不定积分的常用求法

《不定积分的常用求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定积分的常用求法（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、不定积分的常用求法工程学院11设计（3）班张莹20114024334摘要微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之 一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微 积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积 以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求 不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且 基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。目录:一，前言。4二，不定积分基本原理6（一）原函数与不定

2、积分6（二）不定积分的基本性质6（三）基本积分公式6三、不定积分求法的具体运用7（一）利用不定积分的定义来求不定积分。7（二）直接积分法求不定积分。7（三）第一类换元积分法（凑微分法）8（四）第二类换元积分法91,三角代换102，倒代法103,去根号法11（五），分部积分法12四、总结13五、参考文献14* r 1、刖言微积分是高等数学的一个主要内容，不定积分是微积分的重要部分，首先向 大家阐述微积分的时代背景及其创立原因。1.1、微积分的时代背景微积分是微分学和积分学的简称。微积分的创立是数学史上最重要的事件之 一。其基本思想源于古希腊的求积术，但直接原因是17世纪的科技问题。下面是 当时有

3、关微积分创作的研究项目。(1) 运动问题。已知物体移动的位置关于时间的函数关系式，求物体在任 意时刻的速度或加速度；反之，已知物体的加速度关于时间的函数关系式，求任 意时刻的速度与距离。因运动物体的速度与加速度时刻都在变化，瞬时速度的求 法超出了常规数学的范围。抛射体&行星的运动都属于此列。(2) 切线问题。17世纪许多数学家参与了透镜的设计。要研究光线通过透 镜后的通道，必须知道射线射入透镜的角度，以便应用光的反射定律，这就需要 求出光线在入射点的法线或切线。同时，运动物体在它的轨迹上任意一点处的运 动方向都是轨迹的切线方向。在当时，切线的定义与求法也都没有出现，对于复 杂曲线求切线更是无从

4、下手。(3) 极值问题。即求函数的最大值与最小值。例如求炮弹能获得最大射程 的发射角，求行星离开太阳的最远距离等。17世纪初已有一些实际推测，但缺乏 理论上严谨的证明。(4) 求积问题。包括求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积， 物体的重心等，这些问题的研究都对科技的发展有重要的意义。穷竭法只对一些 简单的面积和体积有效，但它却是微积分的萌芽，给了数学家创作微积分的灵感。1.2、微积分的早期工作在数学史上，积分概念先于微分概念产生，积分是与某些面积、体积和弧长 相联系的求和过程中发展起来的。后来数学家们对曲线作切线问题和函数的极大 值、极小值问题的研究产生了微分。再往后人们才注意到：积

5、分和微分彼此为逆 运算而相互关联。(1) 极限概念。它是整个微积分学的基础。芝诺悖论就涉及极限的问题， 例如二分说，追龟论等，穷竭法也使用了极限概念。(2) 穷竭法。最早，古希腊人在研究化圆为方时，提出一种将圆内接正多 边形边数不断加倍逼近圆周的方法，后人认为这是穷竭法的最早形式。当多边形 的边数不断加倍时，圆内接正多边形与圆周之间存在着空隙逐渐被“穷竭”了。 公元前4世纪，就出现了 “欧多克索斯原理”：设给定两个不相等的量，如果从 其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量中减去比这余量的一半大的 量，继续重复这一过程，必有某个余量将小于给定的较小的量。他利用这一原 理建立建立了完善的穷

6、竭法，求出了棱锥体积和圆锥体积。后来，穷竭法被欧几 里得收入几何原本中，成为几何证明得一种方法。（3）不可分原理。1635年，意大利数学家卡瓦列里建立了不可分原理。原 理为：“两同高得立体，若在等高处的截面积恒相等，则它们的体积相等；如果 截面积成定比，则它们的体积之比等于截面积之比。”基于此理论上，他用巧妙 的几何方法求出若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积及体积公式等， 极大程度上启发了微积分的创立。（4）切线求法。1637年法国费马给出一种求切线的方法，与现代方法基本 一致。费马还在文中讲述了求最大值和最小值的方法，确立了多项式方程代表的 曲线上的极大点、极小点和拐点。他还将这一方

