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1、利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题圆文谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：，性质1变换后共线三点单比不变(即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样);，性质2变换后保持同素性和接合性(即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切)；，性质3变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。例1(2008年全国卷II第22题)设椭圆中心在坐
2、标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点若ED6DF，求k的值；求四边形AEBF面积的最大值。分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A、B、D、E、F，线段EF恰为圆的直径，根据性质1，D分线段EF的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得D点的坐标，再反求出D点坐标，从而很容易求出k值；利用性质3,可以求得四边形AEBF与四边形AEBF的面积关系，由于四边形AEBF面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF面积的最大值。解：依题设得椭圆的方
3、程为X2+y2i4作仿射变换，令x=x，y=y，贝ij得仿射坐标系xOy，在此坐标系2中,上述椭圆变换为圆x2+y2=1，点A、B、D、E、F分别变换为点A、B、D、E、F，且EF为圆的直径，EF=2，A(1,0)，B(0,1)根据性质1V环=6DFVEDDF=ADDB=27DBDB=D(43)或D(34)77ED=6DFED=12DF=Z4或3AD=DB或AD=DB4由定比分点公式可得:777D点坐标为(83)或(64).k=3或k=2777783设四边形AEBF的面积为S，四边形AEBF的面积为S，EF与AB的夹角为，则S=EF-AB.sine=“2sin002(当=匹时取“二”号,22此
4、时F(叵叵)22由于椭圆的面积为nab=2n，圆的面积为nr2=n根据性质3有A=S，故S=2S2冗冗SW疵当且仅当F坐标为(空2乜)，即k=1时取“二”号222说明：由上述证明过程可知，当D为AB中点是时四边形AEBF的面积取到最大值，根据性质1，当D为AB中点时四边形AEBF的面积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得。例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0小2）且斜率为k的直线I与椭圆X2+y21有两个不同2的交点P和Q求k的取值范围；设椭圆与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为是A、B,是否存常数k,使得向量
5、OP+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直线的距离与半径的关系来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式使计算量大大降低。而在第问当中，若OP+OQ=OM，根据向量加法的几何意义则OM与PQ互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM变换为OM，PQ变换为PQ，根据性质1，OM与PQ也互相平分，又由于OM过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理判断出OM与PQ垂直，这将有助于问题的简化。解：（1）作仿射变换，令X二，y=y，则得仿射坐标系xOy，在2此坐标系中，上述椭圆变换为圆x2
6、+y2=1，直线I：y二kx+运变换为直线I：y=2kx+込，即込kx-y+、2=0根据性质2可知：直线I与圆x2+y2=1的交点有两个Bvik21k2或k丄或kb0)与过工点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=2求椭圆的方程；设FfF2分别为椭圆的焦点，M为线段AF2的中点，求证：ZATM=ZAF1T分析：本题第问从结论分析只需证厶MATSTAF,这需借助于对应边成比例，由于线段AM与AF1的长度均较易求出，因此求出线段AT的长度就尤其重要，在椭圆中线段AT的长度较难求出，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆,AB变为圆的切线AB，切点T变为T，借助圆的切线与
7、过切点的半径垂直这一性质，求出线段AT与线段AB的比值将不是难事，根据性质1,此比值即线段AT与线段AB的比值，从而可以较为轻松地求出线段AT的长度。解：（1）作仿射变换，令x二兰，y=y，则得仿射坐标系x0y，在ab此坐标系中，上述椭圆变换为圆x2+y2=1,直线AB：x+y=1变换为直2线AB：ax+by=12根据性质2,直线AB与圆相切一1=1.a2+4b2=4：（a）2+b22a2=2b2=l2椭圆的方程为X!+2y2“2可求得C二62如进行仿射变换，点T变换为点T,可得A的坐标为（込,0）,B的坐标为（0,占），所以|OA|=|OB|,由于直线AB与圆O相切于点T,所以OT丄AB,因
8、此T为线段AB的中点，根据性质1,T也必为线段AB的中点|AB|5|AT|=1!2又|AM|=1(|OA|-|OFJ)=1-21|AF1|=|OA|+|OF1|=26242|AM|AF1|=(16)(26)=212-6)2=5=5)2=|AT|2映42442又MAT=ZTAF1.MATTAF1-ZATM=ZAF1T说明：本题第问标准答案给出的证法是先求出T点坐标，再利用T点坐标去计算ZATM与ZAF1T的正切值，其中还使用了两角差的正切公式，运算量很大，但如本法，由仿射变换很容易就发现T是线段AB的中点，从而很容易地计算出了线段AT的长度，为利用相似证明两角相等奠定了基础，整个证法运算量少。另外，其中映及其之前的部分，也是对当年浙江省高考文科第19题的解答，也比标准答案中的解答简练。参考文献：程超，徐汉文，摭谈仿射变换的应用一一从一道高考题说起，数学通讯，2009，11（下半月）
利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题
