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1、第1章绪论学习小结一、本章学习体会 数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽 象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践，通过 本章的学习，我了解到数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问 题的数值计算方法及其理论的学科，计算数学的主体部分。我最大的 收获是学习到了1、绝对误差与有效数字的关系2、矩阵的 1 范数， g范数，F范数的计算。数值分析是一门重视算法和原理的学科，数 值分析学习要有很好的思维习惯，重要的是数学思想的建立，让你体 会科学的方法与对事物的认识方法。我还学到了要运用数值分析解决 问题的过程：实际问题一数学模型一数值计算方法一程序设计一上机 计算求
2、出结果。数值分析这门学科有如下特点：1面向计算机2有可靠的理论分析 3要有好的计算复杂性 4要有数值实验 5要对算法进行误差分析 我认为，要想学好这门课，要做到以下几点：1. 上课认真听讲2. 课后要认真完成作业3.注重 matlab 上机实验4.要多动手编写一些自己的程序数值分析的研究对象（ 误差的来源与分析二、本章知识梳理 绝对误差、相对误差与有效数字误差知识与算法知识 函数求值的误差估计算法及计算复杂性向量范数与矩阵范数1.1 数值分析研究的对象 数值分析：即计算数学，是数学的一个分支。 数值分析的研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法 及有关理论。数值分析的内容：函数的数值逼近
3、（代数插值与最佳逼近）、数 值积分与数值微分、 非线性方程组的解法、数值线性代数（线性方 程组解法与矩阵特征值计算）、常微分方程及偏微分方程的数值解法。1.2 误差知识与算法知识1、误差的来源与分类模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差2、绝对误差、相对误差与有效数字 有效数字位数越多,绝对误差越小.3、初始值运算的传播误差4、算法的计算复杂性好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可 作误差分析。（2）有良好的计算复杂性。 时间复杂性：达到给定精度所需计算量。 空间复杂性：所占的内存空间。5、数值运算中的一些原则1、要有数值稳定性（即能控制舍入误差的传播）2、
4、合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止 “大数”吃掉“小数”3、避免两个相近的数相减4、避免接近于 0 的数作除数，防止溢出。5、简化计算步骤，减少运算次数。1.3 向量范数与矩阵范数1、向量范数x t|x| y T|y|（1）正定性： ，当且仅当 x=0 时 ;（2）齐次性：对任一数kR，有；（ 3 ）成立三角不等式 。2、常用的向量范数 1-范数（列范数）:IX =Qx|1 Al =0 （ At A）A的谱范数 max i=12-范数（欧氏范数）：|x = x2 =TXTX2 i i =18-范数（行范数）:=max xi1i 0，当且仅当 A = 0 时，|A| = 0 ;（2）对任意
5、数k g R，有|kA| = |k|A| ；（3）|A + B| |A| +|B|;（4）|aB|AB。A的P-范数（由向量范数诱导的矩阵范数）向量范数|X 一 矩阵范数|A| = max|Ax| 且|Ax| |A| |x|PPIXIP=1PP P P= max工la A的列范数1 1j n i=1 jA = maxE aA的仃范数81in . , ijj=1A 的 F-范数(Frobenius)：(1)A 的 F 范数与向量的 2-范数相容11 Ax | A - |xh , VA e Rnxn2F 2（2） F-范数不从属于任何向量范数。设矩阵AeRnxn的某种范数|a|1,贝Ij I+A为
6、非奇异矩阵，并且当该种 范数为算子范数时，还有|（i+A）一q ；。三、本章思考题有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。答：有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位 数半个单位相联系的。由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数， 对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原贝进仃。有 效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原贝抽象而来的。若 近似值 x 的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到 x 的第一位非 零数字一共有 n 位，贝称这一近似数具有 n 位有效数字。而相对误 差贝与有效数位数基本一致。三、 本章测验题_ 1 0 2_ 3 _已知A =-5 2 1, x =-52 4 32试求：|x| (p = 1,2,8)以及 |A| ,|A| ,|A|。p18 F解：|x| = 3 + 5 + 2 = 101卜| 9 + 25 + 4 =、蕊|x| = max(3,5,2) = 5A| = max( 1+ 5 + 2,0 + 2 + 4,2 +1 + 3) = 8 iA = max(1+ 0 + 2,5 + 2 +1,2 + 4 + 3) = 9A/1 + 4 + 25 + 4 +1 + 4 +16 + 9 =厢F
数值分析第一章学习小结
