概率论公式总结

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1、第一章F (x)二 P (X x)P (X 二 k)k xP(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特 别 地 ， 当 A 、 B 互 斥 时P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式P(AB) = P(B)P(AI B) = P(A)P(B I A)全概率公式：从原因计算结果P(A) = P(B )P(A I B )kkk=10F(x,y)1F(x,y)=PX x,Y 0)9F(x)二 f (x)分布函数对离散型随机变量对连续型随机F(x) = P(X x) = fx f (t)dt变量g分布函数与密度函数的重要关系：F (x) = P (X 0J+寸+g f (x, y

2、 )dxdy = 1g g联合密度与边缘密度f (x)二严f (x, y)dygXf (y)二严f (x, y)dxY7离散型随机变量的独立性P X = i, Y = j = P X = iPY = j连续型随机变量的独立性f (X，y)二 fX (x) fY ( y)第三章数学期望离散型随机变量，数E(X) = x -Pk k学期望定义E (X) = x - f (x )dx连续型随机变I 7量，数学期望定义 E(a)=a,其中a为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， X、 Y 为任意随机变量E (g (X)=工 g (x ) pk

3、k随机变量g(X)的数 k 学期望常用公式EX)壬xpi ijxf (x, y )dxdyE(XY)工 xypi j ji jE (X + Y) = E (X) + E (Y)E(XY)二 JJ xyf (x, y)dxdy当X与 Y独立时，E(XY)二 E(X)E(Y)方差定义式D(X) = J+s(x - E(X)-f (x)dxw常用计算 ID(X)二 E(X2)-Le(X)2| 式常用公式D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E(X - E(X )(Y - E(Y)当 X、Y 相互独立时：D( X + Y) = D( X) + D(Y)方差的性质D(a)=0，其中a为常数

4、D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数 当 X、 Y 相互独立时， D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数ex - E(X亚-E(YE(XY) - E(X)E(Y)Cov (X, Y) = E (XY) - E (X) E (Y)Coi( X ,Y)p 二XY VD( X )D(Y)协方差的性质Cov(X, X)二 E(X2)-(E(X)二 D(X)Cov (aX, bY) = abCov (X, Y)Cov( X + Y, Z) = Cov( X, Z) + Cov(Y, Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立 第四章 正态分 布E(X)二 p,

5、D(X) = 2 (a) = 1 (a)标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z a) = P (Z a) = P (Z a) = 1 (a)P(a Z b)=(b) 一 (a)P(a Z a)-(a) - (a)二 2(a) -1 一般正态分布的概率计算X N (PQ 2) o Z - 一 N (0,1) o一般正态分布的概率计算公式a u,P(X a) = P(X a) = P(X a) = 1 0()oP(a X 50）正态分布的分位点a/2a/2Jp(l二 p)Jn丿p 样本比例n 样本容量(大样本要求n 50)z 正态分布的分位点/2小样本、正态总体、标准差b已知小

6、样本、正态总体、标准差b未知X 土 t(n 1)a/2t(n -1)自由度为n -1的t分布的分位点a/2(n1)S 2 , (n1)S 2y 2y 2/ 21a / 2)S 2 样本方差y2 卡方分布的分位点 /2正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间(X1大样本或正态小样本且方差已知、_)丄,b2b2一 X 丿土 z+ T-2a/2l n nv 12丿两个正态总体方差比的置信区间S 2/S 2S 2/S 2112, 12.F （n 一 1, n 一 1） F （n 一 1, n 一 1）. a/212a/212 丿第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设

7、H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原 假设。不可避免的两类错误第 1 类 （ 弃真 ） 错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类 （ 取伪 ） 错误：原假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形Z检验正态总体小样本、方差已知Z检验正态总体小样本、方差未知t检验 单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式H0 :巴H 1:巴双边检验(2) H : pp H :卩卩0 0 1 0左边检验（3） H :H :0 0 1 0右边检验单正态总体均值的Z检验Z 二 Xoc 5（大样本情形&未知时用s代替）拒绝域 的代数表示Z 4/2双 边 检验左边检ZZ a验右边检Z - Z a验比例一一特殊的均值的Z检验p - pPc总体比例Z 00VP0（1 - P0）/Jnp样本比例单正态总体均值的 t 检验tX -卩0.S 5单正态总体方差的卡方检验(n -1) S 2拒绝域双边检G 2X2 X2 或 X2 X2a/21a/2验X2 X2a/2右边检 验i .F (n 1, n 1)C2 /C21212第六章 点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计