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1、项目项目12（4.2）n阶行列式的性质与计算阶行列式的性质与计算nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111 性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。即行列式与它的转置行列式相等。即 D=DT将行列式将行列式D的行列互换后所得的和列式，的行列互换后所得的和列式，称为称为D的的转置行列式。记为转置行列式。记为DT说明说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。对列也成立，反之亦然。任务任务 12-1（4.2.1）n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质2：互换行列
2、式的两行（列），行列式的值变号。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。推论：推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。证明：证明：把相同的两行互换，有把相同的两行互换，有DD，所以，所以 D0行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 性质性质3njnjjjjjAaAaAaD2211nj,2,1推论推论行列式的某一行（列）的各元素全为零行列式的某一行（列）的各元素全为零,则此行列则此行列式等于零式等于零.
3、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211ikAaAaAainknikik 性质性质4.,02211ikAaAaAaninkikik或或性质性质5推论推论1行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外面行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外面.nnnnsnssnnnnnsnssnaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211推论推论2若行列式有两行（列）的对应元素成比案例，则此行列式值等于若行列式有两行（
4、列）的对应元素成比案例，则此行列式值等于0。用数用数k乘行列式某一行（列）的所有元素，等于用数乘行列式某一行（列）的所有元素，等于用数k乘行列式。乘行列式。性质性质6nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211 nnnnnnaaabbbaaa212111211 nnnnnnaaacccaaa212111211如果某一行（列）元素都是两个数之和，则此行列式就如果某一行（列）元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。而这两个行列式除这一行（列）以等于两个行列式的和。而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。即外全与原来行列式的对应的行（列）一样。
5、即nnnnnnnnacbaaacbaaacbaa 2122222211111211nnnnnnnabaaabaaabaa21222221111211nnnnnnnacaaacaaacaa21222221111211 性质性质7行列式的某一行（列）的所有元素的行列式的某一行（列）的所有元素的k倍加到另一倍加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaa21212111211nnnntntttnsntstsnaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211表示数表示数k乘第乘第 t 行加到第行加
6、到第 s 行上行上;strkr 今后用记号今后用记号表示交换表示交换s、t两行两行;tsrr 表示交换表示交换s、t两列两列;tscc stckc 表示数表示数k乘第乘第 t 列加到第列加到第 s 列上列上.计算行列式时，可计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含仅含1个非零元素个非零元素，再按此行（列）展开再按此行（列）展开,变为低一阶的行变为低一阶的行列式列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。任务任务12-2（4.2.2）n阶行列式的计算阶行列式的计算也可利用行列式性质把行列式也可利用行列式性质
7、把行列式 化为三角形行列式化为三角形行列式案例案例29031132434124141 214rr 232rr 29035500341281707 按第二列展开按第二列展开2935508177)1(122 32cc 21135008257 按第二行展开按第二行展开113257)1(532 10)7577(5 案例案例 计算计算1111111111111111D案例案例 计算计算1245101124126853D案例案例4.5 4.5 计算行列式计算行列式3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 05502611
8、5 5526)1(31 5028 .40 12rr 案例案例4.8计算计算n阶行列式阶行列式xaaaxaaaxD案例：案例：计算计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 3610363234232yyxx1111111111111111yxyxxxxrrrrrr0000001111)1(*)1(*)1(*413121yxyxxxcc0000000111)1(*12yxyxxx0011)()1(22yyxxrrrr11011011)(3121222)11()(yxyxx案例案例4.9案例案例4.10 计算计算n阶行列式阶行列式xaaaxaaaxDxaxanaxx
9、anaaxanccccccn)1()1()1(1312xaaxaaxanccccccn111)1(1312axaxaaxanrrrrrrn00001)1()1()1()1(131211)1(naxxan案例案例2：axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nccc 21)2(anx axaaaaxaaaaxaaa 111111312 rrrrrrn )2(anx axaxaxaaa2000020000201 1)2()2(naxanx案例案例nD001030100211111 目标：把第一列化为目标：把第一列化为0011a成三角形行列式成三角形行列式ncnccc13121321 nini00
10、003000020111112 )11(!2 niin案例案例baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()(nnbbaaa案例案例4321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4,3,2,1,(iaxi（可以化为箭形行列式）（可以化为箭形行列式）14131312rrrrrrrr axxaaaxxaaxxaaaax 413121100000)()(4321axaxaxax 10010101001143211 ax
11、aaxaaxaaxx4321cccc 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(iiiiaxaxaaxx思考题思考题:阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数求第一行各元素的代数余子式之和余子式之和.11211nAAA 解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjn课堂练习课堂练习:1.计算行列式计算行列式0112012120112110 )1(D2010411063143211111 )2(D2.一个一个n阶行列式，它的元素满足阶行列式，它的元素满足njiaajiij,2,1,证明：当证明：当 n 为奇数时，此行列式为零。为奇数时，此行列式为零。41
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