地球物理地震正演模拟方法

正演方法 河南理工大学资源与环境学院云美厚地球物理学的问题正演问题反演问题按事物一般原理（或模型）及相关的条件（初始条件、边界条件）来预测事物的结果（可由观测可得据地球物理场的实际观测值（有时也用理论计算值）定量或定性解释推断地球内部结构（地质体形态和岩层物性）。基础目的应用地球物理学的基本方程式阻尼标量波动方程式中，u表示地球物理场的一种，如声场电磁场的某一分量等；f(x,t)为源函数；x为空间的一个点；t为时间；系数h和g对不同场有不同的物理意义。位场：位场：在场源外区域满足拉普拉斯方程的物理场称为，如重力场、磁场和稳定电流场波场：波场：在场源外区域满足波动方程或扩散方程的物理场，如电磁场、弹性波场选择计算方法，编制计算程序，进行数值计算。数学模拟方法求解地球物理正演问题的一般步骤：第一步，地质建模：据研究对象和问题建立地球模型或地质结构模型；第二步，数学建模：据使用的物理手段和地球模型建立相应的数学模型；第三步，模拟计算：求解正演问题地球物理模拟物理模拟相似原理投资大，选材难，结果真实，数学 模拟法解析方法最简捷方便，仅适用少数简单模型数值 模拟法 正演主要工具效率高，机时少，周期短，费用低。概念：将描述各种地球物理场的方程或表达式及初、边值条件通过数值方法求出它们的数值解。模型应能够反映主要地质构造和岩石、矿物特征，具有代表性或普遍性（共性）、针对性（目的性）、特殊性（特殊问题）模型不宜太复杂，否则无法建立相应的数学模型；或者计算结果太复杂，难以分析、辨认地质特征与地球物理场特征之间的联系。地球模型建立的要求：常用数值常用数值计算方法计算方法 有限差分法有限元法积分方程法快速离散傅里叶变换法拟谱法（伪、虚）谱法射线追踪法计算速度快边界刻化好涉及较复杂的数学推导，仅需在异常区求出未知场，经济，易于处理三维模拟问题F域计算易刻化运动学特性微分方程法，适于模拟复杂的地质情况 用离散傅立叶变换求空间导数，可在大空间网格上得到精确波场值基本原理：差分原理。即，用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数（微商），把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程。然后，解出差分方程组(线性代数方程组)在各离散点上的函数值，便得到边值问题的数值解。一、有限差分法一、有限差分法一般步骤：一般步骤：（1）区域离散化网格剖分：确立合适网格步长，边界节点定位 步长选择很重要决定计算精度、速度（2）微分方程离散化构建差分方程 边界条件离散化构建边界条件差分方程 初始条件离散化构建初始条件差分方程（4）线性方程组形成与求解位场计算举例：位场计算举例：1、位场所满足的方程有源无源模拟二维地电断面电场式中，u表示电位，f表示源项。2、区域网格剖分 内节点 边界节点 3、微分方程离散化，构组差分方程i,ki+1,ki-1,ki,k-1i,k+1kiux,uxx,和uz，uzz，分别表示u对x和z的一阶、二阶导数等含源分区均匀岩石中位函数二维差分方程无源分区均匀岩石中位函数二维差分方程4、线性方程组的形成与求解式中A是方程组的系数矩阵。其与物性参数(如电阻率)分布有关；u是电位u的列向量，其分量为所有节点上的电位；F是常向量。当给定电阻率分布（空间分布，模型结构）及边界条件后，解线性方程式便可求得电位的空间分布计算精度：主要决定于步长h。一般说来，网格划分越细，即h值越小，计算值与理论值越接近。矛盾：减小步长h将成倍增加计算节点数目，增加计算机内存需求和计算时间。降低了效率，增加了费用解决计算速度与精度矛盾的较好方法：采用变步长，即在近区将网格分得密些，远区影响较小，可分得稀些。弹性波场计算举例 1、反射地震中波传播方程在各向同性均匀介质、平面波入射假设条件下，标量波动方程密度不均匀介质弹性波标量波动方程激发问题传播问题在二维情况下，（自由表面）边界条件 初始条件zz|z=0=ux=0，zx|z=0=uz=0采用正方形网格元进行网格划分，步长h；m，n为当前网格节点的横向及垂向编号;l时间取样号2、区域离散化利用差分方程式，由上至下，由左至右并随时标l增加计算空间任一点(m，n)的波场um，n，l+1便得到波传播图像，um，0，l是地面直达波和反射波场的合成记录。差分方程式 (1)时间取样率t(t=lt)满足th/c (2)震源信号的主周期T10h/c，否则有严重的频散。(3)由于地下介质无限，而计算网格有限，计算网格的边界必须是吸收边界。(4)震源必须作专门处理，即在源点加入f(t)信号。有限差分计算必须满足的条件如下：有限差分计算的优点与不足：优点：简明快速不足：边界刻划能力弱。因只能使用矩形网格，对复杂的地质构造不能准确地模拟，如，反射地震中常见的倾斜界面、电法勘探中的局部不规则电性不均匀体等。