动力学的临界和极值问题

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1、动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语 时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会 有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会 出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具 有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的 受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。1、相互接触的

2、物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N 0，而且 此时它们的速度相等，加速度相同。【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射 出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ）A、一直加速B、先减速，后加速C、先加速、后减速D、匀加速答案：C例】如图所示，劲度系数为 k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为m的托盘，托盘上有一个质量为m的木块。用竖直向下的力将原长为/00的弹簧压缩后突然撤去外力，则m即将脱离m时的弹簧长度为()0A、l0(m + m )gB、l _ o0

3、kc、i - mg0kmgD、l o 0k答案：A【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为45。的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以加速度a = 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。加速度向左运动时，线的拉力大小F =的答案：g、y5mg【例】一个质量为02kg的小球用细线吊在倾角o二53。的斜面顶端，如 图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s2 的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。答案：2.83N、0【例】如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A、B 。它们的质量分别为 m 、

4、 m ，弹簧的劲度系数为 k , C 为一固定挡板。系统AB处于静止状态。现开始用一恒力f沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B 刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d，重力加速度为 g。答案：a二卩-G +讣血 ；mA(m + m )g sin oA d = A Bk【例】如图所示，一根劲度系数为 k 质量不计的轻弹簧，上端固定，下端 系一质量为m的物体A。手持一质量为m的木板B，向上托A，使弹簧处于自 然长度。现让木板由静止开始以加速度a （ a g）匀加速向下运动，求：（1）经过多长时间 A、B 分离。（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。最大：F =（M + m

5、）（g - a）；最小：F = m（g - a）。解：分离时弹力为0,而且加速度为a ；开始运动时力最大：对系统：（M + m）g - F =（M + m）a ；AB分离时力最小：对 B : mg - F = ma【例】如图所示，木块A、B的质量分别为m、m，紧挨着并排放在光12滑的水平面上，A与B间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成o角，A与B间 的接触面光滑。现施加一个水平力F作用于A，使A、B一起向右运动且A、B 一不发生相对运动，求F的最大值。m (m + m )g tan o答案：F二亠一-m2【例】如图所示，一质量为m的物块A与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也

6、为m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止 状态。若A、B粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B，当拉力的大小 为0.5mg时，A物块上升的高度为L，此过程中，该拉力做功为w ；若A、B不 粘连，用一竖直向上的恒力F作用在B上,当A物块上升的高度也为L时，A与 B恰好分离。重力加速度为g，不计空气阻力，求恒力F的大小。BA答案：l5mg解：静止时，对AB: Ax = 2mg ； k粘连时，缓慢地提：只寸 AB: F + k (Ax - L )= 2mg又 F = 0.5mg不粘连，分离时：N = 0 ；对 B : F - mg = ma ；k(Ax - L)- mg = ma ；由以上各式可

7、得： F =1.5mg。【例】如图所示，质量m = 10kg的小球挂在倾角为 = 37。的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：(重力加速度为g = 10m/s2)(1) a = 0.5g时，绳子拉力和斜面的弹力大小;1(2) a = 2g时，绳子拉力和斜面的弹力大小。答案： 100N 50N ； 100.QN 02、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：T = 0。【例】如下图所示，两绳系一个质量为m = 0.1kg的小球，两绳的另一端 分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L = 2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为 30。和45。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧答案：

8、2.40rad / s w 3.16rad / s【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为60。和30。，物体的质 量为m。当小车以大小为2g的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大 小分别为多少答案：0 v5mg。3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最 小”、“刚好”、“恰好”等词语。【例】物体A的质量M = 1kg，静止在光滑水平面上的平板车B的质量为 m = 0.5kg、长L二1m。某时刻A以v = 4m/s向右的初速度滑上木板B的上表 0面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数卩=0.2，取重力

9、加速度g = 10m/ s2。试求：(1) 若F = 5N，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；(2) 如果要使A不至于从B上滑落，拉力f大小应满足的条件。答案：0.5m ；1N F 3N。解：由牛顿第二定律：对 A : r Mg = Ma ；1对 B : F + r Mg = ma ；2此后，物体A将做减速运动，而B将加速，直到达到共速；有：v = v 一 a t = a t 得：t - 0.25s共 0 1 2此时，相对位移S - S - S - 0.5m 1m相AB之后，A将从B的左端滑下。当F较小时，A将从B的右端滑下，临界条件是：A到达B的右端时，A、B具有共同的速度。当F较

10、大时，A将从B的左端滑下，临界条件是：达到共同速度 时， A、 B 相对静止。此时： f - f 。滑m【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为r，盘与桌面间的1动摩擦因数为r。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水 2平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么（以 g 表示重力加速度）R + 2 r答案：a n2 r gr12解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为v，末速度为0），则有：对圆盘：S +

11、 S L ；加 减 2v2力口速阶段：卩mg = ma ； S =1 1 加 2 a1 v2减速阶段：卩mg = ma ； S二2 2 减 2 a2设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为s。1对桌布：S = at2 ；2L1由运动情况：S - S =； S = at 2。加 2 加 2 1由以上各式得：a 片+2巴卩g。卩 12【例】如图所示，一质量m = 500kg的木箱放于质量M = 2000kg的平板 车的后部，木箱到驾驶室的距离l = 1.6m，已知木箱与木板间的动摩擦因数 0.484，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的 0.2 倍。平板车以 v = 22m

12、/s的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让0木箱撞击驾驶室，试求：（1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间（2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少答案：4.4s ；7.42 x 103N。解：设箱的位移为S，车的位移为S ；12车的加速度为a。箱子如果不与车相碰，则有：S - S l12由牛顿定律，对箱：卩mg = ma；由运动学公式，1对箱：S =二；1 2 a1对车：S =二；2 2 a由以上各式有：a 4.4s。 a设汽车的制动力为f ,由牛顿第二定律:卩 mg - F - k（M + m ）g = Ma得：F = 7.42 x 103N【例】一木箱可视为质点

13、,放在汽车水平车厢的前部,如图所示,已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为卩。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度a开始启动沿直线运动。当其速度达到v后做匀速 00直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为m = 2.0kg薄木板A和质量A为m = 3.0kg的金属块B。 A的长度L二2.0m。 B上有轻线绕过定滑轮与质量B为m = 1.0kg的物块c相连。B与A之间的滑动摩擦因数卩=0.10，最大的静摩C擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端

14、（如图所示），然后放手，求经过 多长时间后B从A的右端脱离（设A的右端距滑轮足够远）（g = 10m/ s2 ）。【例】一圆环A套在一均匀圆木棒B上, A的高度相对B的长度来说可以 忽略不计。A和B的质量都等于m，A和B之间的滑动摩擦力为f （ f S，即 L ( 8m2gjx H。vmg + f 艾4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有：f = f沁f。m滑【例】如图所示，质量分别为m和2m的两物体A、B叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知A、B间的最大摩擦力为A物体重力的卩倍，若用水平力分别作用在A或B上，使A、B保持相对静止做加速运动，则作用于A、B上的最大拉力F与F之比为多少AB答案：F: F 1：AB【例】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是卩mg 。现用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（）3pmgB、3pmg3pmgD、3r mg