电动力学CAS表示的简单方法

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1、电动力学 CAS 表示的简单方法摘 要论述了“场论算符 Math 化”、“ Math 函数算符化”。提出一种电动力学 CAS表示的简单方法。例示和验证了在电动力学中应用计算机进行公式推导及字 符解析运算的可行性。关键词 算符; 代数; 四维协变量; 相对论我们曾基于数值运算建立变分的电磁场方程组1,应用中有许多编程之苦，有应用的局限 性。实践表明字符运算与数值运算结合更好。应用字符运算软件不难使教材电子化，印在纸 上是本书，输入电脑既是能说话，又能推演解难。用它来克服电动力学中的计算瓶颈不但效 率高，而且可使教材突出物理模型和数学模型，并可充分阐明原理和规律。“Mathematica” 系统（

2、以下简称Ma th）由物理学家St ephen Wolfram领导开发的数学软件。它有强大的符 号计算和数值计算能力。系统提供了数学、物理所需得全部字符。我们用Ma th作为工具经 过多年的摸索，找到了“场论算符Ma th化”、“Ma th函数算符化”的简单而又可行方法，使 电动力学的表达式具有代数风格。实现了电动力学的计算机代数系统（CAS）表示，并用计 算机进行了公式推导、字符解析运算。1场量 Math 表示我们主张以Lorentz协变量展开电动力学教材，因此要把电动力学中的物理量用熟悉的 字符定义,并采用“表”或矩阵的输入/输出形式，例如：三维物理量可表为：e := e , e , e

3、xyzb := b ,b ,b xyza := a , a , a xyzT :=t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t 11 12 13 21 22 23 31 32 33 等等。又如四维量：1000nn-10 -1ct,-x,- y,- zxk = g xmnuk ：= 1,u /c,u /c,u /c x y zu ： = g ukm nnjk : =p C Uk；jm ： = gnn.jkk1 : = w /c,kl,k2,k3;gnn.kl;= m0 c uk;pk ：= gnn.pm;a : = Q /c,-ax,-ay,-az; m（* 速度 *）（* 电流密度 *）

4、（* 波矢 *）（* 动量 *）（* 四维势 *）ak : = gnn.am;fmn=0,el/c,e2/c,e3/c,-(el/c),0,-b3,b2, -(e2/c),b3,0,-bl,-(e3/c),-b2,bl,0 ;等等。四维协变量缩并可得Lorentz不变量，在惯性系变换中很有应用天地，现在可由计算机 导出。例如:cs=(xm.xk/.(-xA2-yA2-zA2)-0)/.t-t0;Printxm.xk=,cscu=um.uk/.ux-0,uy-0,uz-0,gmu-l ;Printum.uk=,cu cj=jm.jk/.ux-0,uy-0,uz-0,gmu-l ;Printjm.

5、jk=,cjcp=pm.pk/.ux-0,uy-0,uz-0,gmu-l ;Printpm.pk=,cpfmnfmn=Sumfmni,j fkli,j,i,l,4,j,l,4/2/Simplify;即得：x xi = c 2t 2 i0uui = lijji= P 2c2 i0p p i = m c 2 i0e2F F kl kl=b2 一 -c22Math函数算符化Math 系统的数学操作与演算函数等都是函数表达式，表达式的“头”一般是单词、单词 组合或它们的缩写组成，以数学符号命名加以定义，使用时酷似一个算符。例如:d := D # , x &xd := D # , t &t:二MapFu

6、nc tio ng,D#,g,x,y,z &ab: = (#l.)#2)+ ( #2.) #1+#1X (X#2)+#2X (X#1 )&等等, 以上各式中左边的字符(串)既是电动力学的算符名,又是 Math 系统的操作函数的 “头”，右边是操作函数。其它的 Math 函数都可以由此定义、储存、调用。我们把它简称 Math 算符。应用举例如下：qPr int E =, V r /.r - (x2 + y2 + z2)l/24 7E rPrint” V 乞,刃=,V z g 前式计算梯度，后式是梯度公式展开的操作函数。结果是：y(x2 + y2 + z 2)3/2(x2 + y2 + z 2)3

7、/2 qxE =-4 冗s(x 2 + y 2 + z 2)3/2V(乙 g) = (z V) g + (g - V) z + z X (V X g) + g X (V X z)式中“， ”用以表示矢量和张量的各个分量的3场论算符 Math 化电磁场理论的表达式及其演绎体系简洁、优美，是经典物理宝贵财富，必需沿用发展。我们以算符记号命名并定义场论的算符展开函数(为了易于辩认，这里用字符串表示，)。举 例如下：Delcc:=(#1 Del#2+#2 Del#1)&Divcv:=(#2.Del#1+#1 Div#2)&Rotcv:=( #1 Rot#2+CorssDel#1，#2)&Divca:=

