高考数学专题复习函数与方程思想教案

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1、专题三 函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函 数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识， 使问题得到解决这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从 变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路和函数有必然联系的是方程，方程f（x）= 0的解就是函数y=f（x）的图像与X轴的交点的横坐标，函 数y = f（x）也可以看作二元方程f（x） y=0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为 求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些

2、量这就是方程的思想，方程思想是动中求静， 研究运动中的等量关系就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解 有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函 数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的中学数学问题中的很多条件经常是互相联系、互相制约，可表现为相应变量的互相联系、互相制约， 这种变量的互相联系、互相制约常可用变量间的等量关系式或不等量关系式表示。这时，若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等量关系式转化成函数解析式，这时妙用函数 的有关性质

3、（值域、与坐标轴交点情形等）就可解决问题；若将等量关系式看成关于某个未知量的方程， 则利用解方程或考虑根的情形可求得变量；若可将变量间的不等量关系式看成关于某个未知量的不等式， 则解这个不等式可求得这个变量的取值范围。因此我们在数学的教学中应注重培养下列两种意识。一、在解题中形成方程意识将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中的等量关 系，列出方程，通过解方程或对方程进行研究，以求得问题的解决。例：设点P内分有向线段MN,且MP二5，求点M分有向线段PN的比。分析：将MP二5转移成关于MP= 3 PN的方程，设点M分有向线段PN的比为k,则3PM=kMN

4、,PM=k（MP+PN）（*）将MP= 5 PN带入（*）即可得k的值。同样也可求N点分有向线段PM的比。例：设双曲线岭-= 1的半焦距为C，直线L过（a，0）、（0, b）两点。已知原点到直线L的距 a 2 b2离为（乎比，则双曲线的离心率为:D、A、2该等量关系转换成等于a、b、c的关系等式，即可转换得关于未知量e的方程，解方程即得e的取值。二、在解题中形成函数意识在解题中，要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件，构造出恰当的函数解析式、 妙用函数的性质。例：对于满足0WpW4的一切实数，不等式x2+px4x+p 3恒成立，试求X的取值范围一例，我 们习惯上把x当作自变量，构

5、造函数y = x2+(p4)x + 3p，于是问题转化为：当pW0,4时，y0恒成 立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这 是相当复杂的如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y =(xl)p+(x24x+3)，则y是p的一次函数，就 非常简单.即令 f(p) = (x l)p+(x24x + 3).函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)0恒成立， 当且仅当f(0)0,且f0,解这个不等式组即可求得x的取值范围是(一g,l)u(3,+s).本题 看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数

6、 的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。巩固练习(一)一、选择题1、不等式x2 -log2 0在区间(0,2)内恒成立，则a的取值范围是2a2、1 1、-2,2 丿(-2,1)c(16,2)32 2 16 2d (-4,2)64 2方程lgx+x = 3的解所在的区间为-A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+s)3、A. f(2)f(1)f(4)B. f(1)f(2)f(4)C. f(2)f(4)f(1)D. f(4)f(2)f(1)如果函数f(x)=x 2 +bx + c对于任意实数t,都有f (2 +1)= f(2 t),那么4、A.有且仅有一个实根B

7、.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论5、1已知 sin e+cos 9= 5n),则tan G的值是-已知函数y=f(x)有反函数，贝y方程f(x)=a (a是常数)B.3D44A. 36、已知函数 f(x) = |2x 1|, abc，且 f (a)f(c)f(b),则A. a0,b0B. a0,c0C. 2-a2cD. 2a+2c27、已知函数 f(x) =log (x2 4x+8), x 0,2的最大值为一2,a贝 y a=。A. 1 B. 1 C. 2 D. 4 24B)8、Sn是等差数列前n项和，且S14 0，使 Sn取得最小值的n值为A 6 B 7 C 8D 7或8兀9

8、、若x I 3sinx + 4sin(一 + x) + c 0,x e R = R，则 c 的取值范围2A c 5 C c 5 D c 5则a的取值范围是D a y210、若不等式a2 + 2a - sin2 x - 2a cos x 2 的解集为 r.A a “2 C 2 %6 a ax的解集是x I0 x 2，则实数a的值为ax + b14、设函数y = f(x)=齐的值域为-1,4，则a =,b =15、对于满足0 p 4 x + p - 3都成立的x的取值范围是变式：设y二(logx)2 + (t - 2)logx-1 +1，且t在区间-2,2上变动时，y恒取正值，则x的取值范围22是

9、。16、设f (x) = log(2ax)，当1 x 2时，f (x) 1恒成立，贝y实数a的取值范围是。(a+x)变式1：当1 x 2时，不等式1-ax 0,当0 x 0, S lg(a - x) +1的整数解只有1,求实数a的取值范围变题2：关于x的不等式lg(2ax) 1对一切1 x 2恒成立，求实数a的取值范围 lg( x + a)20、对于函数f (x)，若存在x g R，使f (x )二x成立，则称x为f (x)的不动点，已知函数0 0 0 0f (x) = ax 2 + (b +1)x + (b -1)(a 丰 0)(1) 、当a = 1, b = -2时，求函数f (x)的不动

