机械控制工程基础第二章答案

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1、习题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示 的系统中, x 表示系统输出, x 表示系统输入,哪些是线性系统?oi(1) X + 2 x X + 2 x = 2 x(2) X + 2 x + 2 tx = 2 xo o o o i o o o i(3) x + 2 x + 2 x = 2 x(4) x + 2 x x + 2 tx = 2 xo o o i o o o o i解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（ 2）和（3）是线性系统。2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微

2、分方程，图中x表示输入位移，x表示输出位移，假设输出端无io负载效应。图（题2.2）解：（1）对图（a ）所示系统，由牛顿定律有c ( x - x ) - c x = mx1io即2 o omx + ( c + c ) x = c x o12o1 i对图(b)所示系统，弓|入一中间变量x,并由牛顿定律有(x -x)k =c(x-x )(1)i 1 oc(x-x )=k xo 2 o消除中间变量有c ( k 一 k ) x 一 kkx = ckx1 2 o 1 2 o 1 i(3)对图(c )所示系统，由牛顿定律有 c ( x 一 x ) + k ( x 一 x ) = k xi即o1io2 o

3、c x + ( k + k ) x = cx + k xo12oi1 i2.3 求出图(题 2.3)所示电系统的微分方程。图(题 2.3)解:对图(a)所示系统，设i为流过r的电流,i为总电流，则有11u -u = R iu -u1f (i-i )dt消除中间变量,并化简有C R u + (1 + 作 + J u 冷-u对图（b）所示系统，设12 oR C o C R o2 2 2 2=C R u + (+ J u + ui 2 i R C i C R i1 2 2 1i 为电流，则有u -u + R i+ f idti o 1 C1消除中间变量,并化简有(R + R ) U + (+) u

4、= R U + u12oCCo2 i C i1 2 22.4求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,cm为圆周阻尼，J为转动惯量。解：设系统输入为M （即）输出。（即），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：M -jO+C 0 + Rk(R0 x)k (Ro 一 x)=mX+cx消除中间变量 x ,即可得到系统动力学方程mJ0 + ( mC + cJ ) 0 + ( km + C c 一 KJ ) 0 + k ( c R2 + C ) 0 mmm= mM + cM + KM2.5 输出 y(t)及输入x(t)的关系为 y(t)= 2x(t)+0.5X3(t)。(

5、1) 求当工作点为x =0,x =1,x =2时相应的稳态时输出值；ooo(2) 在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定 义x和y，写出新的线性化模型。解 将 x =0,x =1,x =2 分别代入 y(t)= 2x(t)+0.5X3 (t)中，即当ooo工作点为 x =0, x =1, x =2 时相应的稳态输出值分别为oooy = 0 , y = 2.5 ,o0y=8。o(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点( x,y )附近,将oo非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得y + V y = 2x + 0.5 x3 + ( 2 + 1.5 x2)| vxooox=

6、xov y = ( 2 + 1 .5 x2)| v xx=xo若令x = v x，有 y = ( 2 +1.5x2)xy =(2+1.5x2) x=2x0y =(2+1.5x2) x=3.5x0y =(2+1.5x2) x=8x00当工作点为x = 0时,o当工作点为x = 1时,o当工作点为x = 2时,o2.6已知滑阀节流口流量方程式为，式中.Q为通过节流阀流口的流量；P为节流阀流口的前后油压差；x为节流阀的位移量；C为疏量系数；W为节流口面积梯度；p为油密度。试以Q及P为变量（即将 Q 作为 P 的函数）将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F（x，P）在预定工作

7、v点巩x，p ）处按泰勒级数展开为ooQFQ=F（x，p ）+（）（x，p ） x 一（巴）（x，p ）Vp+vo oQxvo ov Q pvo ov消除高阶项，有QFQ=F（x ,p ）+（）（x ,p ） x + （00（x ,p 声p vo oQxvo ov Q pvo ov VQ=F（x，p）-F（x，p ）vvo oQF=F(x ,p )+()(x ,p )eVx + (巴)(x ,p )eVp-F(x ,p )vo 亠 oQxvQFvo o v * * * *Q p=()(x ,p )vx + (伫)(x ,p )VpQxvvo o vQ pvo ovo ovo oQFK 2=(訂

8、 xvo, po)若令K =(巴)|(x p) L Qxvo，ov2.7 已知系统的动力学方程如下 ,试写出它们的传递函数 Y(s)/R(s)。(1) y(t) +15y(t) + 50y(t) + 500y(t) = r(t) + 2r(t)(2) 5y(t)+ 25y(t)= o.5 r(t)(3) y(t) + 25y(t) = 0.5 r(t)(4) y(t) + 3y(t) + 6y(t) + 4 ； y(t)dt = 4 r(t)解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。(1)sY (s) + 15s2

