经济应用数学基础微积分第九章

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1、第九章第九章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介一、微分方程的一般概念一、微分方程的一般概念二、一阶微分方程二、一阶微分方程三、几种二阶微分方程三、几种二阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程五、差分方程简介五、差分方程简介9.1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念解解(),yy x设所求曲线为则2 dyx x ,2Cxy 即即,1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为1、问题的提出d2d(1)3yxxy解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后22d0.4dst 1d0.4dsvtCt 2122.0CtCts 代数方程代数方程

2、一一元元 次次代代数数方方程程：1110nnnnnxa xaxa 无无理理方方程程：256x 方方程程组组：71xyxy 特点：未知变量是数特点：未知变量是数方程方程：含有未知量含有未知量(数数)的等式。的等式。函数方程（泛函方程）函数方程（泛函方程）求求函函数数满满足足 （）比比如如：22()()sin1()cosZ tZtttt 求求函函数数（）满满足足 （）再再如如：22122()1()2d Z ttZ ttc tcdt 一一定定条条件件下下由由来来确确定定隐隐函函数数隐隐函函数数问问题题：(,)0()F x yyy x 原原函函求求数数问问题题：函函数数满满足足()()dyyy xf

3、xdx特点：未知变量是函数特点：未知变量是函数1.1.微分方程的定义微分方程的定义定义定义：包含自变量，未知函数以及未知函数的：包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式，称之为某些阶导数的关系式，称之为微分方程微分方程 。21.dyxdx 22222.(1)0d udurrrudrdr ()3.(,)0nF x y yy 4.dxxydtdyxydt 25.0ux y 222226.4uuux yyz )(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT422常微分方程常微分方程：自变量自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程常微分方

4、程。偏微分方程：偏微分方程：自变量自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程偏微分方程。未知函数的导数的最高阶数未知函数的导数的最高阶数n n称为该方程的阶称为该方程的阶。当当n=1n=1时，称为时，称为一阶微分方程一阶微分方程；当当n1n1时，称为时，称为高阶微分方程高阶微分方程。)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT4222.2.微分方程的阶微分方程的阶()().若若将将函函数数代代入入方方程程后后两两端端成成立立则则称称函函数数为为该该方方解解程程的的一一个个yxyx 一一函函微微分分，方方程程，3.微分方程的解微分方程

5、的解222.+()yxyxyxc c例1：是微分方程的一个解为任意常数 也为该方程的解。常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的这样的解为该微分方程的通解通解。在通解中给予任意。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为常数以确定的值而得到的解，称为特解特解。3122,13xyxc xc例2：对微分方程y是它的解.为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初附加一定

6、的条件，它由系统在某一时刻的初始状态给定。称这种条件为始状态给定。称这种条件为初始条件初始条件。d2d(1)3yxxy2,yxC22d0.4d(0)0,(0)20stss 2122.0CtCts 初始条件初始条件常微分方程；常微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解;初始条件；初始条件；特解；特解；小结小结偏微分方程；偏微分方程；9.2 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的一般形式是(,)0F x y y 一阶微分方程的初始条件：一阶微分方程的初始条件：0 xx0yy记作记作00()y xy或或00|x xyy当当时，时，()()dy

7、f x g ydxyxedxdy 例如例如,xdxdyey 解法解法设函数设函数)(yg和和)(xf是连续的是连续的,1()()dyf x dxg yCxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法一、可分离变量的一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程形如形如的方程，称为的方程，称为变量分离方程变量分离方程.1()()()()G yF xf xg y设和分别为和的原函数，则dyydxx例1：求微分方程=的通解.110,ln|ln|()dydxyyxyxC C 解：当时，两边积分得为任意常数11|=CCxyexyeCxy C 从而，或 （其中C为不等于0的常数）又因为y=

