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1、1 2n12n1 2nAmn , m N *, m nn选修 2-3 定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 种1不同的方法，在第二类办法中有 m 种不同的方法，在第 n 类办法中有 m 种2 n不同的方法 那么完成这件事共有 N=m +m + +m 种不同的方法2.分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 种不同 的方法，做第二步有 m 种不同的方法，做第 n 步有 m 种不同的方法，那 么完成这件事有 N=m m m 种不同的方法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原
2、理的区别 :如果完成一件事，有 n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成 这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能 完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列 :从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.（1）排列数: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素的所有排列的个数.用符号 表示n（2）排列数公式: A mn=n ( n -1)( n -2) (n-m+1)用于计算，或 A m =nn! ( n -m )!( )用于证明。An
3、n= n! = n(n- 1 )L3 2 1=n(n-1)!规定 0！=15.组合：一般地，从 n 个不同元素中取出 m (mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n个不同元素中取出m (mn)个元素的所有组合的个数，用 C m 表示n（2）组合数公式:AmCm = nAmm=n(n -1)(n -2)L (n -m +1)m!用于计算，或 C m =nn! m!( n -m )!( n, m N*,且m n)用于证明。( )nn N *( )( )n（3）组合数的性质： Cmn=Cn -mn规定： C0n=1 ； Cmm +1 Cmn+ C
4、m -1n. C n -1 = C 1 = n C n= 1nnn6.二项式定理及其特例：（1）二项式定理a +b =C 0nan+C 1a n -1b +L +C ra n nn -rb r+L +Cnnbn( )展开式共有 n+1 项，其中各项的系数 C rnr 0,1,2,L , n 叫做二项式系数。（2）特例： (1 +x ) n =1 +C 1 x +L +C r x r +L +x n .n n7.二项展开式的通项公式： Tr +1= C r a n -rb r n（为展开式的第 r+1 项）8二项式系数的性质： （1）对称性：在 a + b展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项
5、式系数相等,即 C m =C n -m n n，直线r =n2是图象的对称轴（2 ）增减性与最大值：当 r n+12时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当 n 是偶数时，在中间一项Tn +22n的二项式系数 C 2 取得最大值；n当n是奇数时，在中间两项Tn +1，Tn +3的二项式系数Cn -12n，Cn +12n取得最大值2 29.各二项式系数和：（1）C 0n+C 1n+C 2n+L C nn=2 n，（2）C 0n+C 2n+C 4n+L = C 1 +C 3 +C 5 +L = 2n n nn -110.各项系数之和：（采用赋值法）例：求(
6、2x - 3 y)9的各项系数之和解：(2x - 3 y)9= a0x9+ a x18y + a x27y2+ L + a y 99令x= 1, y = 1 ，则有 (2x - 3 y )9= a + a + a + L + a = (2- 3)9= -10 1 2 9，故各项系数和为-11 2 ii1 2ini1 2n第二章 概率知识点：1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用 大写字母 X、Y 等或希腊字母、 等表示。1、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变
7、量X 所有可能的值能一 一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x ,x ,. ,x ,.,xnX 取每一个值 x 的概率 p ，p ,. , p ,., p ，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质 p 0, i =1，2， n； p + p +p = 1 5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为：其中 0p 0.9、相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。P(B|A )= P(B )10、n 次独立重复试验：在相同条
8、件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，一般 就称它为 n 次独立重复试验211、二项分布： 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数设为 X如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，事件 A 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中 ，事件 A恰好发生 k 次的概率是P ( X = k ) = C k p k q n - kn（其中 k=0,1, ,n）于是可得随机变量 X 的分布列如下：这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 二项分布，记作 XB(n，p) 。 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为则称E ( X ) = x p
9、 + x p + L + x p1 1 2 2 n n为离散型随机变量 X 的数学期望或均值（简称为期望）13、方差:D ( X ) = ( x - E ( X ) 2 p + ( x - E ( X ) 2 p + L + ( x - E ( X ) 2 p1 1 2 2 nn叫随机变量 X的方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：两点分布二项分布，X B（n,p）期望E ( X ) = pE ( X ) = np方差D ( X ) = pqD( X ) = npq超几何分布 N，M，n 15、正态分布：E ( X ) =nMN若正态变量概率密度曲线的函数表达式为f ( x ) =1
10、1 pse-( x -m2 s)2, x ( -, +)的图像，其中解析式中的实数 m、s是参数，且 s 0 ，m、s分别表示总体的期望与标准差期望为 m 与标准差为 s 的正态分布通常记作N (m,s2)，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。16、正态曲线基本性质：（1）曲线在 x 轴的上方，并且关于直线 x= m 对称（2）曲线在 x=m时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状（3）曲线的形状由s确定s越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；s越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中17、3 s 原则：容易推出 , 正变量在区间(m - 2s ,m + 2s )以外取值的概率只有 4.6%,在(m - 3s ,m + 3s )以外取值的概率只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说, 通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.P ( m - s , m + s ) = 68.3%P (P (m - 2s ,m - 3s ,m + 2s ) = 95.4%m + 3s ) = 99.7%
高中数学选修计数原理概率知识点总结