10、点(2) 、若对任意实数b，函数f (x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围(3) 、在问题(2)的条件下，若y = f (x)图象上A、B两点的横坐标是函数f (x)的不动点。且A、B两点关于直线y = kx +对称，求b的最小值。2a 2 +121、已知动点M到点(0,)的距离比它到直线y = -2的距离小4424(1) 、求动点M的轨迹方程(2) 、已知A、B、C为(1)中轨迹上三个不同的点1 、若OA - OB = -丁(A、B异于原点0),求证：直线0B与过点A且与x轴垂直的直线l的交点N在一条4定直线上 、若AB和AC都与圆x2 + (y - 2)2二1相切，试判断直线BC与

11、此圆的位置关系，并证明你的结论。答案一、选择题题号12345678910答案ACABABABBD、填空题5、211、012、-, 113、 14、a = 4 , b = 34215、R, -1) U (3, +8)(变)(0,U (8, + Q21L16、(0，3) (变 1)2(2-丫2)(变 2) (-8, 1)U(2 , + )三、解答题17、【分析】问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；问利用S是n的二次函数，将 n n nS中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。 nn【解】由a =a +2d=12，得到a =12 2d，所以311S = 12a

12、+66d= 12(12 2d) +66d= 144+42d0,121S =13a +78d=13(12 2d)+78d=156 + 52d0。13124解得：一d一3。11=na + 2 n(n1 1)d = n(12 2d) + n(n1)d1 2 2d 124 d 124=勺n 2(5一万)2 I2(5一万)2124因为d0,故n -(5-万)2最小时，S n最大。24124d 3 得 6 (5)6.5，故正整数n=672d1 24时n 2(5_万)2最小所以S6最大。18、【分析】异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定 变量，建立目标函数而求函数

13、最小值。设MH=x，则MH丄平面ABC, AC丄HD。B【解】 在PB上任取一点M,作MD丄AC于D, MH丄AB于H,4r2sin2 9MD 2 =x 2 + (2r x)sin 9 2 = (sin 2 + 1)x 2 4rsin 22r sin2 94r 2 sin 2 9=(sin2 小1)X- 1 + sin2 9 2 + 1 + sin2 92rsin2 92rsin 9即当x=时，MD取最小值为两异面直线的距离。1 + sm2 9J1 + sin2 919、【分析】先将方程化为含字母的一元二次方程,然后利用方程有惟一解的条件及解在 0,3) 上的限制,将次问题解决解：原方程可化为

14、 x2 - 4x + 3 + m = 0，令 f (x)二 x2 - 4x + 3 + m ,原方程有惟一解，即函数f (x)在所给的定义域内图象与x轴只有一个交点/.4=0 或者 f (0) - f 0，得 m = 1 或3 m 0( b w R )恒成立，所以 /= (4a)2 一 16a 0解得a w (0,1)故当b w R , f (x)恒有两个相异的不动点时a w (0,1)(3) 、由题意知A、B在直线y二x上，设A( x , y ), B( x , y ),1 1 2 2点A、B关于直线y = kx +对称，.k = -12a2 +1设AB的中点为M(x , y )00：x2是

15、方程的两根-X2 + bx + (b - 1) - 0的两根，二 = yo =宁于是，由点M在直线y = kx +上得-2- = 2- + 2,2a 2 +1222 2 +11c c11 0, 2 + n 2u2，当且仅当2=，即时取等号，故1 - - 22 + -得b最小值为-手21、(1)、x2 二 y1(2)、N在直线y =-上3)、相切 巩固练习(二) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1. 设直线ax+by+c = 0的倾斜角为，且sin a +cos a =0，则a, b满足A -+b_1B-b _1C -+b _

16、0D-b _02. 设P是60。的二面角alB内一点，PA丄平面a，PB丄平面B, A、B为垂足，PA=4, PB=2，则AB的长为A. 2、爲B. 2为；5C. 2-J7D. 4他3. 若- 是等差数列，首项- 0,-+ - 0,- .- 0成立的最大自n1200320042003 2004n然数n是A.4005B.4006C.4007D.40084. 每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种x5. 设函数 f (x) = -(x g R)，区间 M =a, b(ab),集合 N= y|y _ f (x), x g M ，则使 M=N 成立的1+w实数对(

17、a, b)有A. 0个B. 1个C. 2个D.无数多个6设 f -1(x)是函数 f (x) _ log2(x +1)的反函数，若1 + f -1(-)1 + f -1(b) _ 8，则 f (- + b)的值为A.1B.2C.3D. log237. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为A90 B60 C45 D308. 若函数 f(x) = (lm)X2 2mx5 是偶函数，则 f(x)A.先增后减B.先减后增C.单调递增 D.单调递减9. 定义在(一8,+)上的奇函数f(x )和偶函数g(x)在区间(一a, 0

