为 （III）取AP的中点E，连结CE、DEPC=AC=2， CE PA，CE=CD平面PAB， 由三

25、垂线定理的逆定理，得DE PA为二面角C-PA-B的平面角 由(I) AB平面PCB，又AB=BC，可求得BC=在中，PB=， 在中， cos=二面角C-PA-B大小的余弦值为解法二：（I）同解法一 (II) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）， 则+0+0=2= 异面直线AP与BC所成的角为（III）设平面PAB的法向量为= (x，y，z)，则 即解得 令= -1, 得 = (，0，-1) 设平面PAC的法向量为=()， 则 即解得 令=1, 得 = (1，1，0) = 二面角C-PA

26、-B大小的余弦值为ABCDC1图113.解：（）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是 ABCDD1A1B1C1图2 （）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥能够拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示. 证明:面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是 故所拼图形成立. ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3（）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G， 连结GA，在底面ABC内作BHAG，垂足为H，连结HB1，则B1HAG，故B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角. 在RtABG中，则，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. 方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）. 设向量n=（x，y，z），满足n，n，于是，解得. 取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.