8、0为原方程的解，这个解可以包含在上述C=0中。所以原方程的通解为 （其中C为任意常数）说明：以后可以不需要详细写出处理绝对值符号的过程。例例2 2 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为为所所求求通通解解xCey 例例3 22 110 xyyyx求方程的通解。解分离变量得01122 yydyxxdx Cyydyxxdx2211两两端端积积分分得得Cxy 2211即即得得练习：课本P410,2(1,2,3)二、齐次微分方程二、齐次微分方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方

9、程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义0 01 1作作变变量量代代换换(引引入入新新变变量量),方方程程化化为为yux(),()dug uudyduxudxxdxdx 0 02 2解解以以上上的的变变量量分分离离方方程程0 03 3变变量量还还原原.22dyydxxyx例1：求微分方程的通解例例 2 2 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为

10、解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 练习：课本p410,3(3,4)一一、微微分分方方程程的的基基本本概概念念：常常微微，偏偏微微，阶阶，通通解解，特特解解。二二、变变量量分分离离微微分分方方程程的的解解法法 yux 三三、齐齐次次微微分分方方程程的

11、的解解法法:内内容容回回顾顾 )()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.三、一阶三、一阶线性线性微分方程微分方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变

12、量法使用分离变量法)解解对对应应的的齐齐次次方方程程 得得对对应应齐齐次次方方程程解解01()dyp x ydx 常常数数变变易易法法求求解解 令令其其解解为为02()(),dyP x yQ xdx 为为任任意意常常数数(),p xycedxc ()()p x dxyc x e ()()()()()p x dxp x dxdydc xec x p x edxdx()()()p x dxdc xQ x edx ()()()p x dxc xQ x edxc 故故通通解解为为 ()()03()p x dxp x dxyeQ x edxc 2.线性非齐次方程线性非齐次方程()().()dyP x y

13、Q xdx常数变异法32(1)1yyxx例1：求一阶线性微分方程的通解3()0(0)ydxxy dyy例2：求微分方程的通解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例3 3练习：课本P410 3(1，2)小结：一阶微分方程的求解一、变量分离方程；二、齐次方程（作变换y=ux）；三、线性方程（常数变异法）9.3 几种二阶微分方程几种二阶微分方程二阶微分方程的一般形式为二阶微分方程的一般形式为(,)0F x y y y(,)yf x y 二

14、二、不不显显含含函函数数的的微微分分方方程程(,)yf y y 三三、不不显显含含自自变变量量的的二二阶阶微微分分方方程程()yf x 一一、只只含含自自变变量量的的微微分分方方程程形形 如如 的微分方程是最简单的二阶微的微分方程是最简单的二阶微分方程。分方程。一、最简单的二阶微分方程一、最简单的二阶微分方程()yf x 特点特点：右端是：右端是 的一元函数。的一元函数。x解法解法：连续求：连续求 两两 次积分。次积分。例例 解微分方程解微分方程xyxe(,)yf x y 二二、不不显显含含函函数数的的微微分分方方程程特点特点：右端不显含：右端不显含,y),(pxfp 方程化为 211),()

15、,()(cdxcxycxxp 解出()yp xyp ：令令解法解法满足初始条件满足初始条件3,100 xxyy的特解。的特解。代入型的。设所给方程是解,),(pyyxfy 方程并分离变量后，有方程并分离变量后，有dxxxpdp212 两端积分，得两端积分，得,)1ln(ln2Cxp 例例1 求微分方程求微分方程 22)1(xyyx 即即).()1(121ceCxCyp 得由条件,30 xy,31 C所以所以).1(32xy 两端积分，得两端积分，得.323Cxxy 得又由条件,10 xy,12 C于是所求的特解为于是所求的特解为.133 xxy(,)yf y y 三三、不不显显含含自自变变量量

16、的的二二阶阶微微分分方方程程特点特点：右端不显含：右端不显含xpdydpdxdydydpdxdpy.),(pyfpdydp 方程化为),(1cyp 求得),(1cydxdy 即 .21),(cxcydy 分离变量并积分得,()yppyyp y :令令并并且且将将 视视为为 的的函函数数，即即解法解法.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 2(,)yf x y 二二、不不显显含含

