导数用于单调性和极值问题

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1、专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性 sin x (n 1. 证明：函数f(x)Y在区间冷，n丿上单调递减.题型二 利用导数求函数的单调区间2. 求下列函数的单调区间(1)f(x)=x3x； (2)y=exx+l.3. 求函数y=X2 In X2的单调区间.题型三 已知函数单调性求参数的取值范围4. 已知函数f(x)=x2+X(xMO,常数aR).若函数f(x)在 x2,+)上是单调递增的，求ax的取值范围.5.(1)已知函数f(x) =x3+bx2+cx+d的单调减区间为一1,2，求b, c的值.(2)设f(x) = ax3+x恰好有三个单调区间，求实数a的取

2、值范围.题型四 用单调性与导数关系证不等式16.当x0时，证明不等式ln(x+l)x2x2.n17.当 0VxV2时，求证：xsinx0)在丄+上的最大值为专，则a的值为.题型六、利用极值求参数范围n3 n13. 已知函数f(x) = asinxbcosx在x=_时取得极值，则函数y=f(一乂)是()A. 偶函数且图象关于点(n, 0)对称3 nB. 偶函数且图象关于点(亍，0)对称3 nC. 奇函数且图象关于点(-厂，0)对称D. 奇函数且图象关于点(n, 0)对称14. 已知函数f(x)=x3 + ax2+bx+c，f(x)在x=0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有 相反的单调性(

3、1) 求实数 b 的值；(2) 求实数 a 的取值范围题型七、导数用于解决实际问题15用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方 形的边长为()A6B8C10D1216. 工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为 C2 元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场 (指库存量至多等于每批的生产 量).设每年每台的库存费为q元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17. 二次函数

4、y=/(x)的图象过原点且它的导函数(x)的图象是如图所示的一条直线，y=/(x)的图象的顶点在()A.第I象限B.第II象限C.第III象限D.第W象限18. 设函数y(x)在定义域内可导，y=/(x)的图象如下图所示，则导函数y=/ (x)的图象可能是()巩固练习：119. 定义域为R的函数y(x)满足/(1) = 1，且/(力的导函数f (x)2，贝y满足2f(x)x+l的x的 集合为()A. x|1x1B. x|x1C. x|x1D. x|x1n120. 函数f(x) = sinx+2f (亍)，f (x)为f(x)的导函数，令a=2，彷= log32，则下列关系正 确的是()21.

5、若关于x的方程X3 3x+m=0在0,2上有根，贝V实数m的取值范围是(A. 2,2B. 0,2C. 2,0D. ( a,2)U(2,+s)1122. 已知函数f(x)=ax3+2ax2 2ax+2a+l的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是23. 已知函数f(x)=x3 3x，若过点4(1, m)(mM2)可作曲线y=f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为.三、解答题24. 求证：x0 时，l + 2x0时，(xk)f (x)+x+l0,求k的最大值.|专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案、十 ,xcos xsin x (n 1证明 f (x)=x2，又 xW， n丿贝9 cosx

6、0,.xcosxsin x0,上是减函数.f (x)0,则 xW(8, 令 f (x)0,即 ex10, 则 x(0,+8)；令 y 0,即 ex10,. 2x3 a 三0, a2x3在x2,+8)上恒成立.aW(2x3).minVx2,+8), y=2x3是单调递增的，.(2x3) . =16,.aW16.min2x3 16当 a = 16 时，f (x)=x2 0(xW2, +8)有且只有 f (2)=0, .a 的取值范围是(一x28, 16.5. 解(1).函数/(x)的导函数f (x) = 3x2 + 2bx+c,由题设知一 1x2是不等式3x2+2bx+c0,Aaf(0)= 0 证

7、得.1规范解答令f(x) = ln(x+1)x+2x2, (4 分)1x2则/ (力=1+；1+x=1+；(6 分)当 x(0,+8)时，f (x)0,f(x)在(0,+8)上是增函数.(8分)“于是当 x0 时，f(x)f(0) = 0,1.:当x0时，不等式ln(x+1)x2x2成立.(12分)2丿X(.x.sin22(2j2,.g，(x)V0,(n A.g(x)在(0,丿上单调递减,1.g(x)Vg(0) = 0,.xsin xX3.8. 答案 D解析画出图像即可知y=x2存在极值f(0)=0.9. 答案 D解析 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题,2112ref (x)=x2+x

8、=x(1x)=0 可得x=2.当 0x2 时，f (x)2 时f (x)0,.f(x)单调递增.所以x=2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时,不要忽视定义域.10. 答案B解析如y=x3, y =3x2,|x=0=0，但x=0不是函数y=x3的极值点.11. 答案三解析y=(x+l)ex=0, x=1.&当 x 1 时，y 1 时 y 01Ay i =f( 1)=eine12. 答案3 1X2 |- a2x2ax2解析f(x)=x2|a2 =x2|a2当xva时f(x)0,f(x)在cja,+s)上是递减的，当一/ax0, f(x)在(一Qa,叮a)上是递增的.当 x=a时，f(：a)

9、=晋=于， 3a=寸1,不合题意.(心=(1)=1| =咅，解得 a=J3 n 显然f(4x)是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.14. 解析(1)由导数公式表和求导法则得，f (x) = 3x2 + 2ax+b,因为f(x)在x=0处取得极值，所以f (0) = 0,即得b = 0. 2(2)令f (x) = 0,即 3x2 + 2ax=0,解得 x=0 或 x=a.依题意有一尹0.因为函数在单调区间0,2 和4,5上具有相反的单调性， 2所以应有2WaW4,解得一6WaW3.15. 答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3,由题意，得V=x(48 1.13. 答

