直角坐标系下二重积分的计

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1、第八节第八节 直角坐标系下二重积分的直角坐标系下二重积分的 计算计算一、矩形区域上二重积分的计算一、矩形区域上二重积分的计算 badcbadcDf(x,y)dxdyf(x,y)dydxf(x,y)dxdyc,da,bDf(x,y)上上连连续续，则则在在若若即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单）0 0,1 1 0 0,1 1 其其中中D D例例1 1.求求 ,dxdyxyxD1二、一般区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计算1.x-1.x-型区域与型区域与y-y-型区域型区域如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(2

2、1xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,baX型型 区域区域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型区域的特点：型区域的特点：穿过区域垂直于穿过区域垂直于x轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc (y).x(y)21 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.(y)1(y)2,dcY型型 区域区域(y)x2(y)x1 Dcdcd(y)x2(y)x1 D Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于穿过区域且垂直于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交

3、点线与区域边界相交不多于两个交点.2.一般区域上二重积分的计算积分区域为积分区域为X-型区域型区域连续，则在、连续，其中上型区域在若,)()()()(,),(2121baxxxyxbxaxyxf.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 分析：分析：应用计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积平行截面面积为已知的立体求体积”的的方法方法:xoabxdxx .)(badxxAVRR xyo x 已知平行截面面积已知平行截面面积的立体的体积的立体的体积a0 xbzyx)

4、A(x),(yxfz)(1xy)(2xy baDA(x)dxf(x,y)d先先y后后x的累次积分的累次积分.dydxf(x,y)ba(x)(x)12 dy.yf(xdxba(x)(x)21 5）若(x,y)0 仍然适用。1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域 先Y后X;3 3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。4）为方便，上式也常记为：注意注意:积分区域为积分区域为Y-型区域型区域d d 连连续续，则则在在 c c,连连续续，其其中中上上型型区区域域在在若若(y)(y)、(y)x(y)d,ycyf(x,y)2121 dc(y)(y)Ddc

5、(y)(y)f(x,y)dx.dyyf(x,y)dxdf(x,y)d 2121 先先x后后y的累次积分的累次积分积分区域既非积分区域既非X-型也非型也非Y-型型若区域如图，若区域如图，则必须分割则必须分割.在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD3D2D1D积分区域既为积分区域既为X-型又为型又为Y-型型 ba(x)(x)dyf(x,y)dxdyxf12D),(dc(y)(y)f(x,y)dx.dy21 yxoabyxoabyxoabDDD axabyyxfxId),(d.abxabyyxfxId),(d aaxbyyxfxI)(d),(d1

6、byax.(练习练习)1.)1.Dyxy,xfId)d(xaby yxoabDyxoabDyxoabD baybaxyxfyId),(d bybaxyxfyId),(d bbyaxyxfyI)(d),(d.1 byax.Dyxy,xfId)d(ybax 0 0y y x x111（1 1）先对）先对 y y 积分积分xxyyxfI11d),(.y y=1=1x xy y=x x11 xd.Dyxy,xfId)d(所所围围成成的的区区域域0,1,1:xyxyxD111.（2 2）先对）先对 x x 积分积分 21DDI1010d),(dxyxfyy xyxfyyd),(d.x x=1 =1 y

7、yx x=y y+1+1（不分块行吗？）（不分块行吗？）xoy1D2D注注）二重积分化累次积分的步骤画域，选序，定限）累次积分中积分的上限不小于下限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，画好围成D的几条边界线，例例1 计算计算 ，其中，其中D是由直线是由直线y=1,x=2,及及y=x所围区域所围区域。Dxyd解法解法 1 把把D看成看成X型域，则型域，则21123221114221()2229848xDxxydxydy dxyxxxdxdxxx DxyOyx1y x12:1,12,Dyxx解法解法 2 把把D看成看成Y型域，则型域，则2212

8、22132142212(2)2988yyxydx dyxydyyydyyy DxydDOyx12y2x xy解：解：两两曲曲线线的的交交点点),1,1(,)0,0(22 yxxy2xy 2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx)(1022dxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx Y型型 yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 所所围围成成的的闭闭区区域域。及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算2,2 xyxyDxydD 例例2解解：（如图）将如图）将D作作Y型型 2212yyDxy

9、dxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2,4-122yx 2 yx 1,1 xy把把D看作看作X型域型域 由于在由于在0，1和和1，4上下边界的表达式不同，所以上下边界的表达式不同，所以要用直线要用直线x=1将将D分成两个区域分成两个区域 和和 2D1D2:2,Dxyx14x01x1:,DxyxyOx12DDx1(1,1)(4,2)yx yx42yxx14012xxxxxydy dxxydy dx Dxyd12DDxydxyd它们分别用以下不等式表示：它们分别用以下不等式表示：由以上例子可见，为了使二重积分的计算较为方

10、便，由以上例子可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，看被积函数对哪一个变量较容易积分。看被积函数对哪一个变量较容易积分。上例表明，若先上例表明，若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式，的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算须分片积分，计算较麻烦。较麻烦。例例3 3解：解：围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49.21,1

11、:xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11Dxy1 xy 例例4 4解：解：.10,11:.2 yxDdxyD其其中中计计算算 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 1D2D3D2xy Yxy先 后 积分，解型:0,01Dxyy22221100001120011122yyyyyyIdye dxex dyye dye dye11yx0D2,:,1,0yDIe dD yx yx例例5 求求 所围成。所围成。2110yxIdxe dyyx分析分析 若先若先 后后 积分