17、函函数数的的微微分分方方程程(,)yf y y 三三、不不显显含含自自变变量量的的二二阶阶微微分分方方程程()()()(,)pyp xyp xxf x p 令令()()()(,)()yp yyxpp ypp yf y p 令令()yf x 一一、只只含含自自变变量量的的微微分分方方程程对对方方程程两两边边积积分分两两次次小小结结411,5(1,3,5,7)P课课堂堂练练习习：0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的一般形式二阶常系数齐次线性方程的一般形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的一般形式二阶常系数非齐次线性方程的一般形式9.4 二阶常系数线性微分方程（补充内容）二阶常系数线性

18、微分方程（补充内容）二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶常系数线性齐次方程解的结构二阶常系数线性齐次方程解的结构:问题问题:一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0 qyypy其中其中 、为常数为常数pq证明：证明：由前面定理知由前面定理知 是（是（1）的解）的解1122yC yC y 在在 不等于常数的条件下，可以证明不等于常数的条件下，可以证明 中含有两个任中含有两个任意常数，所以意常数，所以 是（是（1）的解。）的解。12yyyy若若 ，则，则 ，于是，于是12yky12yky1222()yc kcycy其中其中 ，因而，因而 中只有一个常数，

19、所以不是（中只有一个常数，所以不是（1）12cc kcy的通解。的通解。满足满足 不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。12yy因此，因此，是（是（1）的解的充分必要条件是：常数）的解的充分必要条件是：常数 为为rxey r分析分析:0 qyypy若能够找到一个函数若能够找到一个函数 ,使得使得 ,0)(xyybyyay 且且 ,则则0qpba0)(yqpbaqyypy什么样的函数具有这样的特点呢什么样的函数具有这样的特点呢?我们很自然想到指数函数我们很自然想到指数函数 rxey 为常数为常数,将它代入上式得将它代入上式得0)(2qprrerx则有

20、则有 ,称为（称为（1）的特征方程。）的特征方程。02qprr特征方程的根。特征方程的根。-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程,得得0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0(特征根为特征根为有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0(一特解为一特

21、解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy ,0)()2(1211 uqprrupru,0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0(重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方

22、程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特

23、征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)(

24、)(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)三、常数（或参数）变易法三、常数（或参数）变易法得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()(222211112211xfqyypyxcqyypyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc,0)(2121 yyyyxw系系数数行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)(

25、)()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例例 求非齐次方程求非齐次方程 的通解。的通解。xxeyyy 23差分方程的一般概念差分方程的一般概念定义定义9.3 设函数设函数 ，记为，记为 。当。当 取非负整数时函数值取非负整数时函数值可以排成一个数列：可以排成一个数列：)(xfy xyx,10 xyyy则差则差 称为函数称为函数 的差分，也称为一阶差分，记为的差分，也称为一阶差分，记为xxyy1xyxy即即 。xxxyyy1)()()(1121xxxxxxxyyyyyyyxxxyyy122记

26、为记为 ，即，即xy2xxxxxyyyyy1222)(称为函数称为函数 的二阶差分。的二阶差分。xy同样可定义三阶差分，四阶差分，同样可定义三阶差分，四阶差分，),(),(3423xxxxyyyy二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。由定义可知差分具有以下性质：由定义可知差分具有以下性质：（1）（C为常数）为常数）xxyccy)(（2）xxxxzyzy)(例例1 求求)(),(),(23222xxx（二）差分方程的一般概念（二）差分方程的一般概念定义定义.含有未知函数差分或表示未知函数几个时期含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。形

27、如值的符号的方程称为差分方程。形如0),(1nxxxyyyxF0),(1nxxxyyyxG0),(2xnxxxyyyyxH的方程都是差分方程。方程中含未知函数附标的最大值与最小的方程都是差分方程。方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶。值的差数称为差分方程的阶。定义定义.如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有独立的则称此函数为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分方程的通解。任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分方程的通解。一阶及二阶常系数线性差分方程（略）一阶及二阶常系数线性差分方程（略）