7、法用在了如物体的重心、曲线的 长度及旋转面的面积等各类问题的求法，并应用于光学问题研究，其工作被认为 是“微积分新计算的第一发明人”。1670年，英国数学家巴罗应用几何方法对曲 线进行计算，在求切线时提出了 “微分三角形”概念。巴罗还使用了与费马同样 的方法求曲线的切线，并且可能当时认识到了微分法是积分法的逆运算，是第一 个如此认为的数学家。1.3、微积分的创立后来微积分的大量知识积累起来，但这些知识往往沉湎于细节，而且多用几 何方法寻求严密的推理，忽略了新发展的解析几何。英国的牛顿和德国的莱布尼 茨最终完成了微积分的创造，历时上对于谁先创造了微积分还有很大的争议，后 来数学史统一认为两位数学

8、家都死微积分的创作者。（1）牛顿。据牛顿自述，他于1665年发明正流数术（即微分法），1666年 建立反流数术（即积分法），1666年写出第一篇微积分论文流数简述，其中 以速度形式引进了流数，使用无穷小瞬概念，建立了 “微积分基本定理”，并讨 论了正、反微分运算的各种应用。但到了 1687年，牛顿的自然哲学之数学原理 在伦敦出版，这才是他第一次公开表述了微积分方法。（2）莱布尼茨。1673年阐述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通过 积分变换，得到平面曲线的面积公式。1675年10月，他使用了不定积分符号，用 不定积分表示面积，还得到分部积分公式。1675-1676年他得到微积分基本定理，

9、后来后来这一原理被称为“牛顿一莱布尼茨公式”。1677年他明确定义了 dy为 函数的微分，给出了 dy的演算规则。1684年，莱布尼茨发表第一篇微积分论文。二、不定积分的基本原理21原函数与不定积分2.11.定义1设函数y = f(x)在区间I有定义，若F (x) = f (x), xe I ,则称F(x)是f(x)在I的一个原函数.定义2设F(x)是/(x)在I的一个原函数，则称F(x) + c为的f (x)不定积分，记作f (x)dx = F(x) + c2.1.2不定积分的几何意义：函数f(x)的原函数图形成为f(x)的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲线，f(x) 为积分曲线的斜率。2.

10、 2.不定积分的基本性质221.222.2.2.3.af (x) + B g(x)dx = a f (x)dx + Bf (x)dx= f (x), d f (x)dx 二 f (x)F(x)dx 二 F(x) + c, dF(x)二 F(x) + cfg(x)dx2.3基本积分公式2.3.1. 0dx = c; J kdx = kx + C2.3.2. J xudxu 丰1;u + 1J udv = J d (uv) - J vdu = uv - J vdu2.3.3 J dx = In x + C ;xff2.3.4. sin xdx = cos x + c； cos xdx = sin

11、x + c；2.3.5. J -dx = arctan x + C1 + X22.3.6. J1dx = arcsin x + Cv 1 x212.3.7. dx = tan x + C cos 2 x2.3.8. J 1 dx = cot x + Csin 2 x2.3.9. Jexdx = ex + C2.3.10. J axdx =+ CIn a三、不定积分求法的运用3.1利用不定积分的定义来求不定积分。具备知识：定义，设F (x)是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数成为f(x)的不 定积分，记做J f (x)dx，即J f (x)dx =F (x)+C (C为常数).例题

12、：2 x3.1.1，求不定积分Jdx2 + x 22 x解：因为 dln(2 + x2)=亠x 2 + 2所以 J 2x dx =ln(2+ x2)+C.2 + x2由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系:J dF (x) = J f (x)dx - F (x) + C可以利用这些关系和不定积分的求法来求不定积分。注意：利用不定积分的定义来求不定积分关键在于能够找到f(x)的一个原函数。 3.2直接积分法求不定积分。具备知识：直接积分法求不定积分是经过适当的恒等变行，将被积函数化为基本 积分公式中的几个被积函数的代数和，再利用基本积分公式和性质来求不定积分 的方法。例题：3.2.1，求不