18、 上的图像关于x轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b) f (a)g(a) g(b)成立的是A.ab0Bab0Dabb，则双曲线一-= 1的离心率e等ab于.12. 若(x + - -2)n的展开式中常数项为一20,则自然数*=x13. x是x的方程ax= log x(0a 0)，贝f -1(x)二；2gG6)二.15. 已知矩形ABCD的边AB = a, BC = 2, PA丄平面ABCD, PA = 2,现有以下五个数据：1 1(1)a = - ; (2)a = 1; (3)a =门；(4)a = 2; (5)a = 4,当在 BC 边上存在点 Q，使PQ丄QD时，

19、则 a 可以取 (填上一个正确的数据序号即可)16. 已知关于x的方程sin2 x + a cos x - 2a = 0有实数解，则实数a的范围为。三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知集合 A=x|x2 ax+a219 = 0，集合 B= x|log(x2 5x+8) =1，集合 C= x|mx2+2x-8 =1，m工0, |m|Ml满足AnEH0 , Anc = 0，求实数a的值.18. (本小题满分12分)有一组数据：x , x ,x (x x x )的算术平均值为10,若去掉其中最大的一个，余下数据12n 12n

20、的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.(1) 求出第一个数x关于n的表达式及第n个数x关于n的表达式；1n(2) 若x ,x，,x都是正整数，试求第n个数x的最大值，并举出满足题目要求且x取到最大值的12nnn一组数据.19. (本小题满分14分)某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11. 8万件.第二年，商场开始对该商品征70收比率为P%的管理费(即销售100元要征收P元)，于是该商品的定价上升为每件一 元，预计1 - p %年销售量将减少p万件.(1) 将第二

21、年商场对该商品征收的管理费y (万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率P%的范围是多少？(3) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多 少？20. (本小题满分14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx (a，b为常数，且aM0)满足条件：f(x1) =f(3x)且方程 f(x) =2x 有等根.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m, n (mn),使f (x)的定义域和值域分别为m，n和 4m，4n，如果存在,求出m, n的值；如果不

22、存在，说明理由.21（本小题满分14分）设无穷等差数列a 的前n项和为S .nn3（1）若首项a1 = 2，公差d = 1，求满足S = （S ）2的正整数k；1 2 k 2 k（2）求所有的无穷等差数列a，使得对于一切正整数k都有S = （S ）2成立.nk 2k答案一、选择题（每小题5分，共50分）(11)2(12).3；_ 1(13).10 或 10 _ 3 (14)._ 2( x 0及P0得定义域为0VpV 59 -(2)由 y214,得 100 - p11810p)p214.化简得 p212p+20W0,即(p2) (p10)W0,解得 2WpW10. 故当比率在2%，10%内时，商

23、场收取的管理费将不少于14万元(3) 第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为 g (p)= 70% (11. 8p) (2WpW10).g (p)701 - p %1 - p%(11. 8p)=700 (10+ 882-)为减函数,100：g (p)=g (2)=700 (万元).max故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元20. 解:(1) 方程 ax2+bx 2x = 0 有等根，.:=(b 2” = 0,得 b = 2.b由f(x1) =f(3x)知此函数图像的对称轴方程为x=亍=1，得a= 1,2a故 f(x)=x22x.1(2).f

24、(x) = (x1)2+1W1,.4nW1,即 nW41而抛物线y= x2+2x的对称轴为x=1,.当nW 4时，f(x)在m, n上为增函数.f (m)二 4m若满足题设条件的m, n存在，则/I f (n)二 4nI - m 2 + 2m = 4m 即-n 2 + 2n = 4nm = 0或 m = - 21又 mnW n = 0或 n = -24213解：当ai = 2,d =1时,.*.m=2, n=0,这时，定义域为2, 0,值域为8, 0. 由以上知满足条件的m, n存在，m=2, n=0.S = na + n2 d = 3 n + 叱22 =1 n + n n i 2222由 S

25、 = (S )2,得-k 4 + k 2 = (- k 2 + k )2,k 2k22即k 3(4 k -1) = 0又k丰0,所以k = 4 .(2)设数列a的公差为d,则在Sn=(S )2中分别取k=1, 2,nS = (S )211S = (S )242a = a 2,即 14 x 34a +d = (2a +i 2i1)2)由(1)得 a = 0或 a = i.当a】=0时,代入(2)得d = 0或d = 6,若a = 0,d = 0,则a = 0,S = 0,从而S = (S )2 成立innk k若 a = 0,d = 6,则a = 6(n -1),由S = 18,(S )2 = 324, S = 216知 in33ns丰(S )2,故所得数列不符合题意. 93当 a = 1时,代入(2 )得4 + 6d = (2 + d )2,解得 d = 0或 d = 21若 a = 1,d = 0,则a = 1, S = n,从而S = (S )2成立；1nnk 2k若a = 1,d = 2,则a = 2n-1,S = 1 + 3 + + (2n-1) = n2,从而S = (S )2成立. 1nnn综上,共有3个满足条件的无穷等差数列： a : a=0,即 0, 0, 0,；nn a : a =1,即 1, 1, 1,；nn a : a =2n1,即 1, 3, 5,，nn