高数课件68多元函数的极值

《高数课件68多元函数的极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数课件68多元函数的极值（34页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果

2、汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若若恒恒有有不不等等式式),(),(00yxfyxf 成成立立，则则称称函函数数在在),(00yx有有

3、极极大大值值；若恒有不等式若恒有不等式),(),(00yxfyxf 成立，则称函成立，则称函数在数在),(00yx有极小值；有极小值；极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值.使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点.极值点必须是函数定义域的极值点必须是函数定义域的内点内点.(1)例如例如1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz -10-50510 x-10-50510y-10-50z-10-50510 x(2)(2)-10-50510 x-10-50

4、510y-100-50050100 xy-10-50510 x(3)(3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定定理理 1 1（必必要要条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零：即即有有 0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.几几何何意意义义:若若),(yxfz 在在点点),(00yx有有切切平平面面且且),(00yxf为为极极值值，则则切切平平面面一一定定平平行行于于 xoy 平平面面 .不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),

5、(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意),(yx),(00yx 都都有有),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推推广广：如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP 具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyxfx，0),(000 zy

6、xfy，0),(000 zyxfz.例例如如,点点)0,0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.注意注意：有偏导数有偏导数的函数极值点必为驻点；的函数极值点必为驻点；但驻点未必是极值点但驻点未必是极值点.极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？极值点也可能是一阶偏导不存在的点极值点也可能是一阶偏导不存在的点.定理定理2 2（充分条件充分条件）

7、设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则(1 1)02 BAC时时，),(00yxf为为极极值值，且且当当0 A 时时),(00yxf为为极极大大值值，当当0 A时时),(00yxf为为极极小小值值；(2 2)02 BAC时时，),(00yxf不不是是极极值值；(3)(3)02 BAC时，时，),(00yxf是否为极值还需另作是否为极值还需另作讨论讨论 33221(,)339.

8、f x yxyxyx例、求的极值(,)(1)cos.yyf x yexye例、证明函数有无穷多个极大值，但无极小值求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组,0),(0),(yxfyxfyx求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号，再再判判定定是是否否是是极极值值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值

9、极值来求函数的最大值和最小值.设函数设函数 z=f(x,y)在在闭闭区域区域 D 上连续上连续,则则函数在函数在 D 上上必有最大值和最小值必有最大值和最小值.z=f(x,y)的最值既可在的最值既可在 D 的内点处取得的内点处取得,也可也可在在 D 的边界点处取得的边界点处取得.设函数设函数 z=f(x,y)在在闭闭区域区域 D 上连续、可微上连续、可微,且且只有有限个极值点只有有限个极值点,若最值若最值在在 D 内取得内取得,则则最值最值点必是极值点点必是极值点 .求出函数在求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和的点处的函数值和在在 D 的边界上的最

10、大值和最的边界上的最大值和最小值小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小者即为最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法：解解xyo6 yxD如图如图,先求函数在先求函数在D内的驻点内的驻点 222(,)2(4)0(,)(4)0 xyfx yxyxyx yfx yxxyx y由解解得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1,2(,且且4)1,2(f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值，在在边边界界0 x和和0 y上上0),(yxf,在在边边界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(4

11、2 xxxfx,得得4,021 xx,2|64 xxy,64)2,4(f 比比较较后后可可知知4)1,2(f为为最最大大值值,64)2,4(f为为最最小小值值.xyo6 yxD 求实际问题中，由问题的实际意义可知函求实际问题中，由问题的实际意义可知函数数 f(x,y)有最值，且在有最值，且在 D 内只有唯一的驻点，内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值.32m例3 某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.三、条件极值拉格朗日乘子法三、条件极值拉格朗日乘子法无条件极值无条件极值：对自变

12、量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),(问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(200108 yx条件极值条件极值

13、：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法求求函函数数),(yxfz 在在条条件件0),(yx 下下的的极极值值 .由由 .0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出,yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束条件有多个的情况：条件有多个的情况：或或：求求函函数数),(tzyxfu 在在条条件件 0),(tzyx，0),(tzyx 下下的的极极值值.先先构构造造函函数数 ),(),(21tzyxftzyxF ),

14、(),(21tzyxtzyx 其其中中21,均均为为待待定定系系数数，可可由由 偏偏导导数数为为零零及及条条件件解解出出tzyx,，即即得得极极值值点点的的坐坐标标.解解223323020012xyzLx y zLx yzLx yxyz解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故故最最大大值值为为解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上第第一一卦卦限限一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,过过),(000zyxP的的切切平平面面方方程程为为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化简简为为 1202020

15、czzbyyaxx,该该切切平平面面在在三三个个轴轴上上的的截截距距各各为为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,求求0002226zyxcbaV 在条件在条件1220220220 czbyax下的最小值下的最小值,即求即求000zyxu 在条件在条件1220220220 czbyax下的最大值下的最大值,222000000000222(,)(1)xyzL xy zx y zabc令当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四四面面体体的的体体积积最最小小abcV23min.可得可得即即30ax 30by

16、 ，30cz 01020202220220220200020002000czbyaxczyxbyzxaxzy 求求0002226zyxcbaV 在在条条件件1220220220 czbyax下下的的最最小小值值,即即求求000zyxu 在在条条件件1220220220 czbyax下下的的最最大大值值,即求即求000lnlnlnzyxu 在条件在条件1220220220 czbyax下的最大值下的最大值,)1(lnlnln),(220220220000000 czbyaxzyxzyxG 令令由由,010,0,0220220220000 cybyaxGGGzyx当当切切点点坐坐标标为为(3a，3

17、b，3c)时时,四四面面体体的的体体积积最最小小abcV23min.01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz .,22972,13249221求求两两直直线线间间的的距距离离：、设设 zyxLzyxL课后练习：课后练习：.,2,)sin(sinsin),(1轴所围轴所围轴轴由由其中其中上的最大与最小值上的最大与最小值有界闭区域有界闭区域在在、求、求yxyxDDyxyxyxf 多元函数的极值多元函数的极值条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、

18、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点点均均取取得得极极值值，则则),(yxf在在点点),(00yx是是否否也也取取得得极极值值？思考题解答思考题解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2),0(yyf 在在)0,0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0,(xxf 在在)0,0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0,0(不不取取极极值值.一、一、填空题填空题:1 1、函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、函数

19、函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点,使使 它它 到到0,0 yx及及0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小.三三、求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体.练练 习习 题题四、四、在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1222 zyx的切平面的切平面,使使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求求切点的坐标切点的坐标.一一、1 1、(3 3,2 2),大大,3 36 6；2 2、大大,41；3 3、7 7,-1 1.二二、)516,58(.三三、当当长长,宽宽,高高都都是是32a时时,可可得得最最大大的的体体积积.四四、).31,31,31(练习题答案练习题答案