9、Y (s) + 50sY(s) + 500Y (s) = s? R(s) + 2sR(s)Y(s)/ R(s)=s2+2ss 2+15s2+50s+500 5s2Y(s)+25sY(s)=0.5sR(s)Y (s)/ R(s)=0.5s5s 2+25ss 2Y (S)+25SY (s)=0.5R(s)Y (S)/R(s)=0.5s2+25s s 2Y (s)+3sY (S)+6Y (s)+41 Y (s)=4Y (s)sY (s)/R(s)=62.8 如图(题 2.8)为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移X为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。2.9试分析当反

10、馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为 惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为,G(s)=Ts “而闭环传递函数为G(s)G(s)=，则B吐G(s)H (s)人当反馈环节H (s)=1,前向通道传递函数G(s )为惯性环节时，KGB(s) =G(S)二鬥=KB吐G(s)H (s)吐 KTs+1K-TST(2) 当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，G (s),化、=TSB吐 G(s) H (s) TTs(3) 当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s )为积分环节时，KG(s) =

11、G(s)= V = KlG(s) H (s) TK 1K2.10证明图(题2.10)及图(题2.3 (a)所示系统是相似系统(即证明两系统的传递函数具有相同形式)。解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。lu = R + J idt(1)O 2 C2u u = R ii o 1 11u u - f (ii )dti o C11(2)(3)对以上三式分别作 Laplce 别换，并注意到初始条件为零,即I(0)=I(0)=0I(0)=I2(0)=0I (s)(U (s)=R I(s)+_O 2C 2sU (s)U (S)=RI (s)iO11(S)(s) I (s) Cis CisU (s)U

12、i,得U (s) U (s)=5)6)4)(6)xR ,1R U (s) U (s)1昼人(s)Cis 1R1Z(s)(7)却1(s)(7)+(8),1( 1Cis1+R)U (s)U (s)=R1 I (s)CRU(s)UO =寸 x1+R1C1sCi$，w12RU (s) =Uo(s)+ t+Rci(s)(9)1+ R1 1将(4)式中的U (s)代入(9)式01吓-=(R 2+CT)+1+Rc；1 R1)I(s)=(r2+丄+-2 C 2 - 1+R1C1-再用(4)式及上式相比以消去 I(s) ,即得电系统的传递函数为1/、(R2+)I(-)G(-)牛=JU 1(-)(R 2+ ) I

13、 (-)2 C2- (1+R1C1-)1R 2+2 C 2 - R + 1 +R12 C2- (1+R1C1-)o21而本题中，弓I入中间变量X,依动力学知识有 (x - x )k + (x -X )c = (Xo-x )c0 2(X -x )c = k x、2o 11对上二式分别进行拉式变换有k X X/ 2 L 2Ix(-)=汕k+C- 消除X(-)有+ SC 2X (s) -X(s)厂 XO(s)-X(s)sc1X0(s)c + k 22 s+ k2 + ciC 2 S1+fl Sk1比较两系统的传递函数有c o R c o R2 2 1 1故这两个系统为相似系统。2.H 齿轮系如图（题

14、2.H）所示。图中，z、Z、Z和Z分1 2 3 4别为各齿轮齿数；J、J、和J表示各种传动轴上的转动惯量，9、1 2 3 19 和9 为各轴的角位移； M 是电动机输出转矩。试列写折算到电2 3 m动轴上的齿轮系的运动方程。91Ji02J2Z2J33Z4图题2,11)2.12 求图(题 2.12)所示两系统的传递函数。图(题 2.12)解：由图(a)中系统，可得动力学方程为x(t)-Xo(t)k = mXo(t)+CXo(t)作 Laplce 别换，得X (s)-X (s) k=ms2X(s)+csX(s)L io oo则有G(s)=X0(s)/X (s)=k /(ms2+cs+k)0i由图(

15、b)中系统，设i为电网络的电流，可得方程为u = Ri+Lidi + 1 dt+ CJ idt作Lapice别换；得U (s)=RI(s)+LsI(s)+_LI(s)iCs消除中间变量有G(s)=U 0(s)/U. (s)=0i1LCs 2+RCs+12.13某直流调速系统如图（题2.13）所示，u为给定输入量, s电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩t为系统的扰动L 量。各环节的微分方程：比较环节 u -u -un s fn比例调节器u -K v u（ K为放大系数）c k n k晶闸管触发整流装置 u -K u（ K 为整流增益）d k c s电动机电枢回路u -i R + L d

16、ia + ed a d d（R为电枢回路电阻,L为电枢回路电感,i为电枢电流）dda电枢反电势 e-K n （K 为反电势系数）dd电磁转矩M -K i （K 为转矩系数）e m am负载平衡方程（J 为转动惯量， T 为负GL载转矩）测速电动机u n（为转速反馈系数）fn试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和 控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数和。RP：图（题2. 13）2.14f试绘制图题 2.14）所示机械系统传递函数方框图。bJ?He7777E题2. 14)2.15 若系统传递函数方框图为图(题 2.15)。求以R(s)为输入，当N(s)=0时，分别以C