12、，则积分，则 无法积分。无法积分。xy dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e xy 例例6 交换二次积分的顺序交换二次积分的顺序 1110001,;2,xyydxfx y dydyfx y dx分析分析 要将按X（或Y）型域确定积分限改为按Y（或X）型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y（或X）型域重新确立积分限，得到二次积分。三、交换二次积分的次序三、交换二次积分的次序例例6 交换二

13、次积分的顺序交换二次积分的顺序 1110001,;2,xyydxfx y dydyfx y dx故D是由 所围成的，于是0,1,0,1xxyyx Y:01,01,Dxyy 型11110000,xydxf x y dydyf x y dxx110y1xy 1:01,01,Dyxx 由二次积分限，有X型解解2:,01,D xyxx21100,yxyxdyfx y dxdxfx y dyx11,10y2yxyx0,1,yyxy xy故D是由 所围成的，于是:,01,D yxyyY型 102,yydyf x y dx由的积分限，有例例7 交换二次积分的顺序交换二次积分的顺序1220010(,)(,)x

14、xdxf x y dydxf x y dy1220010120(,)(,)(,)xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dx解解 将所给积分限还原成将所给积分限还原成D的图形，由的图形，由12DDD知知D是由是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，三条直线所围成，:2,01D yxyy于是按于是按Y型域定限型域定限1:0,01Dyxx，2:02,12Dyxx其中其中2012DD11xyxy xy 2xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图axy2 解解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aay

15、aadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a证证 由等式左边，得:0,0Dxyyc改变积分顺序，得:,0D xycxc左边 右边00()()()cccxdxf x dycx f x dx所以，左边 右边00()()()cccxdxf x dycx f x dx所以，000()()()cycdyf x dxcx f x dx 0,7fxc 设在上连例续，证明例10*解解原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.2183ee 1.1.化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次

16、序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大（例2），甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来（例5）；以上各例说明以上各例说明2.把一个区域是看作X型区域还是Y型区域：(1)首先注意被积函数的特点,一定要避开无法计算的积分出现,如babaxdxedxxx2 ,sin等,或者说尽可能使积分易“积”出来 (2)在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分段函数，即尽可能避免某侧边界是n条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用例2所给的“切块法”(3)求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定练习练习 计算计算

17、 DxyxyyxxDdxdyye1,2,2,1:,解解D是是X型区域型区域 2121xxydyyedxI要分部积分，不易计算要分部积分，不易计算若先若先 x 后后 y 则须分片则须分片 21211021dxyedydxyedyIxyyxy易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。Dyox思考思考设设)(xf在在1,0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，求求 110)()(xdyyfxfdx.1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出,改改变变积积分分次次序序.令令 110)()(xdyyfxfdxI,则

18、则原原式式 ydxyfxfdy010)()(,)()(010 xdyyfdxxf)()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 思考题解答：思考题解答：四、四、利用对称性简化重几分的计算利用对称性简化重几分的计算 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时要兼顾要兼顾被积函数和积分区域两个方面，被积函数和积分区域两个方面，不可误用不可误用对对 Ddxdyyx

19、fI),(1.若若D关于关于 x 轴对称轴对称,),(),()1(时时yxfyxf 0 I,),(),()2(时时yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxDzxyoozxy2.若若D关于关于 y 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 32Df(x,y)dxdyI .9510,),(),(3例例，PxDyxyxD 1),(4DdxdyyxfI .1052,0,0,),(1例例如如PyxDyxD 3.当积分区域当积分区域D关于关于x轴、轴、y轴均对称，轴均对称，时时或或当当),(),(),(),()1(yxfyx

20、fyxfyxf 0 I时时当当),(),(),()2(yxfyxfyxf 4.*若若D关于关于原点原点对称对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI .0,),(3 yDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(称为关于积分变量的轮换对称性称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于倍，完全类似于 对称区间上奇

21、偶函数的定积分的对称区间上奇偶函数的定积分的性质性质简述为简述为“你你对称，我对称，我奇偶奇偶”1、2、3、4简单地说就是简单地说就是5.*若若 D 关于关于直线直线 y=x 对称对称,10,yxD:Ddxy)2(求求例12（1）设：解,22 DDDdxyd)d(xyD关于y轴对称，而xy为x的奇函数，故.0 Dxyd,12 dD又又从而原式.4 例12（2）设：解因D关于y轴对称，而x为x的奇函数，故从而原式.0 ,1 y,xD:.sin Dy)d(x求求,ydxdy)d(xDDD sinsin，对对 Dxd，0 Dxd，对对 Dydsin因D关于x轴对称，而sinysiny为y y的奇函数

22、，.ydD0sin 故故例13*计算 ，其中D是由 所围成的区域，为连续函数.解 利用曲线 将B与O连接起来，将区域分成两个区域 和 。由对称性，有故 原式 221Dxyf xydxdy3,1yxy 与x=-1 f x3yx 1D2D1221()0Dxyf xydxdy222()0Dxyf xydxdy3320125xxDxdxdydxxdy练习练习 计算计算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1)1sin(2解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分dxxxydyIyy 21221)1sin(但由于但由于 1)1sin(xx对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 y 后后 x 有有dyxxydxxx 4121)1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101)1sin(奇函数奇函数