8、(Dot#2,Rot#1-Dot#1,Curl#2)&Rot Ro = = (Div#l)? #1) &等等。下面调用已定义的算符推导波动方程：(RotRote +d (Curlb)=O)/.(Div e)-c2 |j p ,Curlb|J g d e+p j(Ro tRo tb -pg d (Ro te)-p Rot j=0)/.(Div e)-c2 |j p ,Rot e- d b 得到描述电磁场普遍规律的波动方程, 并得到标准算符输出如下：V 2e 一 d d e = gVp + yQ jv 2 t t t1V 2 b 一 d d b = pV x jv 2 t t电动力学的全部 Mat

9、h 化的物理量及 Math 算符构成一个应用程序。供 Math 系统调用，以下简称EDMath。它保持了电动力学算符的计算功能参与公式演绎。4Maxwill 方程组的代数表示及其字符运算电磁场方程组分量表达式 2 如下:d e p p c2 p = 0 p0g d b 入一 d e p - p j p = 0 pvX vc 2 t0g d e入 +Q b p = 0pvX vtd b p = 0p以上述表达方式(其中 e= e , e , e , b= b , b , b )仅仅是将矢量场方程写成对应的分量式，1 2 3 1 2 3应用求和慣例，希腊字符上下标取1,2,3,既不冲击电磁理论体系

10、，又能直接引入Math编 程。用四维电流密度j =p /c,j1,j2,j ，及电磁场张量Fmn，可以建立协变的电磁场方程组。 先看看EDMs th如何得到电磁场张量。众所周知，展开已知的如下矢势(a)及标势(申) 的关系式可得到 Fmnb = g d aiijk j ke = 6 96 aiit i展开过程的主要表达式如下：d:=d1,d2,d3a:=-a,-a,-a123g =0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0; j V入b：= (d .gjvAa)/.(g 耙坊f ,(-(aq)+aq)-f，(q 叽戸e:=(

11、-c (d a+d a)/.(-d a+d a)-f,(-d a+d a)-f,(-d a+d a)-f0 001100102 2002033 003定义:=d a-da ,l,m 取 0,1,2,3,得到：l m m n n m-b=f23,f31,f12-e/c=f ,f ,f 01 02 03令： fll=0, flm=-fml, 从而构成一个反对称的二阶张量，定义为电磁场张量。有 ll lm mlflm=0,e1/c,e2/c,e3/c,-(e1/c),0,-b3,b2, -(e2/c),b3,0,-b1,-(e3/c),-b2,b1,0 ;为了得到四维电磁场协变方程，先由 Math

12、展开如下两式。d e 口一卩 c2 p = 0 p0g d b 入一 d e p-p j p = 0 pvX vc 2 t0主要过程如下：b:=f ,f ,f , e/c:=f ,f ,f , j:=j ,j ,j 32 13 21 10 20 30 1 2 3d. 人.b-(l/c)d0 e= p 0 j|j v 入00d.(e/c)= p 0 j0得：d f -d f +d f =pj0 l02 203 3000-d f-d f+d f=pj0 l02 2l3l30l-d f+d f-d f=pj0 20l 2l33202-d f-d f+d f=pj0 30l l323203注意到 f

13、=-f ,f =0,立刻看到上列四式可统一写成： lm ml llQ f = p jm mn 0 n 同样，可将另外的如下两个方程合并：g Q e入 +Q bp = 0pvX vtQ bp = 0p可由 Math 展开得：df -df +df =03 21 2 30 0 32-df +df +df =03 10 0 13 1 30df -df +df =02 10 1 20 0 21d f -d f +d f =02 l3 2 30 l 32以上四式之和可写成：Q f +Q f +Q f =0l mnm nln lm由以上示例可见，计算表达式(程序)的输入形式与惯用表达式几乎完全一致。对于电

14、动力学计算机字符运算来说，以Lorentz协变量展开电动力学教材的好处有此可见。从本文论述及几个方面的例子已充分看出，由于“场论算符Math化”、“Math函数算符 化”，有效地实现了电动力学的CAS表示，电动力学的一般公式的推导已基本解决。电动力 学涉及的其它计算， Math 系统自身就可以基本胜任。电动力学解析运算自动化的实现是有希望的。参考文献1. 毛 明,离散时空框架上的电磁场方程及其微机应用, 大学物理, 101,期 1991.1,p16-192毛 明,略论电动力学教材的更新,扬州师院学报（自然科学版）, 第 7 卷, 1-2 期, 1987.6,96-1003.瞬时惯性系4用 Lr

15、oentz 协变量计算辐射压力Abract: The mathization of filed theory oprators and the opratorization of Math-functions are discussed. A simple method of CAS representation of electrodynamics is proposed. Examples and demonstrations are given to examine the possibility of deducing for equations and analysis calculation for operators using computer in electrodynamics.Key words: Sign of numeration; Algebra; Four-dimension variant; Relativism