10、案Dn解析*/f(x)的图象关于x=对称，nf(0)=f(3)，一 b=a.：f(x) = asinxbcosx=asinx+acosx=-j2asin(x+才)，3 nI3 nn厂f(x) =； 2as in (x+)= 2asi n(nx)= 2asinx.2x)2(0x24), V=12(24x)(8x).令 V=0,则在(0,24)内有 x=8,故当x=8 时，V 有最大值16.答案解析设每批生产x台，则一年生产弓批.一年中库存费和生产准备费之和y=C.x+CXNxi x(0xN)y/=q罟由 y=0 及 0xN，解得x=C Nk(台)根据问题的实际意义，y的最小Ci值是存在的，且y=

11、0有唯一解.故x=家台是使费用最小的每批生产台数.17. 答案 A解析设f(x) = ax2+bx+c,.二次函数y=f(x)的图象过原点，：c=0,：f (x) = 2axb4acb2b2丄匚+b,由 y=f (x)的图象可知，2a0,：a0,：一兀0,石 =一石，故选 A.18. 答案A解析f(x)在(一I 0)上为增函数，在(0,+呵上变化规律是减一增一减，因此f (x) 的图象在(一g, 0)上, f (x)0,在(0,+)上f (x)的符号变化规律是负一正一负，故选 A.19. 答案 B1解析令 g(x) = 2f(x)x1, .了 (x)2，g(x) = 2f (x) 10,g(x

12、)为单调增函数,f(1) = 1,g(1) = 2f(1) 1 1=0,当 x1 时，g(x)0,即卩 2f(x)x+1,故选 B.20. 答案 An解析# (x) = cosx+2f (),nnn-f (亍戶心亍+2f (亍),n 1即f(3)= f(x)= sinx x.又 f (x) = cosx1W0,故f(x)在R上递减. 1又 T2f(log32)，即 f(a)f(b).&21. 答案A解析令f(x)=X3 3x+m,则 f (x) = 3x2 3 = 3(x+1)(x1),显然当 x1 时，f (x)0, f(x)单调递增，当一1x1 时，f (x)0, f(x)单调递减，.在x

13、=1 时，f(x)取极大值f( 1) = m + 2,在 x=1 时，f(x)取极小值f(1) = m 2.f 1 0,m 2W0,.2WmW2.、2+m0,6322. 答案(5，16)解析f (x) = ax2 + ax2a=a(x1)(x+2),了 2 0, f 1 0,贝9f 2 0, 此时无解；若。0, 23.答案(3,2)5a 16，综上知,635a4(1, m),.m (xg3x0) = (3xg3)(1x0),.m=2xg+3xg3, m= 6x0+6x0，.当0x1时，此函数单调递增，当x01时，此函数单调递减，当x0 =0 时，m=3,当 x0=1 时，m=2,.当一3m0

14、时，e2x1, f (x) = 2(1e2x)0 时，f(x)0 时，l + 2xe2x0,即卩 l + 2x0:令f (x)0, x(x1，x2), f (x)0,f(x)在(0,+)递增.令 g(x) = ax2+2(a+1)x+aA =4(a+1)24a2 = 8a+42 当a0时，A 0 ,此时g(x) = 0的两根x】=一a+1一巧 2a+1ax2 =一 a+1+2a+1aVa0,Ax10, x20，TxW(0,+8),.f (x)0故f(x)在(0,+)递增.13 当 a0，即一2a0,a+1+2a+1.f(x)在(X, x2)递增，在(0, xj 和(x2，+s)上递减. 综上所

15、述：当a0时，f(x)在(0,+)递增.1当一2a0 时，f(x)在(X, x2)递增,在(0, x)和(x2，+b)递减(其中 x=a+1+ 2a+1x2 =一 a+1-J2a+1,a1当 aW2时，f(x)在(0,+b)递减.26.分析如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S,然后利用导数求最值.解析设矩形边长为AD = 2x,则|AB| =y=4X2,即 S=8x2x3,.S=8 6x2,则矩形面积 S=2x(4-x2)(0x2),令Sz=0,解得x1=石，x2=芜(舍去)2 2当 0x0；当;73x2 时，Sz 0,当 x,s取得最大值，此时，s最天豎3,8y=3即矩形的边长分

16、别为斗3、3时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f (力=4一疝一x，由导数的几何意义，且切线与y=x垂直.e ,15得f (1)=4 a1=2,.a=4.丄 匚x 53(2)由知 f(x)=4+4x_lnx2./1 卫 1 x24x_5f (x)=44x2 x 一 4x2令f (x)=0解得x=1或5,1不在定义域之内故舍去.当 x(0,5), f (x)0,f(x)在(5,+)递增.513.：/(x)在x=5时取极小值于二才+才52=一5.28.分析解析(1)f(x)的定义域为(一8,+叫，f (x) =

17、exa.若aWO,则f 1 (x)0,所以f(x)在( -,+-)单调递增.若 a0，则当 xw( g, Ina)时，f (x)0,所以夬乂)在(一b, Ina)单调递减，在(lna,+s)单调递增.(2)由于 a = 1，所以(xk)f (x)+x+l = (xk)(ex1)+x+l.故当 x0 时，(xk)f (x)+x+l0 等价于x+1一rk0).ex 丄令 g(x) =x+1ex 1+x,xex1ex12exex12由知，函数 h(x) = exx2 在(0,+b)单调递增.而 h(1)0,所以 h(x)在 (0, + -)存在唯一的零点.故g (x)在(0,+b )存在唯一的零点.设此零点为a,则a e(1,2).当 xW(0, a)时，g (x)0.所以g(x)在(0,+b)的最小值为g( a ).又由 g ( a ) = 0,可得 ea=a+2,所以 g(a)=a +1G(2,3).由于式等价于kg( a )，故整数k的最大值为2.