带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类

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1、word格式-可编辑-感谢下载支持带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类（2009、5）带电粒子在有界磁场中运动的分析方法：1. 圆心的确定动轨 线找 其延 圆中1持狀偏向角）因为洛伦兹力F指向圆心，根据F丄v,画出粒子运 迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切 出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画 长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在 一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。2. 半径的确定和计算80團2利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心 角），并注意以下两个重要的几何特点： 粒子速度的偏向角P等于转过的圆心角a,并等于AB弦与切线的夹

2、角（弦切角）。的2倍，如图2所示，即P = a=20o 相对的弦切角。相等，与相邻的弦切角9 互补，即0 +。=180。3. 粒子在磁场中运动时间的确定 若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所计算出圆心角a的大小,对的圆心角，利用圆心角a与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360a m并由表达式，即t =，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周Bq期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。（1）（2）（3） 论解题很难想到，也较难证明，利用几何知识。）4. 注意圆周运动的对称性与特殊性（此结从一直线边界射入的粒子从同一直线边

3、界射出时，速度与边界的夹角相等； 在圆形磁场区域内，粒子射入时的速度方向过圆心，射出时的速度方向也过圆心； 圆形磁场区域的半径与粒子轨道半径相等时，出射方向一定垂直入射点与磁场圆心的连线。问题一：磁场边界问题及延J?见图的t一L有界磁场的两种典型模型：1.长线）。（1）穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度 带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sin。二L/R求出；（。、L和R 标）(2)带电粒子的侧移由R2=L2- （R-y） 2解出；（y见所图标）* =-带电粒子在磁场中经历的时间由 Bq得出。 穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆 圆心、连心线）。a、

4、图标）t忍丄带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（0、r和Rf -空b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。1。矩形边界磁场题型1-1-1：如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L,宽为L/2。磁感应强度为B,质量为m,电荷 量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v的取值范围？ 解析：(1)带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化, 轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点 可知其半径R=L/4,再由Rjmv/eB,得：eBL11片=当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足，即 R =5L/4，再由 R=mv/eB,得：2

5、 2 2SeBLr导致粒子 射出，由图电子速率V的取值范围为：4用在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。2.圆形边界磁场题型1-2-1：在以坐标原点0为圆心、半径为r的圆形区域内， 应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。 重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向 场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。(1) 请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；(2) 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的 B,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速 对于入射

6、方向改变了 60。角，求磁感应强度B多大？此次粒子明10存在磁感 一个不计 射入磁大小变为 度方向相 在磁场中运动所用时间t是多少？解析：(1)由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子 电荷。如图11所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变 90，则粒子轨迹半径r=R,又则粒子的荷质比为心角(2)粒子从D点飞出磁场速度方向改变了 60。角，故AD弧所对圆60，粒子做圆周运动的半径Riel又，所以粒子在磁场中飞行时间:在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置，由于线速度的方向始终与半径垂直，线速度改变了60角，故圆心角为60

7、，解题中充分应用这一特点是关键。题型 1-2-2：核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内 （否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图9-19 所示，环状匀强磁场围 成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为Rl=0.5m，外半径R2=1.0 m,磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4X 10 7C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算:（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的

8、最大速度。分析与解答：本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证 沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。1 ）轨迹如图 9-20 所示=(R2 - r1)2，解得 r1 = 0.375m=型=1.5 x 107 m / s mV2BqV = m 1r 由r1 得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V = 1.5 x 107 m / s1（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射

9、入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9-21所示。r由图中知 2=R2 - R1 = 0.25mV22BqV 二 m v 由2r2得2= 1.0 x 107 m / s m所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2二1.0 X 107 m / S带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态，对于解题起到关键性作用。3组合边界磁场题型1-3-1：如图 9-24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大 小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外。 一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的

10、左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间 磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度 d;（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t. 分析与解答：带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做圆周运 据题意，粒子又回到O点，所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，OfI X I；X1 XX:x:X图 9-24X Xx BXXXXXXMXX磁场，动，根如图9-25 画出粒子运动轨迹。（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得qEL = mV 2 2带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：V

11、2BqV = mR图 9-25厂 112mELR = j由以上两式，可得弋q可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形Q1O2O3是等边三角形，其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为d = R sin 600 =丄-，6mEL2 qt2）在电场中2V 2mV 小：2mLt2在中间磁场中运动时间T 2兀m=2 = 6 3qBt3在右侧磁场中运动时间 35 5兀m=T =6 3qB ，宀 i2mL 7 m t = t +1 +1 = 2 -123则粒子第一次回到O点的所用时间为+qE3qB带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的大概轨迹是

12、解题的突破点。题型1-3-2如图所示，边长为L的等边三角形AC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 ，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为。把粒子源放在顶点A处，它将沿ZA的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带电粒子（粒子重力不计）。若从A射出的粒子qL 带负电，v =，第一次到达C点所用时间为0 m1qL 带负电，v = ，第一次到达C点所用时间为t202m2AV0,Xv*胃篝其北/*“XXXXXX,4 +4XXXNXXXN= = =2 a qE qE带正电，V =，第一次到达C点所用时间为t30m带正电，qBLv

