带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类

word格式-可编辑-感谢下载支持带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类（2009、5）带电粒子在有界磁场中运动的分析方法：1. 圆心的确定动轨 线找 其延 圆中1持狀偏向角）因为洛伦兹力F指向圆心，根据F丄v,画出粒子运 迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切 出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画 长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在 一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。2. 半径的确定和计算80團2利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心 角），并注意以下两个重要的几何特点： 粒子速度的偏向角P等于转过的圆心角a,并等于AB弦与切线的夹 角（弦切角）。的2倍，如图2所示，即P = a=20o 相对的弦切角。相等，与相邻的弦切角9 '互补，即0 +。'=180°。3. 粒子在磁场中运动时间的确定 若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所计算出圆心角a的大小,对的圆心角，利用圆心角a与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°a m并由表达式，即t =，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周Bq期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。（1）（2）（3） 论解题很难想到，也较难证明，利用几何知识。）4. 注意圆周运动的对称性与特殊性（此结从一直线边界射入的粒子从同一直线边界射出时，速度与边界的夹角相等； 在圆形磁场区域内，粒子射入时的速度方向过圆心，射出时的速度方向也过圆心； 圆形磁场区域的半径与粒子轨道半径相等时，出射方向一定垂直入射点与磁场圆心的连线。问题一：磁场边界问题及延J?见图的t一L有界磁场的两种典型模型：1.长线）。（1）穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度 带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sin。二L/R求出；（。、L和R 标）(2)带电粒子的侧移由R2=L2- （R-y） 2解出；（y见所图标）* =-带电粒子在磁场中经历的时间由 Bq得出。 穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆 圆心、连心线）。a、图标）t忍丄带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（0、r和Rf -空b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。1。矩形边界磁场题型1-1-1：如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L,宽为L/2。磁感应强度为B,质量为m,电荷 量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v的取值范围？ 解析：(1)带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化, 轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点 可知其半径R=L/4,再由Rjmv/eB,得：eBL11片=当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足，即 R =5L/4，再由 R=mv/eB,得：2 2 2SeBLr导致粒子 射出，由图电子速率V的取值范围为：4用在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，再根据几何关系确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。2.圆形边界磁场题型1-2-1：在以坐标原点0为圆心、半径为r的圆形区域内， 应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。 重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向 场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。(1) 请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；(2) 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的 B',该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速 对于入射方向改变了 60。角，求磁感应强度B'多大？此次粒子明10存在磁感 一个不计 射入磁大小变为 度方向相 在磁场中运动所用时间t是多少？解析：(1)由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子 电荷。如图11所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变 90°，则粒子轨迹半径r=R,又则粒子的荷质比为心角(2)粒子从D点飞出磁场速度方向改变了 60。角，故AD弧所对圆60°，粒子做圆周运动的半径Riel又，所以粒子在磁场中飞行时间:在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置，由于线速度的方向始终与半径垂直，线速度改变了60°角，故圆心角为60°，解题中充分应用这一特点是关键。题型 1-2-2：核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内 （否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图9-19 所示，环状匀强磁场围 成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为Rl=0.5m，外半径R2=1.0 m,磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4X 10 7C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算:（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。分析与解答：本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证 沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。1 ）轨迹如图 9-20 所示=(R2 - r1)2，解得 r1 = 0.375m=型=1.5 x 107 m / s mV2BqV = m 1r 由r1 得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V = 1.5 x 107 m / s1（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9-21所示。r由图中知 2=R2 - R1 = 0.25mV22BqV 二 m v 由2r2得2= 1.0 x 107 m / s m所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2二1.0 X 107 m / S带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往往是临界状态，对于解题起到关键性作用。3组合边界磁场题型1-3-1：如图 9-24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大 小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外。 一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间 磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度 d;（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t. 