数学直线与圆圆与圆的位置关系

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1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 基础梳理基础梳理1.直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则_；若直线与圆相切，则_；若直线与圆相交，则_(2)代数法：将直线与圆的方程联立，若D0，则_；若D=0，则_；若D0，则直线与圆相离 2.两圆的位置关系(1)设两圆半径分别为R，r(Rr)，圆心距为d.若两圆相外离，则_，公切线条数为_；若两圆相外切，则_，公切线条数为_；若两圆相交，则_，公切线条数为_；若两圆内切，则_，公切线条数为_；若两圆内含，则_，公切线条数为_(2)设两圆C1：x2+y2+D1x+E1y

2、+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是_3.已知切点为P(x0，y0)，则圆x2+y2=r2的切线方程为_.4.圆系方程(1)以点C(x0，y0)为圆心的圆系方程为_；(2)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：ax+by+c=0的交点的圆系方程为_；(3)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为_(不表示圆C2)答案：1.(1)drd=rdr(2)直线与圆相交直线与圆相切2.(1)dR+r4d=R+r3R-rdR+r2d=R-r1dR-r0(2)(D1-

3、D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=03.x0 x+y0y=r24.(1)(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r0)(2)x2+y2+Dx+Ey+F+l(ax+by+c)=0(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0基础达标基础达标1.(2011湛江模拟)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离2.(教材改编题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为()A.-1或 B.1或3 C.-2或6 D.0或4233.(教材改编题)圆O1：x2+y2-

4、2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是()A.相离 B.相交C.外切 D.内切 4.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的最近距离是()A.2 B.-1 C.2 -1 D.125.过圆C1：(x-4)2+(y-5)2=10与圆C2：(x+2)2+(y-7)2=12的交点的直线方程为_.22答案：1.B解析：圆心(0,0)到直线y=x+1，即x-y+1=0的距离d=，而01，故选B.2.D解析：由题意知，d=，即|a-2|=2，解得a=4或a=0.1222|2|2a23.B解析：由圆O1：x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1，故圆心O1(1,0)，半径

5、r=1；由圆O2：x2+y2-4y=0得x2+(y-2)2=4，故圆心O2(0,2)，半径R=2；因为R-r=2-1|O1O2|=1+2=r+R，两圆相交，故选B.4.C解析：圆心坐标为(-2,1)，则圆心到直线y=x-1的距离为 d=2 1=r，故最近距离是2 -1.5.6x-2y+5=0解析：联立两圆方程 两式相减得12x-4y+10=0，即6x-2y+5=0，所以所求的直线方程为6x-2y+5=0.221 002 5|2 1 1|2 222222810310414410 xyxyxyxy题型一直线与圆的位置关系题型一直线与圆的位置关系【例1】直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2

6、=4相交于M，N两点，若|MN|2 ，则k的取值范围是()经典例题经典例题333.0.,0,)44332.,.,0333ABCD ，解：由圆的方程知圆心为(3,2)，圆心到y=kx+3的距离d=，且r=2，|MN|2=r2-d2=4-23，化简得4k2+3k0，解得-k0，故选A.2|31|1kk142|31|1kk34变式变式1-11-1直线 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于()3.33.33.3 33.3 33ABCD或或3或或3答案：C解析：化为圆的标准方程为(x-1)2+y2=3，因为直线与圆相切，所以圆心(1,0)到直线的距离等于半径，即 =，即|+m|=

7、2 ，所以m=或m=-3 ，故选C.|3|3 1m33333题型二圆与圆位置关系的判断及应用题型二圆与圆位置关系的判断及应用【例2】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，试就m的取值讨论两圆的位置关系解：圆C1：(x-m)2+(y+2)2=9，圆C2：(x+1)2+(y-m)2=4.两圆的圆心距|C1C2|=，r1=3，r2=2.(1)当|C1C2|=r1+r2，即 =5时，解得m=-5或m=2，故当m=-5或m=2时，两圆外切；2212mm 2212mm (2)当|C1C2|=r1-r2，即 =1时，解得m=-2或m=-1，故当m

