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1、 平面向量的概念及运算 【学习目标】 1 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 理解向量的几何表示 2 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意 义 3 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向 量共线的含义 4 了解向量线性运算的性质及其几何意义 【知识要点】 1 向 量的有关概念 (1) 向量： _ _ _ 叫向量， 一般用 a ， b ， c ， 来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母来表示，如： AB . 向量的大小，即向量的 长度 ( 或称模 ) ，记作 | AB |. (2) 零向量： _ _ _ 的向量，记作 0 ， 其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平
2、行 (3) 单位向量： _ _ _ 单位长度的向量 (4) 相等向量：长度相等且 _ _ _ 的向 量相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b ； 长度 相等且方向相反的向量叫做相反向量 (5) 平行向量：方向 _ _ _ 的非零向量， 也叫做共线向量，因为任何平行向量经 过平移后，总可 以移到同一条直线上 既有大小又有方向的量 长度为零 长度等于 1个 方向相同 相同或相反 3. 向量的数乘运算 (1) 数乘向量的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长 度与方向规定如下： | a | | | a |； 当 0 时， a 与 a 的方向 _ _ _ ； 当 0 时， a
3、与 a 的方向相反； 当 0 时， a 0. (2) 数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反 方向放大或缩短 相同 (3) 数乘向量的运算律 设 ， 为实数，则 ( ) a a a ； ( a ) ( ) a ； ( a b ) a b . (4) 共线向量 ( 平行向量基本定理 ) 若 a b ，则 a b ；反之，若 a b ( b 0) ，则一定 存在一个实数 ，使 a b . 一、向量及其几何意义 例 1 给出下列命题： 已知 ， R ，则 ( ) a 与 a 共线； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量 AB
4、与 CD 是共线向量，则 A ， B ， C ， D 必在同一 直线上； 四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB DC ； 已知 A ， B ， C 是不共线的三点， O 是 A BC 内的一 点，若 OA OB OC 0 ，则 O 是 ABC 的重心； O 是平面内一定点， A ， B ， C 是平面内不共线的三 个点，动点 P 满足 OP OA AB | AB | AC | AC | ， 0 ， ) ， 则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心 其中正确命题是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 填命题的序号 ) 【命题立意】 本题主要考查向量运算的几何意义 2 ( 2014
5、 浙江 ) 记 max x ， y x ， x y ， y ， x y ， min x ， y y ， x y ， x ， x y ，设 a ， b 为平面向量，则 ( ) A min| a b |， | a b | min| a| ， |b | B min| a b| ， |a b| min| a| ， |b | C max| a b| 2 ， |a b | 2 | a| 2 |b | 2 D max| a b| 2 ， |a b| 2 |a | 2 |b | 2 【解析】 根据向量运算的几何意义，即三角形法则， 可知 min | a b| ， |a b| 与 mi n| a| ， |b |
6、 的大小不确定， 由平行四边形法则及余弦定理可知， max |a b| ， |a b| 与 | a |， | b |所构成的三角形中， m ax| a b |， | a b | 所 对的角大于或等于 90 ，故 max | a b | 2 ， | a b | 2 | a | 2 | b | 2 ，故选 D. D 【解析】 由 AD AB | AB | AC | AC | 知 AD 是 ABC 的 角平分线，所以 BD DC AB AC 1 2 ，所以 BD 1 3 BC 1 3 ( AC AB ) 1 3 a 1 3 b ，故选 C. 3 已知 ABC ， D 是 BC 边上的一点， AD A
7、B | AB | AC | AC | ， | AB | 2 ， | AC | 4 ，若记 AB a ， AC b ， 则用 a ， b 表示 BD 所得的结果为 ( ) A. 1 2 a 1 2 b B. 1 3 a 1 3 b C 1 3 a 1 3 b D. 1 2 a 1 3 b C ( 4 ) 平面上有四个互异点 A ， B ， C ， D ，已知 ( DB DC 2 DA ) ( AB AC ) 0 ，则 ABC 的形状是 ( ) A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 无法确定 B 【解析】 取 AE 的三等分点 M ，使 | AM | 1 3 | AE |，连结
8、DM . 设 | AM | t，则 | ME | 2 t . 又 | AE | 1 4 | AC |， | AC | 12 t， | EC | 9 t， | AD | | AB | | AM | | AE | 1 3 ， 7 在 ABC 中， AD AB 1 3 ， AE AC 1 4 ， BE 与 CD 交 于点 P ，且 AB a ， AC b ，用 a ， b 表示 AP . DM BE ， | PC | | DC | | PE | | DM | | EC | | MC | 9 11 . | DP | 2 11 | DC |. AP AD DP A D 2 11 DC 1 3 AB 2 11 ( DA AC ) 1 3 AB 2 11 1 3 AB AC 3 11 AB 2 11 AC 3 11 a 2 11 b .
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