江苏修转本高等数学第五章无穷级数习题课ppt课件

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束无穷级数无穷级数第五章第五章习题课习题课四、函数的幂级数四、函数的幂级数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数为为常常数数nu)(xuunn为函数为函数 1nnu主要内容主要内容机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束)(0 xunn 求和求和)(xs展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)(0 xunn 【基本问题】【基本问题】判别敛散；判别敛散；求和函数求和函数(收敛域收敛域)；级数展开级数展开.为傅立叶级数为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos

2、)(当当为傅氏系数为傅氏系数)时时,时为数项级数时为数项级数;0 xx 当当nnnxaxu)(当当时为幂级数时为幂级数;nnba,(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvunnvu ),2,1(n且且那么那么(1)(1)假设假设 收敛，必有收敛，必有 收敛收敛.1nnv 1nnu(2)(2)假设假设 发散，必有发散，必有 发散发散.1nnu 1nnv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

3、束一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法3.正项级数审敛法正项级数审敛法必要条件必要条件0lim nnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 lim n1 nunu 根值审敛法根值审敛法 nnnulim1 收收 敛敛发发 散散1 不定不定 比较审敛法比较审敛法其它法判别其它法判别部分和有界部分和有界1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数为收敛级数 1nnuLeibnitz判别法判别法:假设假设,01 nnuu且且,0lim nnu则交错级数则交错级数nnnu 11)1(收敛收敛,概念概念且且 ，余项，余项.1

4、 nnur 1nnu假设假设收敛收敛,1nnu称称绝对收敛绝对收敛 1nnu假设假设发散发散,1nnu称称条件收敛条件收敛1us 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束级数审敛法表格一览级数审敛法表格一览交错级数交错级数任意项级数任意项级数1.2.4.绝对收敛绝对收敛4.Leibnitz定理定理3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若ssn;,0,则则级级数数发发散散当当 nun正项级数正项级数4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法5.条件收敛条件收敛机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1】若级数若级数

5、 11nnnnba 与与均收敛均收敛,且且nnnbca ,),2,1(n证明级数证明级数 1nnc收敛收敛.【证明】【证明】nnnnabac 0,),2,1(n则由题设则由题设)(1nnnab 收敛收敛)(1nnnac 收敛收敛 1nnc)(1nnnnaac )(1nnnac 1nna收敛收敛【练习题】【练习题】P264机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束解答提示解答提示:【例【例2】.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:;1)1(1 nnnn;2)!()2(122 nnn;23cos)3(12 nnnn;ln1)4(210 nn.)0,0()5(1 sanansn

6、提示提示(1),1lim nnn有有时时当当,Nn 11nn)1(11 nnnn据比较判别法据比较判别法,原级数发散原级数发散.因调和级数发散因调和级数发散,0N 由此可知由此可知,可用比较法的极限形式与可用比较法的极限形式与1/n比较比较,则容易则容易.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束利用比值判别法利用比值判别法,可知原级数发散可知原级数发散.用比值法用比值法,可判断级数可判断级数 12nnn:2)!()2(122 nnn:23cos)3(12 nnnn:ln1)4(210 nn再由比较法可知原级数收敛再由比较法可知原级数收敛.收敛收敛,xxnnxn1010lnli

7、mlnlim 0!10limln10lim9 xxxxx,1ln0,10 nnNnN时时，有有当当,1ln1,ln1010nnnn 于于是是.ln1210发散发散 nn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束练习练习.否否则则举举出出反反例例正正确确则则说说明明理理由由，下下列列命命题题是是否否正正确确？若若)(,1lim)1(11收收敛敛；则则收收敛敛且且若若 nnnnnnnvvuu)(1lim),0()2(11；则则收收敛敛若若 nnnnnnuuuu;1)1(,11)1(:nunnvnnnn 如如收收敛敛，如如 1,3)1(2:nnnnnuu:)0,0()5(1 sana

8、nsn用比值判别法可知用比值判别法可知:时收敛时收敛;时时,与与 p 级数比较可知级数比较可知时收敛时收敛;1 s时发散时发散.1 s1 a时发散时发散.1 a1 aauunnn 1lim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束)(,)3(11收收敛敛；则则收收敛敛且且若若 nnnnnnvuvu)(1)4(1；发发散散，则则若若正正项项级级数数nuunnn )()(,)5(111发发散散；则则都都发发散散与与若若 nnnnnnnvuvu;1,1:2nuvnn 如如;21:nun 如如;1,1:nunvnn 如如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例

9、3】.设正项级数设正项级数 1nnu和和 1nnv 12)(nnnvu也收敛也收敛.提示提示 因因,0limlim nnnnvu存在存在 N 0,nnnnvvuu 22,又因又因)(222nnvu )()(2Nnvunn 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛都收敛,证明级数证明级数当当n N 时时2)(nnvu 【练习】【练习】设正项级数设正项级数 1nnu和和 1nnv都收敛都收敛,证明级数证明级数.,11也都收敛也都收敛 nnnnnnuvu机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束;1ln)1()3(1 nnnn【例【

