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1、理论力学作业解答1-3已知曲柄OA=r,以匀角速度绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑动B沿直线Ox运动.设AC=CB=a,ZAOB=9,ZABO=屮.求连杆上C点的轨道方程及速度.解：设C点的坐标为x,y,则x=rcos9+acos屮y=rsin9一asin屮y=asin屮联立上面三式消去9，屮得（x一a、1-y2/a2）2+4y2=r2整理得轨道方程4x2（a2一y2）=（x2+3y2+a2一r2）2设C点的速度为v,即v=Jx2+y2=Jr292sin29+2ar（pisin9sin屮+a聊2考虑A点的速度ya=呦cos9=2却cosVrcos92acosWrcos92acosW所以v=巴
2、cos29+4sin9cos屮sin（9+屮）2cos屮1-4细杆OL绕O点以匀角速度转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，图中的d为一已知常数.试求小环的速度v及加速度a解：小环C的位置由x坐标确定x=dtan0v=x=d0sec20a=x=2d2sec20tan0=22x解法二：设v为小环相对于AB的速度，v为小环相对于OL的速度，v为小环相绕O点转动的速度,12贝ijv=v+v12又设OL从竖直位置转过了0角，则sin0cos0=dvx2+d2vnv二2cos0x2+d26(x2+d2)cos0dv=vtan0=tan0x2+d2=vx2+d212d(x2+d2)所以，小不相对于AB
3、的速度为同=，方向沿AB向右.1-10一质点沿着抛物线y2=2px运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍如此质点从正焦玄(p,p)的一端以速度u出发，试求其达到正焦玄另一端时的速率.解：设条件为v2dvdvd0dsvdva=-ka,a=,aTnnpTdtd0dsdtpd0上面三式联立得空=-2kd0vnv=ue-2k0两边积分Jv-d0=foo(-2k)d0,00由y2=2px可得dy=dxy在正焦玄两端点A与p)和B吟-p)处，y：=1，yB=-1.可看出，两点处抛物线得切线斜率互为倒数，即0=，代入得1-15当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m的甲板，蓬高4m.但
4、当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m,如果雨点的速率为8m/s，求轮船的速率.解：设相对于岸的速度为v,雨相对于岸的速度为v，雨相对于船的速度为v则0rv=v-vr0速度三角形与三角形ABC相似，得vBC2+31o=1vAB42+32所以v=v=8m/s0方程y3+3p2y-2p2h二0的解解：作变换y=zp2，原方程变为z3-p62p2h=0=-+竺i贝I22zz3设R=p6+p4h2,A=(p2h+VR)1/3,B=-P=(p2h-VR)1/3,w3A实根y=A+B=(p2h+pR)1/3+(p2h一JR)1/31两个虚根：y=wA+w2B,y=w2A+wB23对于该题,只取
5、实根.1-38已知作用在质点上的力为Fx=a11x+a12y+a13z,Fy=a21x+a22y+a23z,F=ax+ay+az其中a(i,j=1,2,3)都是常数,问这些a应满足什么条件才有势能z313233i,ji,j存在?如果这些条件满足,试求其势能.解：由VxF=0得：a=a(i,j=1,2,3)i,jj,idV=-Fdx-Fdy-Fdz=-(ax+ay+az)dx-(ax+ay+az)dy-(ax+ay+az)dzxyz111213212223313233V=-Jxaxdx-Jy(ax+a(ax+ay+az)dz011021220313233=(ax2+ay2+az2+2axy+2a
6、yz+2azx)+c21122331223311-39一质点受一与距离3/2次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达a时的速度v和自a静止出发到达a/4时的速率v相同.12dvdv1解：依题意有m=mv=-，两边积分dtdxx3/2Jv1mvdv=-Jdx,nmv2=0sx3/221affa112再积分Jv2mvdv=-J4dx,nmv2=0aX3/221Va可知倚V21-43如果质点受有心力作用而作双纽线r2=a2cos29的运动时，则3ma4h2F=-r7试证明之。d2uF解：比耐公式h2u2(+u)=-d92m11而u2=代入得ra2cos29d2u小=-3a4u5-ud923ma4h2nF=-r71-44质点所受的有心力如果为u2vF=-m(+)r2r3a式中，卩及v都是常数，并且v0时(1+yx2)(C+ax2)yc-a1-+Artha其中C-ax2，10a(1+yX2)-2(t+C)y(C+ax2)21(1+yx2)(C+ax2)yC-aa(1+yx2)2C010-1Arth.02aa.：ayy(C+ax2)110aJayaJay当a0时、：(l+yx2)(C+ax2)yC-aaArtha、：一ay-a(1+yX2)2(t+C)y(C+ax2)21其中C-ax2，102C也士02-!C二Arth2aaay-a(1+yxpy(C+ax2)10
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