8、=-2或m=-1时，两圆内切；(3)当r1-r2|C1C2|r1+r2，即-5m-2或-1mr1+r2，即m2时，两圆外离；(5)当|C1C2|r1-r2，即-2m0)的圆相切，则r的值为 _.3答案：3或7解析：由圆x2+y2=25的圆心为C1(0,0)，半径为5，因此两圆的圆心距d=|CC1|=2，故两圆只能是内切，不能外切，故d=|CC1|=2=|5-r|，解得r=3或r=7.题型三圆的弦长问题题型三圆的弦长问题【例3】过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 ()362 3A.B.2 C.D.解：过原点且倾斜角为60的直线方程为y=x，圆的标准方程为 x2+(y

9、-2)2=4，所以圆心(0,2)到直线的距离d=1，由垂径定理知所求弦长为2 =2 ，故选D.322|3 02|31 22213变式变式3-13-1若O1：x2+y2=5与O2：(x-m)2+y2=20(mR R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_ 答案：4解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，r1=，r2=2 ，因为两圆相交，所以|m|3 ，又O1AAO2，在RtO1O2A中，m2=()2+(2 )2=25m=5，所以AB=2*=4.5555555205题型四有关圆的最值问题题型四有关圆的最值问题【例4】与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12

10、y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_ 解：x2+y2-12x-12y+54=0配方得(x-6)2+(y-6)2=18，如下图所示：要使所求圆与直线和已知圆都相切且半径最小，必须使所求圆在直线和已知圆之间 圆心(6,6)到直线x+y-2=0的距离为d=5 ，则所求圆的直径2r=5 -3 =2 ，r=，易求所求圆的圆心坐标为(2,2)，故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.|662|22222227变式变式4-14-1由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()A.1 B.2 C.D.3 答案：C解析：设圆心到直线y=x+1的距离为d，则

11、切线长的最小值为 ，而r=1.d=2 ，=，故选C.22dr2411 222dr7题型五简单的圆系方程及应用题型五简单的圆系方程及应用【例5】求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程解：方法一：由解得交点坐标分别为A(-3,2)，B .设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则解得D=，E=-，F=0.故所求圆的方程为x2+y2+x-y=0.222410240 xyxyxy 11 2,5 52209432011211205555FDEFDEF3232174174方法二：设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+l(2x+y+4)=0，即x2

12、+y2+2(1+l)x+(l-4)y+(1+4l)=0，此圆过原点，1+4l=0，即l=-.故所求圆的方程为x2+y2+x-y=0.1432174故所求直线方程为y-5=(x-3)，即4x-3y+3=0.易错警示易错警示|2253|112kkk，4343【例】求过A(3,5)且与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切的直线方程错解设所求直线l的斜率为k，方程为y-5=k(x-3)，即kx-y+5-3k=0，已知圆C的圆心(2,2)，r=1.则圆心到l的距离为k2-6k+9=k2+1，解得k=21,k即|k-3|=错解分析 过圆外一点的圆的切线有两条，若求出k的值唯一，则应补上与x轴垂直的那一

13、条，错解中漏掉了斜率不存在的情况。正解：(1)若所求直线斜率存在，设其为k，方法同“错解”，得k=，即方程为4x-3y+3=0.(2)若所求直线斜率不存在，则l的方程为x=3，经验证x=3与圆C相切综上，所求切线方程为x=3或4x-3y+3=0.43链接高考链接高考(2010山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被该圆所截得的弦长为2 ，则圆C的标准方程为_2知识准备：1.设圆心坐标(a,0)；2.由圆的半径、弦心距、半弦长的关系列方程来求a的值答案：(x-3)2+y2=4解析：设圆心为(a,0)，其中a0，则圆心到直线x-y-1=0的距离d=.因为圆截直线所得的弦长为2 ，根据半弦长、半径、弦心距之间的关系有 2+2=(a-1)2，即(a-1)2=4，所以a=3或a=-1(舍去)，半径r=3-1=2，所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.|1|2a2|1|2a