10、例4】.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1)1()1(1 npnn;1sin)1()2(111 nnnn .!)1()1()4(11 nnnnn提示提示(1)p 1 时时,绝对收敛绝对收敛;0 p 1 时时,条件收敛条件收敛;p0 时时,发散发散.(2)因各项取绝对值后所得大级数因各项取绝对值后所得大级数 原级数绝对收敛原级数绝对收敛.故故,111收收敛敛 nn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun 因因单调递减单调递减,且且所以原级数仅条件收敛所以原级数仅条件收敛.由由

11、Leibnitz判别法知级数收敛判别法知级数收敛;0lim nnu但由于但由于 1 )11ln(nn 与调和级数比较与调和级数比较,知知 1|nnu发散发散机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11!)1()1()4(nnnnn因因 nnuu12)1(!)2(nnn1)111(12 nnnn1!)1(nnn n11 e所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数:先求收敛半径先求收敛半径 R,再讨论再讨论Rx 非标准形式幂级数非标准形式幂级数通

12、过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法处的敛散性处的敛散性.【例【例1】.求下列级数的收敛域求下列级数的收敛域:;)11()2(12 nnnxn.2)4(21nnnxn 【练习】【练习】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 【解】【解】nnnnnna)11(limlim 当当ex1 因此级数在端点发散因此级数在端点发散,enn 1)11(nneu nn)11(nn)11()(01 ne.)1,1(ee e 时时,12)11()2(nnnxn,1eR exe11 即即时原级数收敛时原级数收敛.故收敛区间为故收敛区间为机动机动

13、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn 【解】【解】因因)1(2121 nnxn22x nnxn22,122 x当当时时，即即22 x,2时时当当 x故收敛区间为故收敛区间为.)2,2(级数收敛级数收敛;一般项一般项nun 不趋于不趋于0,nlim级数发散级数发散;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求部分和式极限求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和求和 映射变换法映射变换法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分nnnxa 0)(*xS对和式积分或求导对和式积分或求导)(xS难难 初等

14、变换法初等变换法:分解、套用公式分解、套用公式（在收敛区间内）（在收敛区间内）nnnxa 0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1】求幂级数】求幂级数.!)12(1)1(120的和函数的和函数 nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为),(022)(!)12(1)1(21nnnxn原式原式 120!)12()1(21nnnxnx)sin(21 xx,cos2sin21xxx ),(x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束法法2先求出收敛区间先求出收敛区间,)(xS那那么么 xnnnxxxnnxxS01200d!)12(1)1

15、(d)(220!)12()1(nnnxn21120!)12()1(2 nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS ,),(设和函数为设和函数为),(x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束练习练习.)1()4(1 nnnnx;212)1()1(21 nnnxn【解】【解】(1)(21121 nnnx原式原式)120(2 x 12)2(1nnxx 222211xxx 22xx222)2(2xx 显然显然 x=0 时上式也正确时上式也正确,.)2,2(x故和函数为故和函数为而在而在2 xx0,)2(2)(222xxxS 【例【例2】.求下列幂级数的和函数：求下列

16、幂级数的和函数：级数发散级数发散,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束(4)nnxnn 1111原原式式 xnntt011d xnnttx01d1ttxd110 tttxxd110 0 x)1ln(x )1(ln11xx )1(ln)11(1xx )10(x ttnnxd110 ttxnnxd110 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1)1(nnnnx,)1(ln)11(1xx 显然显然 x=0 时时,和为和为 0;根据和函数的连续性根据和函数的连续性,有有)(xS110,)1(ln)11(1 xxxx及及0 0 x，1 1 x，10 xx=1

17、时时,级数也收敛级数也收敛.即得即得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例3】.21的和的和求求 nnn【解】【解】112 2 nnnnnxn可可视视为为幂幂级级数数级级数数 1 2 11时时的的值值当当求求导导后后所所得得级级数数 xnxnnn11()22nnnnnxx 2212xxxx|2x 11 11()22nnnnnnxx 22()2(2)xxx|2x 令令 x=1 x=1 即得即得2)12(2221 nnn )2(22211中中在在xnxnnn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束四、函数的幂级数四、函数的幂级数 直接展开法直接展开法

18、 间接展开法间接展开法练习练习（1将函数将函数2)2(1x 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式利用泰勒公式【解】【解】xx21)2(12 21121x 0221nnnx,22111 nnnxn)2,2(x1.函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法【例【例1】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,)()2(02 xtdtexf,!0 nnxnxe,!)1(022 nnntnte xnnndtntxf002!)1()(),()12(!1)1(120 xxnnnnn将将f(x)展开成展开成x的幂级数的幂

19、级数.【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束（3）设设)(xf0,arctan12 xxxx0,1 x,将将 f(x)展开成展开成x 的幂级数的幂级数,1241)1(nnn的和的和.(01考研考研)【解】【解】211x,)1(02 nnnx)1,1(xxarctan xxx02d11,12)1(012 nnnxn1,1 x)(xf 1212)1(1nnnxn 02212)1(nnnxn于是于是并求级数并求级数机动机动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 02212)1(nnnxn 12112)1(nnnxn)(xf 1212)1(1nnnxn 1212)1(1nnnxn 12121121)1(1nnnxnn,41)1(21122 nnnxn1,1 x 1241)1(nnn1)1(21 f214