概率论公式总结

第一章F (x)二 P (X < x)P (X 二 k)k < xP(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特 别 地 ， 当 A 、 B 互 斥 时P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式P(AB) = P(B)P(AI B) = P(A)P(B I A)全概率公式：从原因计算结果P(A) = £ P(B )P(A I B )kkk=10<F(x,y)<1F(x,y)=PX <x,Y<yBayes 公式：从结果找原因P(B I A) = _ , " i) " i) kP (B ) P (AIB )kkk=1第二章二项分布（Bernoulli 分布）XB（n,p）P(X=k) =Ckpk (1-p)n-k,n(k=0,1,.,n)泊松分布XP(入)P (X = k) =e-九，(k = 0,1,.)概率密度函数j+s f (x)dx = 18怎样计算概P(a - x ' b)P(a X b) = jb f (x)dxa均匀分布 XU(a,b)f (x) =(a - x - b)b 一 a指数分布XExp (0 )f (x) = L e - x / 0(x > 0)9F'(x)二 f (x)分布函数对离散型随机变量对连续型随机F(x) = P(X < x) = fx f (t)dt变量g分布函数与密度函数的重要关系：F (x) = P (X < x) = fx f (t) dtg二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度f (x,y) 函数联合分布 F(x, y) 函数f (x, y) > 0J+寸+g f (x, y )dxdy = 1g g联合密度与边缘密度f (x)二严f (x, y)dygXf (y)二严f (x, y)dxY7离散型随机变量的独立性P X = i, Y = j = P X = iPY = j连续型随机变量的独立性f (X，y)二 fX (x) fY ( y)第三章数学期望离散型随机变量，数E(X) =£ x -Pk k学期望定义E (X) = x - f (x )dx连续型随机变I 7量，数学期望定义 E(a)=a,其中a为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， X、 Y 为任意随机变量E (g (X)=工 g (x ) pk k随机变量g(X)的数 k 学期望常用公式EX)壬xpi ijxf (x, y )dxdyE(XY)工 xypi j ji jE (X + Y) = E (X) + E (Y)E(XY)二 JJ xyf (x, y)dxdy当X与 Y独立时，E(XY)二 E(X)E(Y)方差定义式D(X) = J+s(x - E(X)-f (x)dxw常用计算 ID(X)二 E(X2)-Le(X)2| 式常用公式D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E(X - E(X )(Y - E(Y)当 X、Y 相互独立时：D( X + Y) = D( X) + D(Y)方差的性质D(a)=0，其中a为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数 当 X、 Y 相互独立时， D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数ex - E(X亚-E(YE(XY) - E(X)E(Y)Cov (X, Y) = E (XY) - E (X) E (Y)Coi( X ,Y)p 二XY VD( X )D(Y)协方差的性质Cov(X, X)二 E(X2)-(E(X)二 D(X)Cov (aX, bY) = abCov (X, Y)Cov( X + Y, Z) = Cov( X, Z) + Cov(Y, Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立 第四章 正态分 布E(X)二 p, D(X) = 2 (a) = 1 (a)标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z < a) = P (Z < a) = O (a)P (Z > a) = P (Z > a) = 1 (a)P(a < Z < b)=(b) 一 (a)P(a < Z < a)-(a) - (a)二 2(a) -1 一般正态分布的概率计算X N (PQ 2) o Z - 一 N (0,1) o一般正态分布的概率计算公式a u,P(X < a) = P(X < a) = 0()o auP(X > a) = P(X > a) = 1 0()oP(a < X < b)=(上上)(匚)oo第五章卡方分布若XN(0,1),则艺X 2/2(n)ii=1若Y N(uQ2),X 2(n)o 2 ii=1t 分布若X N(0,1), Y x 2(n),则XvY7n t (n)若 U X 2(n ), V X 2(n ),12则便住F (n , n ) F分布V/n122正态总体条件下样本均值的分布：口 N(0,1) o / * n样本方差的分布：(n 1) S 2C 2X i 2(n 1)X R s /、.：n t(n 1)nL = 口 f (x ;0 )ii=1L = 口" p(x ；9 )ii=1似然函数两个正态总体的方差之比均值的区间估计大样本结果x 土 £I a 12麻丿x 样本均值c标准差（通常未知，可用样本标准差s代替）n样本容量（大样本要求n > 50）£正态分布的分位点a/2a/2Jp(l二 p)'Jn丿p 样本比例n 样本容量(大样本要求n > 50)z 正态分布的分位点/2小样本、正态总体、标准差b已知小样本、正态总体、标准差b未知X 土 t(n 1)a/2t(n -1)自由度为n -1的t分布的分位点a/2(n1)S 2 , (n1)S 2y 2y 2/ 21a / 2)S 2 样本方差y2 卡方分布的分位点 /2正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间(X1大样本或正态小样本且方差已知'、_)丄,'b2b2一 X 丿土 z+ T-2a/2l n nv 12丿两个正态总体方差比的置信区间S 2/S 2S 2/S 2112, 12.F （n 一 1, n 一 1） F （n 一 1, n 一 1）.' a/212a/212 丿第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原 假设。不可避免的两类错误第 1 类 （ 弃真 ） 错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类 （ 取伪 ） 错误：原假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形Z检验正态总体小样本、方差已知Z检验正态总体小样本、方差未知t检验 单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式H0 :巴H 1:巴双边检验(2) H : p'p H :卩卩0 0 1 0左边检验（3） H :H :0 0 1 0右边检验单正态总体均值的Z检验Z 二 Xoc 5（大样本情形&未知时用s代替）拒绝域 的代数表示Z ' 4/2双 边 检验左边检ZZ a验右边检Z - Z a验比例一一特殊的均值的Z检验p - pPc总体比例Z 00V'P0（1 - P0）/Jnp样本比例单正态总体均值的 t 检验tX -卩0.S 5单正态总体方差的卡方检验(n -1) S 2拒绝域双边检G 2X2 > X2 或 X2 < X2a/21a/2验X2 < X21a/2左 边 检 验X2 > X2a/2右边检 验i .F (n 1, n 1)C2 /C21212第六章 点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计