高数下第十一章曲线积分与曲面积分

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1、第十一章第十一章 曲线积分曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分在曲线弧上对弧长的曲线积分oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L01(,)lim(,).niiiLif x y dsfs 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 4.性质性质.),(

2、),(),(),()1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 5、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设注意注意:;.1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(.

3、2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf例例1).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 例例2.)2,1()2,1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 .0 例例3)20(.,sin,cos:,的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka

4、 xy42 dkaka222sincos 20I例例3 .0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性,知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa练习题练习题练习题答案练习题答案二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义:函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线积分的曲线积分01(,)lim(,)niiiLiP x y dxPx 类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(

5、叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其中其中.LdsF4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性质性质.,)1(2

6、121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(6、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时

7、时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(且且.,)()()(:)3(终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(例例1.)1,1()1,1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化

8、为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1,1(A)1,1(B的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy.11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1(ayaxL，变到变到从从 0)0,(aA)0

9、,(aB 0原式原式 daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB .343a ,0:)2(yL，变到变到从从aax aadx0原式原式.0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1,1(),0,1()0,0(,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyx

10、xydxL 2xy )0,1(A)1,1(B解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x,10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10,0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上上在在 AB,10,1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB.1

11、10 原原式式.1)0,1(A)1,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而

12、定.例如例如L：taxcos，taysin，2,0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.练习题答案练习题答案1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三三、格林公式、格林公式2.2.格林公式格林公式定理定理1 1连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界

13、曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD格格林林公公式式的的实实质质:沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyoLABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式,xQP ,0 有有 LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 则则当当022 yx时时,有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L(1 1)当当D

14、)0,0(时时,(2)当当D)0,0(时时,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr22222sincos 20 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。LD

15、QdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题思考题解答思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDABEGFEGyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关,四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件 2LQdyPdx1L2LBA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关.2.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,函数函数),(),(yxQyxP在在G内

16、具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则曲线积分则曲线积分 LQdyPdx在在G内与路径无关内与路径无关（或沿（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是要条件是xQyP 在在G内恒成立内恒成立.定理定理2 2(1)开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2)函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：定理定理3 3xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC),(1

17、1yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或例例 1 1 计计算算 Ldyyxdxxyx)()2(422.其其中中L为为由由点点)0,0(O到到点点)1,1(B的的曲曲线线弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原积分与路径无关原积分与路径无关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 2 2 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径无无关关,其其中中 具具有有连连续续的的导导数数,且且0)0(,计计算算 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与

18、路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21 四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1(CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD

19、 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题练习题答案练习题答案五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf1.1.定义定义.叫积分曲面叫积分曲面 dSzyxf),(21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 3、计算法、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(1):(,)zz x y 若若曲曲面面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则

20、(2):(,)yy x z若若曲曲面面 计计算算 dszyx)(,其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1积积分分曲曲面面：yz 5,解解投影域投影域：25|),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计计算算dSxyz|,其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数|xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐

21、标面对称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz|dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1|),(22 yxyxDxy,0,0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos,trysin,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 练练 习习 题题练习题答案练习题答案六、对坐标的曲面积

22、分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:面面在在xoyS,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xyS)(曲曲面面 S 2 2、概念及性质、概念及性质类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdyd

23、zzyxP10)(,(lim),(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在.组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(性质性质:2121.1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(.23 3、计算法、计算

24、法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续.),(yxfz xyDxyzoxys)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(,)()(,0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(,0cos,x

25、yxyiS 取下侧取下侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0,0 yx的的部部分分.解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxd

26、yxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 练练 习习 题题练习题答案练习题答案七、高七、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或或GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知例例1 1 计算曲面积分计算曲

27、面积分xdydzzydxdyyx)()(其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3,0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧.xozy113解解,0,)(yxRQxzyP ,0,0,zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:1.1.RQP,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数;2 2.是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧.xyzo例例 2 2 计算曲面积分计算曲

28、面积分dszyx)coscoscos(222 ,其中为其中为锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面0 z及及)0(hhz之间的部分的下侧之间的部分的下侧,cos,cos,cos是在是在),(zyx处处的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.h xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上使用高斯公式上使用高斯公式在在 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.|),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .214h 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 练习题练习题练习题答案练习题答案