13、定积分J (2e x 一 3cos x) dx解:原式=J2exdx一J 3 cos xdx -2 J exdx - 3 Jcos xdx - 2ex 一 3sin x + C3.2.2,J 求不定积分J(x 一 1)3dx解：原式-J x 3 一 3 x 2 + 3x 一 1 dx-J (x - 3 + 3 -丄)dxx 2x x 21 1x2 3x + 3ln Ixl + + C21 1 x3.2.3，求不定积分J1 dxsin2 xcos2 x解：原式sin2 x + cos2 x 7dxsin2 x x cos2 xJ (丄C0S2 x)dx sin2 xJ (sec2 x + csc

14、2 x )dxJ sec2xdx +J csc2 xdx=tan x cot x + C注意：利用直接积分法的关键在于将被积函数恒等化为基本积分公式中的几个被 积函数的代数和，要注意的是在恒等变化时不要犯错，以及基本积分公式要牢记, 不要犯错。3.3第一类换元积分法(凑微分法) 预备知识：定理：(第一换元法) 设g(u)的原函数F (u),u二屮(x)可导，则有换元公式J g屮(x)屮(x)dx = J g (u )du = F (u) + C = F屮(x) + C例题:3.3.1, 求不定积分Jsin x dx1 + COS2 x解：因为 sinxdx二-dcosx,所以原式二-J1d (

15、cos x) = J 1 du1 + cos2 x1 + u2(令 u=cosx)=一 arctan u + C(将u=cosx代回) =arctan(cos x) + C3.3.2，求不定积分J1 -(1 + 2ln x)1 1解：被积函数可分解为和-11 + 2ln x|1 + 2 In x2所以 J1dx = - J 1 + 山片 dxx(1 + 2ln x)2 1 + 2ln x1 f1=Jd (1 + 2ln x)2 1 + 2ln x1=qln|1 + 2ln x| + C3.3.3，求不定积分j sin2x cos5 xdx解：原式二j sin 2x cos4 xd (sin x

16、)=j sin 2x(1 一 sin 2 x)2 d (sin x)=j (sin2x - 2sin 4 x + sin6 x)d(sin x)121二一sin3 x 一sin5 x + sin7 x + C3 57(当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分)3.3.4求不定积分j cos2 xdx解：j cos2 xdx1 + cos 2x ,=dx2=-2( j dx + j cos 2 xdx)=1 j dx + 1 j cos 2 xd (2 x)24(当被积函数是三角函数的偶次幕时，常用半角公式降低幕次得方法计算) 注意：凑微分法就是把被积式子中的某一部分看成一个整体，而把被

17、积式子凑成 关于这个整体的积分公式。注：常见的凑微分jf (cos X)sin xdx = jf (cos x) d cos xjf (sin x) cos xdx = / f (sin x) d sin x3.4第二类换元积分法 预备知识：定理：(第二类换元法) 设x=屮(t)是单调，可导函数，且屮(x)丰0，又设f 屮(t)屮(t)具有原函数F(t),则 j f (x)dx = j f 屮(t)屮(t) dt、=F (t) + C = F (x) + C其中(x)是x+屮(t)的反函数。 第二类换元法常用的换元技巧如下:1, 三角代换；2, 倒代法;3, 去根号法。我们将在下面搭配着例题详

18、细介绍这几种常用的换元技巧。3.4.1, 三角代换。以三角式换去消去二次根式，一般这种方法称为三角代换法。 一般的，根据被积函数的根式类型，常用的变换如下：（1）被积函数中含有：a 2 - x 2，令x二asint或x=acos t;（2）被积函数中含有*x2 + a2，令x=atant或x=acott;（3） 被积函数中含有-a2，令x=asect或x=acsct例题：1，求不定积分J f丄dx x2 a2解：令 x=asect，dx二asect x tan tdt,ivx 2 a 2 二 a tan t ;所以原式_ J a sec t tan tdta tan t_ J sec tdt=

19、ln|sec t + tan t + C 回代 sect,tant,得Jdx: x 2 a 2_ ln x +Ux 2 a 2 + C i(C _ C ln a)i1，从而t3.4.2，倒代法。对于某些被积函数，若分母中含有xn因子时，可做倒代换，即令：x可得出积分。一般在当有理分式函数中分母的阶数较高时常使用。 例题1，求不定积分Jdxx( x 7 + 2)11解：令 x _ ，则 dx _ dt t12所以原式)dt12_ dt1 + 2t 7=-丄 J - d (2t 7)14 1 + 2t 7=ln1 + 2t 7 + C14ln x7 + 2 + ln x| + C1413.4.3,

