艺术生高考数学专题讲义：考点13 导数与函数的单调性

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1、32x2x x222x3 2223 33 2xx艺考生高考数学专题讲义考点十三导数与函数的单调性 知识梳理1函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果 f(x)0，那么函数 yf(x)为该区间上的增函数；如果 f(x)0(或0 能推出 f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定如函数 f(x)x 在 R 上单调递增，但f(x)3x 0， 所以 f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要.(2)f(x)0(或0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)0 不恒成立)典例剖析题型一 利用导数证明函数的单调性1例 1 求证函数 yx

2、 在1, )内为增函数1 x 1解析 y1 当 x1 时，x 10，y0，1函数 yx 在1, )内为增函数变式训练 求证函数 yx x x 在 R 上是增函数1 2解析 y3x +2x1=3(x ) 显然对任意 xR，均有 y0，函数 yx x x 在 R 上是增函数题型二 求函数的单调区间ln xk例 2 已知函数 f(x) (k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点e(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1) 求 k 的值；(2) 求 f(x)的单调区间ln xk解析 (1)由 f(x) ，e高中数学xexxx4ln x24333222222x艺考生高考数学

3、专题讲义1kxxln x得 f(x) ，x(0，)，由于曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，所以 f(1)0，因此 k1.(2)由(1)得 f(x)1xe(1xxln x)，x(0，)，令 h(x)1xxln x，x(0，)，当 x(0,1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0，所以 x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0.因此 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)x变式训练 (1)函数 f(x) 的单调递减区间是_lnx(2) 已知函数 f(x)4xx ，xR，则 f(x)的单调递增区间为_ 答案 (1) (0,1)，(1，e)

4、 (2) (，1)解析 (1) f(x)lnx1 lnx10， ，令 f(x)0，得lnx0，0x1 或 1x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4) 解不等式 f(x)0 即 3x 30，解得 x1 或 x0，令 e a0，则 e a，xln a.因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为 R，当 a0 时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)f(x)e a0 在(2,3)上恒成立ae在 x(2,3)上恒成立e2exe3，只需 ae .当 ae 时，f(x)e e 0(或0 在 ， 上有解，即x x2a0，2ax x，2 2 1令 g(x)x x，g(x)g .即 a .9 91a

5、的取值范围为 ， .变式训练 已知函数 f(x)2x axln x 在其定义域上不单调，求实数 a 的取值范围 解析 函数 f(x)的定义域为(0，)，1 1因为 f(x)2x axln x，所以 f(x)4xa (4x ax1)由函数 f(x)在区间(0，)上不单调可知，f(x)0 有两个正解，即 4x ax10 有两个 正解，设为 x ，x .1 2高中数学2axxxx2x x 2 2 2 22 2xxxx艺考生高考数学专题讲义（a） 4410， x x 0，故有 1 2 4 1x x 0，1 2 4解得 a4.所以实数 a 的取值范围为(4，)解题要点 函数在区间 D 上存在单调递增区间

6、，即在区间 D 上 f(x) 0 能成立，分离变量后可求参数范围.需注意，af(x)能成立，只需 af(x) ，af(x)能成立，则 a0 得 x2.2函数 f(x)x 2ln x 的单调减区间是_答案 (0,1)2 2(x1)(x1)解析 f(x)2x (x0)当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 3. 若函数 ycos xax 在 ， 上是增函数，则实数 a 的取值范围是_答案 1，) 解析 ysin xa，若函数在 ， 上是增函数，则 asin x 在 ， 上恒成立，所 以 a1，即实数 a 的取值范围是1，)4函数 f(x)1xsin x 在(0，2)上的单调情况是_答案

7、单调递增解析 在(0，2)上有 f(x)1cos x0，所以 f(x)在(0，2)上单调递增5函数 f(x)e x 的单调递增区间是_答案 (0，)解析 f(x)e x，f(x)e 1，由 f(x)0，得 e 10，即 x0.课后作业高中数学222 xx2xx222 xx x3222322艺考生高考数学专题讲义一、 填空题1函数 yx (x3)的单调递减区间是_答案 (0,2)解析 y3x6x，由 y0，得 0x2.2函数 y(3x )e 的单调递增区间是_ 答案 (3,1)解析 y2xe (3x)ee(x2x3)，由 y0x 2x303x0，故单调增区间是(0，)x4函数 f(x)=xln

8、x，则_在(0，+)上是增加的 在(0，+)上是减少的在(0，答案 1 1 )上是增加的 在(0，e e)上是减少的解析 因为函数 f(x)=xln x，所以 f(x)=ln x+1，f(x)0，解得 x1e，则函数的单调增区间为(1 1 1,+)，又 f(x)0，解得 0x ，则函数的单调减区间为(0, )，故选. e e e5函数 f(x)xln x 的单调递减区间为_答案 (0,1)1 x1解析 函数的定义域是(0，)，且 f(x)1 ，令 f(x)0，解得 0x1，所以单 调递减区间是(0,1)16已知函数 f(x) x ax4，则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的_条件答案

9、充分不必要3解析 f(x) x a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不 必要条件7若函数 ya(x x)的单调递减区间为( 答案 a03 3， )，则实数 a 的取值范围是_ 3 3解析 ya(3x1)，解 3x 10，得3 3x .3 3高中数学3322ln x232223 2222443f(x)x x 在(艺考生高考数学专题讲义3 3， )上为减函数3 3又 ya(x x)的单调递减区间为(3 3， )，3 3a0.18设函数 f(x) x 9lnx 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范围是_2答案 10)，当 x 0 时，有

10、00，a13，解得 1a2.x9函数 f(x) 的单调递减区间是_lnx答案 (0,1)，(1，e)lnx1 lnx10，解析 f(x) ，令 f(x)0，得 0x1 或 1xe，故函数的单调递减区lnx0，间是(0,1)和(1，e)10若函数 f(x)xax2 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_答案 3，)解析 f(x)3x a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则 f(x)3xa0 在(1，)上恒成立，即 a3x 在(1，)上恒成立a3.111已知函数 y x bx (2b3)x2b 在 R 上不是单调减函数，则 b 的取值范围是3_答案 b3解析 yx 2bx(2b3)，要

11、使原函数在 R 上单调递减，应有 y0 恒成立， 4b 4(2b3)4(b 2b3)0，1b3，故使该函数在 R 上不是单调减函数的 b 的取值范围是 b3. 二、解答题12(2015 天津文节选)已知函数 f(x)4xx ，xR.求 f(x)的单调区间；解析 由 f(x)4xx ，可得 f(x)44x.当 f(x)0，即 x1 时，函数 f(x)单调递增；当 f(x)0，即 x1 时，函数 f(x)单调递减所以，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)113已知函数 f(x) ln x，求函数 f(x)的极值和单调区间x高中数学22艺考生高考数学专题讲义 1 1 x1解析 因为 f(x) ，x x x令 f(x)0，得 x1，又 f(x)的定义域为(0，)， f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(0,1) 1 (1，)f(x)f(x)0极小值所以 x1 时，f(x)的极小值为 1. f(x)的单调递增区间为(1，)， 单调递减区间为(0,1)高中数学