17、(s)、Y(s) 、B(s) 、E(s) 为输出的闭环传递函数； 求以N(s)为输入，当R(s)=0时，分别以C(s)、Y(s) 、B(s) 、E(s) 为输出的闭环传递函数；(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论？图(题2.15)解:求以R(s)为输入，当N(s)=0时:若以C(s)为输出，有g嵋=1+；篇：H若以Y(s)为输出，有G1(s)G疇1若以 B(s) 为输出,有B(s) G1(s)G2(s)H (s)G (s) = 1BR(SJ l+q(s)G2(s)H (s)若以 E(s) 为输出,有G (s)=_( J (、ER(s) 1+Gx(s)G 2(s) H (s)求

18、以N(s)为输入，当R(s)=0时:若以C(s)为输出，有G (s)=CC(s)G 2(s)1+G1(s)G 2(s) H (s)若以Y(s)为输出，有G (s) = Y(s)=- Gi(s)G2(s)H(s) y 丽 1+G1(s)G 2(s) H (s)若以 B(s) 为输出,有G (s)=BB(s)Rs)G2(s)H(s)1+G1(s)G 2(s) H (s)若以E(s)为输出，有G (s)=EE (s)-G2(s)H(s)1+G1(s)G 2(s) H (s)(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递出数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但

19、系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映 了系统的固有特性，而及外界无关。2.16 已知某系统的传递函数方框图为图(题 2.16)，其中，X (s)为输入，X (s)为输出,N(s)为干扰，试问：G(s)为何值时，iO系统可以消除干扰的影响。图(题 2.16)解：方法一：根据线性系统的叠加原理，令X (s)=0 ,N(s)为输i入，系统的输出为(s)G (s) - K 4G 2 B(s)42 B其中G (s)=1BKK2 K31 S Ts+11+K 7 上31 s Ts+1K1K2K3Ts 2+s+K K 2 K 3G (s)=2BTs+l1+K 7 K 31 s Ts+1K 3 T

20、s 2+s+K K 2 K 3K1K2K3G(s) - K4 sLK1K 2 JTs 2+s+K1K 2 K3（s）G（s）- K 4G2BX (s) =0oN方法二：令X （s） = 0 , N（s）为输入，贝I系统的传递函数方框图i可以表示成图（题2.16.b）所示。图（题 2.16.b）根据相加点前后移动的规贝可以将其进一步简化成图（题2 .16. c）和图（题2.16. d）所示的形式。图（题 2.16.C）图(题 2.16.d)因此，系统在N(s)为输入时的传递函数为G ( s)NKK2K3 G(s)-K 4 sK1K2Ts 2+s+K K 2 K同样可得时，系统可消除干扰的影响。2

21、.17 系统结构如图(题 2.17)所示，求系统传递函数。cC2(S)(GW 4)G25i(s)(1+G3s)C(s)Gb=Rsy1+GG 2(1+GJ2.18求出（题2.18）所示系统的传递函数X。（s）/XG）。图(题2.18)解：方法一：利用梅逊公式，可得G1G2G3G4G (s)=也bX. (s)1-G1G 2G3G 4 H 3+G1G 2G3 H 2 G 2G3 H1+G3G 4 H 4方法二：利用方框图简化规则，有图（题 2.18.b）图（题 2.18.b）G1G2G3G4G (s)出bXi (s)1-GXG 2G3G 4 H 3+G1G2G3 H 2G2G3 H x+G3G 4

22、H 42.19求出图（题2.19）所示系统的传递函数X。（s）/ XG）。图（题2.19）解：根据方框图简化规则，有图（题2 . 1 9 . b】GGU岗汕gj5昭图(题 2.19.b)G(s) =x(s)=G1G2G3+G4b X. (s)1+(GG 2G3+G 4) H 3GG 2G3 H H 2机械控制工程基础第二章答案2.20求出图（题2.20）所示系统的传递函数X。（s）/ XG）。图（题2.20）解：根据方框图简化规则，有图（题2.20.b）图(题 2.20.b)G (s) = X。=G1G2G5+G1G2G3G4G5bX. (s)1+GG 2 H1G3+(I+G3G 4)GG 2

23、G5G 2G3 H 22.21 设描述系统的微分方程为(i) y+2y+y=0y+2y+y=a试导出系统的状态方程。2.22 RLC电网络如图（题2.22）所示,u（t）为输入，流过电阻r2 的电流i为输出，试列写该网络的状态方程及输出方程。2图（题2. 22）2.23 系统传函数方框图为图（题2.23），试列写该系统的状态方程 及输出方程。2.24 图(题 2.24)为某一级倒立摆系统示意图。滑台通过丝杠传 动，可沿一直线的有界导轨沿水平方向运动；摆杆通过铰链及滑台连 接，可在沿直线平面内摆动。滑台质量为M,摆杆质量为m,摆杆 转动惯量为J,滑台摩擦系数为c,摆杆转动轴心到杆质心的长度为 L,加在滑台水平方向上的合力为u,滑台位置为x,摆杆及铅直向上的 夹角为p。以u为输入，p为输出，列写系统的微分方程；(2) 求系统的传递函数；(3) 试列写该系统的状态方程及输出方程。mguI图题Z24)v Q = K1 vx + K vpv2将上式改写为增量方程的形式Q = K i x + K pv2