13、 -，第一次到达C点所用时间为t0 2m4则下列判断正确的是(B )A、t1= t3 t2= t4B、t1 t2 t4 t3C、t1 t2 t3 t4D、t1 t3 t2lR.因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆 轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是a粒子能打中的 左侧最远点.为定出P点的位置，可作平行于ab的直线cd, cd到 ab的距离为R,以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q 作ab的垂线，它与ab的交点即为P1. NP、= &R2 - (/ - R)27t +1 = T1212N图 9-14再考虑N的右侧。任何a粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,

14、以2R为半径、S为圆心作圆, 交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.由图中几何关系得NP2 = *(2r)2- 12所求长度为P1P2 =叫+ NP2 代入数值得P1P2=20cm2、方向相同、速度大小不同的同种带电粒子题型2-2-1：如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q 的粒子以与CD成e角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么 条件？ EF上有粒子射出的区域？分析与解答：如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出， 速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从

15、另一侧射出，当速率大于这个临界值 时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找 出上下边界即可。DE1 11 :K：X X1%|X X : t1氓叫F艾艾xl11 x X11x yXI1C图9-8F图9-9图 9-10粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹 必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆 心。Rc + RCos 0= dR0 =临界半径R0由00有：1 + Cos。；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R三R0r=mvo dv0 qB即

16、.qB1 + Cos0有.0 m(1 + Cos0)由图知粒子不可能从P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由 此可见EF中有粒子射出的区域为PG,PG 二 R0Sin6 + dcotdSin9 + dcot 6且由图知：1 +Cos9。带电粒子在磁场中以不同的速度大小运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解。题型2-2-2两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分 于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。 Ovxva的区域

17、有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y0，xa 垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均 点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q (q0)的粒子 孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。 的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最x XX冥X XX :x !X；X I在Ovxva的区域中运动的时间与在xa的区域中运动的时间别去垂直 在 y0， 的区域有 为B。在0 沿x周经小 入射粒子 大的粒子 之比为2 :5, 在磁场中运动的总时间为7T/12,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。分析与解答：

18、对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a, y轴上的最高点为y=2r=2a;对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示: 的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在 轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为 速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧 圆心分别是c和c 由对称性得到c在x轴 在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满t 2十=t 52左边界 右边的 x=2a; 组成， 上，设 足7t +1 = T1212解得t = T t = T由数学关系得到：、j3R = 2a16212OP=2a+R代入数据得到:OP=2(1+所以在x轴上

19、的范围是：2a x 0，且AEE ）范围内的a粒子均垂直于限束光栏的方向进入 磁场。试求这些a粒子打在胶片上的范围Ax（2）实际上，限束光栏有一定的宽度，a粒子将在2 p角内进入磁场。试求能量均为E的a粒子打到感光胶片上的范围Ax2的位置分析与解答：（1）设a粒子以速度v进入磁场，打在胶片上 距S的距离为x （如图甲），V 2圆周运动Bqv = mR粒子的动能X =2R由式可得x =mEqB由可得Axx = 5E沁）2、2mEqBqBEE ( 1+ 4E -1)qB当a 1时，则1(1 + a ) n1 na ,由于A E E ,AE Eji+AE 1+1XAEE 2 E由化简可得心1巨I A

20、E.qBE（2）动能为E的a粒子沿p角入射（如图乙）.轨道半径R相同,2mEqB由几何关系得Ax22 R 2 R cos p 谆(1 - cos P)4、2mE . psm2 qB2本题型可看作前面个题型的组合，充分利用前面二个题型的结论（图形规律）画出本题中粒子的轨迹范围。word格式-可编辑-感谢下载支持问题三：多解性问题题型3-1-1：如图9-17甲所示，A、B为一对平行板，板长为L,两板距离为d,板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m,带电量为+q的带电粒子以初速, 从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁巾在什么范围内，粒子能从磁场内射出？

21、分析与解答：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作 匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。 粒子能射出磁场区，半径r必须小于d/4 （粒子将在磁 半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在 运动一段圆弧后从右方射出）如图9-17乙所示，当粒子从左边射出时，若运动O_I-也a、用,将做 要想使 场中转 磁场中图 9-17轨迹半q 径最大，则其圆心为图中O1点，半径。因此粒子从左边射出必须满足iBqv0 m-V- 由于0 rrBqvo =所以嗨Bdq即：当粒子从右边射出时,若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为。d由几何关系可得:沪+4严）捽 因此粒子从右边射出必须满足的条件是广王巾

22、，即旳-所以当或加喘时，粒子可以从磁场内射出。易错点分析：本题很容易遗忘转过180。这种情况。题型3-1-2如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量 为m,电量大小为q的带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角9=60,试 分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？(2)带电粒子在磁场中运动时间多长?图 9-15图 9-16分析与解答：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1,粒子向x轴偏转，并从 A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2,粒子向y轴偏转，并从B 点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨 迹，即可求解。R =粒子运动半径：。如图9-16，有。=020 = R = 0/ = 0掘2 试 2L =带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为九 盹Q -120(1)若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角,亘A点与O点相距若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角= 6y = R =B点与O点相距(2)若粒子带负电，它从O到A所用的时间为若粒子带正电，它从O到B所用的时间为