分析与解答：带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做圆周运 据题意，粒子又回到O点，所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，OfI X I；X1 XX:x:X图 9-24X Xx BXXXXXXMXX磁场，动，根如图9-25 画出粒子运动轨迹。（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得qEL = mV 2 2带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：V2BqV = mR图 9-25厂 112mELR = j由以上两式，可得弋q可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形Q1O2O3是等边三角形，其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为d = R sin 600 =丄-，6mEL2 qt2）在电场中2V 2mV 小：2mLt2在中间磁场中运动时间T 2兀m=2 = 6 3qBt3在右侧磁场中运动时间 35 5兀m=T =6 3qB ，宀 i2mL 7 m t = t +1 +1 = 2 -123则粒子第一次回到O点的所用时间为+qE3qB带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的大概轨迹是解题的突破点。题型1-3-2如图所示，边长为L的等边三角形AC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 ，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为。把粒子源放在顶点A处，它将沿ZA的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带电粒子（粒子重力不计）。若从A射出的粒子qL 带负电，v =，第一次到达C点所用时间为0 m1qL 带负电，v = ，第一次到达C点所用时间为t202m2AV0,Xv*胃篝其北/*“XXXXXX,4 +«4XXXNXXXN= = =2 a qE qE带正电，V =，第一次到达C点所用时间为t30m带正电，qBLv -，第一次到达C点所用时间为t0 2m4则下列判断正确的是(B )A、t1= t3< t2= t4B、t1< t2< t4 < t3C、t1< t2< t3< t4D、t1< t3< t2< t4分析与解答：根据带电粒子在磁场中运动的半径公式：R=mBq°可知，当速度v尸詈时，半径为l, 当速度v0="2qL时，半径为0.5L。如图所示，分别为四种情况下粒子运动的轨迹。到C点，外面的磁到B点，形外面的60 °的圆 ：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧向右偏转运动 时间为t1=6T，其中T为粒子在磁场中圆周运动的周期； ：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧后进入三角形场中，再经过60°的圆心角的圆弧到达C点，时间为t=1T； ：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧向左偏转运动再从B点经过300°的圆心角的圆弧到达C点，总时间为t=T； ：粒子从A点经过60°的圆心角的圆弧向左进入三角磁场中，再经过60°的圆心角的圆弧向右到达B点，从B点经过 心角的圆弧向上进入三角形内部的磁场中，最后经过60°的圆心角的圆弧向下运动到C点，总时间为t42=尹。因此B选项正确。4.确定磁场的边界范围题型1-4-1：如图12所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的 a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在 适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试的1/4圆图13所 则与这两求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。 解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动, qvB= (Mv2) /R,得:R= (MV) / (qB)。根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上 周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。如 示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线,直线均相距R的0点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O,为圆心、R为半径的圆(图 中虚线圆)上的圆弧MN, M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。O连线为直在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN 径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。处理这类问题时重点是画出粒子在磁场中运动的轨迹图，角定临界状态的粒子运动轨迹图，戈到粒子进出磁场的两个点（即开始和结束弯曲点），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场区域的位置。题型1-4-2： 质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。分析与解答：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁 场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求;故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。 ABC为等边三角形，故图中a=30°2r = PQ = 2RCos a =込 mV0-3 兀 m2v0则：qBS 二兀r2 二故最小磁场区域的面积为4q2B2根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”问题二：与带电粒子的速度大小、方向有关的问题1、速度大小相同、方向不同的同种带电粒子题型2-1- 1：i如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由 小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的 区域，其中R=mv/Bqo哪个图是正确的？x向的粒子运动的轨迹组成图案。画出若干个不同方向飞出的粒子的轨迹（如图所示），右侧是一半径为R的半圆，水平向右飞出的粒子的边界；左侧是一个半径为2R的圆的1/4，它是大量不同方向粒子所到达的最远点的集合。故A正确。题型2-1-2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T, 磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行，在距ab的距离l二16cm处，有一个点状的a放射 源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速度都是v = 3.0x106m/s，已知a粒子的电荷与质量之比=5.0X107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的a粒子，求ab上被a粒子打中的区域的长度。 m分析与解答：a粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨道半径，有qvB = m12R由此得R =v(q / m) B代入数值得R=10cm可见，2R>l>R.因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆 轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是a粒子能打中的 左侧最远点.为定出P点的位置，可作平行于ab的直线cd, cd到 ab的距离为R,以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q 作ab的垂线，它与ab的交点即为P1. NP、= &R2 - (/ - R)27t +1 = T1212N图 9-14再考虑N的右侧。任何a粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆, 交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.由图中几何关系得NP2 = *(2r)2- 12所求长度为P1P2 =叫+ NP2 代入数值得P1P2=20cm2、方向相同、速度大小不同的同种带电粒子题型2-2-1：如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q 的粒子以与CD成e角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么 条件？ EF上有粒子射出的区域？分析与解答：如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出， 速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值 时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找 出上下边界即可。DE1 11 :K：X X1%|X X : t1氓叫F艾艾xl11 x X11x yXI1C图9-8F图9-9图 9-10粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹 必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆 心。Rc + RCos 0= dR0 ='临界半径R0由00有：1 + Cos。；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R三R0r=mvo >dv0 >qB即.qB1 + Cos0有.0 m(1 + Cos0)由图知粒子不可能从P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由 此可见EF中有粒子射出的区域为PG,PG 二 R0Sin6 + dcotdSin9 + dcot 6且由图知：1 +Cos9。带电粒子在磁场中以不同的速度大小运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用"放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解。题型2-2-2两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分 于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。 Ovxva的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y>0，x>a 垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均 点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q (q>0)的粒子 孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。 的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最x XX冥X XX :x !X；X I在Ovxva的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间别去垂直 在 y>0， 的区域有 为B。在0 沿x周经小 入射粒子 大的粒子 之比为2 :5, 在磁场中运动的总时间为7T/12,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。分析与解答：对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a, y轴上的最高点为y=2r=2a;对于x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示: 的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在 轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为 速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧 圆心分别是c和c' 由对称性得到c'在x轴 在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满t 2十=t 52左边界 右边的 x=2a; 组成， 上，设 足7t +1 = T1212解得t = T t = T由数学关系得到：、j3R = 2a16212OP=2a+R代入数据得到:OP=2(1+所以在x轴上的范围是：2a < x < 2(1+（1 ）画出粒子的轨迹和可到达的区域是解决带电粒子在磁场中运动问题的关键。（2）在有多种限制条件的情形下，可采用“控制变量”方法，先不考虑边界限制，画出可能轨迹图，再 结合其他限制条件判断出其区域范围。3、速度大小、方向均不同的同种带电粒子。题型2-3-1：磁谱仪是测量a能谱的重要仪器。磁谱仪的工作原理如图所示，放射源S发出质量为 m、电量为q的粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，被限束光栏Q限制在2 P的小角度 内，a粒子经磁场偏转后打到与束光栏平行的感光片P上。（重力影响不计）（1）若能量在EE + AE（AE>0，且AEE ）范围内的a粒子均垂直于限束光栏的方向进入 磁场。试求这些a粒子打在胶片上的范围Ax（2）实际上，限束光栏有一定的宽度，a粒子将在2 p角内进入磁场。试求能量均为E的a粒子打到感光胶片上的范围Ax2的位置分析与解答：（1）设a粒子以速度v进入磁场，打在胶片上 距S的距离为x （如图甲），V 2圆周运动Bqv = mR粒子的动能X =2R由©©式可得x =mEqB由©可得Axx = 5E沁）2、2mEqBqB'EE ( 1+ 4E -1)©qB当a < 1时，则1(1 + a ) n1 na ,由于A E <<E ,AE Eji+AE 1+1XAEE 2 E由©化简可得心1巨I AE.qBE（2）动能为E的a粒子沿±p角入射（如图乙）.轨道半径R相同,2mEqB由几何关系得Ax22 R 2 R cos p 谆(1 - cos P)4、2mE . psm2 qB2本题型可看作前面个题型的组合，充分利用前面二个题型的结论（图形规律）画出本题中粒子的轨迹范围。word格式-可编辑-感谢下载支持问题三：多解性问题题型3-1-1：如图9-17甲所示，A、B为一对平行板，板长为L,两板距离为d,板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m,带电量为+q的带电粒子以初速, 从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁巾在什么范围内，粒子能从磁场内射出？分析与解答：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作 匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。 粒子能射出磁场区，半径r必须小于d/4 （粒子将在磁 半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在 运动一段圆弧后从右方射出）如图9-17乙所示，当粒子从左边射出时，若运动O_I-也a、用,将做 要想使 场中转 磁场中图 9-17轨迹半q <径最大，则其圆心为图中O1点，半径。因此粒子从左边射出必须满足iBqv0 m-V°- 由于0 rrBqvo =所以嗨Bdq即：当粒子从右边射出时,若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为。d由几何关系可得:沪+4严）捽 因此粒子从右边射出必须满足的条件是广王巾，即旳-所以当或加喘时，粒子可以从磁场内射出。易错点分析：本题很容易遗忘转过180。这种情况。题型3-1-2如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量 为m,电量大小为q的带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角9=60°,试 分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？(2)带电粒子在磁场中运动时间多长?图 9-15图 9-16分析与解答：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1,粒子向x轴偏转，并从 A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2,粒子向y轴偏转，并从B 点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨 迹，即可求解。R =粒子运动半径：。如图9-16，有。=020 = R = 0/ = 0掘2 试 2L =带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为九 盹Q -120°(1)若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角",亘A点与O点相距若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角= 6°°y = R =B点与O点相距(2)若粒子带负电，它从O到A所用的时间为<360°>若粒子带正电，它从O到B所用的时间为