20、 去根号法。(1) 当被积函数中仅有一种简单根式时，可以令t等于该根式进行代换。 根式有理化是化简不定积分的常用方法。例题：1,求不定积分dxx + Jx解：令t二、:x ,即做变量代换x = 12，从而dx - 2tdt ；所以J dx x + yjx=J2tdtt2 + t=2Jdtt +1=2ln |t +1| + C=2lnG，x+1) + C2,求不定积分J * x sin Jxdx解;令t二yx ,即做变量代换x = 12，从而dx = 2tdt ； 所以 J x sin fxdx=Jt (sin t )2tdt=2 J12 sin tdt=-2J12 d (cos t)=-2(t

21、 2 cos t -J 2t cos tdt)=-2t 2 cos t + 4t sin t + 4 cos t + c=(4 - 2x) cos v. x + 4、x sin、； x + c(2)当被积函数中含有max + b与nax + b时，可令t= kax + b ；其中k为m,n 的最小公倍数。注意：第二类换元积分法的关键在于恰当的选取积分变量x作为新积分变量t 的一个函数，并且具有反函数。3.5. 分步积分法 预备知识：定理：设函数u = u(x), v = v(x)均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得：d (uv) = udv + vdu或者 udv = d(uv) 一

22、 vdu ；两边积分得:J udv =J d (uv) - Jvdu=uv -J vdu称这个公式为分步积分公式。 例题：1, 求不定积分J tetdt解：令 t = u,et = v， 那么J tetdt=J td (et)J udv =uv -J vduJ etdt=tet - et + C2,求不定积分Jarc tan xdx解：利用分部积分法。有J arc tan xdx1 + x 2=x arctan x -=x arctan x -=x arctan x - ln( x 2 +1) + C注意：1, v要容易求得。2, J vdu要比Judv容易积出。3, 如果被积函数是幕函数和正

23、（余）弦函数或者幕函数与指数函数的乘积，可 以考虑分部积分法，并设幕函数为u这样用一次分部积分就可以使得幕函数的 幕次降低一次。4如果被积函数是幕函数和对数函数或者幕函数和反三角函数的乘积，可以考 虑用分部积分法，并设对数函数或者反三角函数为u.四、总结不定积分是微积分中重要的部分，不定积分的概念，性质，求法，以及应 用在数学分析中有着至关重要的位置，也是微积分中的基础部分，所以掌握不定 积分的求法是学习微积分的基础，不定积分的求法很多种，这里主要讲了利用定 义求法、直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分步积分法五种 最基本的方法，也是最常用的方法，遇到不定积分的题目时，应当先分析

24、题目结 构，然后选择最方便求解的方法。本文的写作目的在于让大家了解积分的基本知识，认识到积分的学习不难， 只要细心总结，认真学习基本知识，那么不定积分的求法就可以深刻的掌握，对 高等数学可以从容应对。在这篇论文的写作过程中，我感受到了知识的丢失和自己知识面的不足，不 能系统全面得总结不定积分的知识。同时认识到即使是旧知识，只要细心总结， 认真思考，都会有所收获，积分知识关键在于学习。由于时间以及个人的一些原因。本论文未能对不定积分的求法作深入的探 讨，只考察了不定积分的基本性质和不定积分求法的五种方法，而且讨论主要介 绍了计算方法的原理和简单实例，而且讨论较为粗浅。事实上，积分是高等数学 必须掌握的基础知识，在现代科技中有大量的应用。也是深入研究数学的基础。 掌握不定积分的求法，对我们的工作和继续教育有重要意义。参考文献1 复旦大学数学系欧阳光数学分析（下）高等教育出版社.2006, 8.2 刘亚婷.求不定积分的几种方法.科教文化.13.3 高职数学中不定积分的几种求法及相应题型教育战线.124 有理函数的不定积分的求法.湖南科技学院学报.155 崔玮.浅谈高等数学中不定积分的求法.科技信息.2010, 11.12