基本方程式的有限差分格式基本方程式的有限差分格式（2D）地质模型有限差分波动方程模拟结果演示实例有限差分波动方程模拟结果演示实例炮集炮集1 1 快快 照照1234567蝴蝶结蝴蝶结模型边界产生的模型边界产生的假象假象山顶激发波动方程正演模拟记录炮集炮集2 2 快照快照1234567蝴蝶结蝴蝶结山谷激发波动方程正演模拟记录二、有限单元法二、有限单元法 突出优点：界面刻画能力强。对与复杂介质结构有关的偏微分方程边值问题的数值计算适应性强。其一般只对基本方程中的空间微分算子作逼近，而与时间微分有关的计算仍然多采用有限差分法。基本原理：变分原理或最小势能原理 认为：对与势场能量有关的泛函极小化等效于直接解相应的场的方程对Laplace方程势场能量表达式*满足Laplace方程的势场，同时也是满足势场能量F(u)取极小的场。有限差分法采用了直接解方程的办法，有限元法采用了F(u)极小化逼近势场常用微分方程及其泛函Poisson方程：泛函：非其次Helmhotz方程：泛函：标量波动方程：泛函：频域电磁波似稳电磁场方程：泛函：1、介质剖分采用单纯形单剖分元所谓单纯形，在平面上为三角形，三维空间为四面体 由于三角元以公共边界及顶点连接成网，势的分布在穿过单元时保持连续。有限元法解二维Laplace方程举例 2、将势场u展成某种简单函数和系数的线性组合假定，单元内势可用线性(一阶)方程表示，有 V=a+bx+cy沿三角元边缘势V可以由相应两角点势值线性内插而来，如果两个三角元共用一条边，则位势在跨单元时保持连续。为求各系数，设三个顶点上势为V1，V2，V3 用Cramer准则解线性方程组，求得系数a,b,c的表达式。代回原方程可得三角元内任一点位势的一阶近似式 三角元内任一点位势的一阶近似式系数为 A为三角元的面积，且有3、单个元内位势能写成矩阵形式有 至此，对单个元的近似已经完成 4、三角元连接组合求取总势能整个区域的势能为单个三角元势能之总和。根据最小势能准则，使整个研究区域势能极小化，就是使所有三角元组合后的势能极小化两个元组合方法：设一对元在连接前的顶点位势可写成以下列向量下角标dis表示组合前不连接的三角元。对应这两个元的未组合能量写为矩阵 未组合能量两个三角元连接前、后满足以下关系 下角标con注记已联接，对应连接后的总能量变为 连续近似的势能分布被表示为与元顶点位势向量有关的二次型 5、方程求解计算记k为网格节点(连接后多个三角形的顶点)的编号，则 Laplace方程的有限元近似解要将连接网中的势能极小化。变成了求极值问题则势能极小化为 求边值问题，研究区域边界上位势(或其导数)是已知的（边界条件）。在对网格节点编号时先编区域内部的号，后对边界点编号，分区处理可简化方程，以下角标f表示区域内节点，下角标p表示边界上节点整理得解线性矩阵方程式，求取研究区域内各节点的位势Vf，有唯一解。其精度取决于三角元的尺度 三、积分方程法三、积分方程法不足：积分方程方法涉及较复杂的数学推导优点：仅需在异常区求出未知场 模拟一个或少数几个小异常体的响应时，该方法比较经济 多用于3D数值模拟12(r)Vr表示矢径 假设大地电磁场的源是来自高空的垂直入射到地面的平面电磁波，则频域中无源麦克斯韦方程组 表示地下任一点处的实际电导率值，且有=1，异常体外2，异常体内总场定义：二次场为实测场（总场）与一次场之差，并用上角标s表示 定义：一次场一次场为均匀地球场，并以上角标p表示，则一次场也满足无源麦克斯韦方程组，有 一次场方程组可求解其是电导率为1的均匀介质内的场整理得二次场方程二次场方程组可转换成积分方程，求解 是散射电流，仅在异常体中才存在 表明：二次场可以认为是由异常体中的散射电流Js引起的。建立二次场方程的积分方程二次电场可通过将散射电流源Js乘以适当的并矢格林函数G(r，r/)，并对异常体所占的体积做积分而得，如假设异常体内的电导率为常数2，则可得到实测电场表达式为上式是一非齐次的第二类矢量弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程式 并矢格林函数g是对应全空间的标量格林函数 P/(x,y,-z)P(x,y,z)Q(x,y,z)rr数值积分，求解将异常体剖分成N个线性尺寸为的立方体单元并假设在每个单元内电场是常数，则积分可用求和式来逼近，再经一系列推导得到分块矩阵方程式 矩阵M的每个元素本身就是一个3X3阶矩阵：mn是相对有限单元体积电流的并矢格林函数 解方程，求出异常体内内每个单元中心处的电场值之后，再加上一次场值可求得异常体外外任一点处的电场。对总电场方程应用法拉第定律，可计算任意点的磁场H(r)物理模拟方法物理模拟方法 基本原理：相似原理方法：按比例复制地质模型(通常比例尺为1:100和1:100万之间)；模型的物性参数一 般也应按一定的比例改变；观测装置要微型化。缩小模型响应能代表野外实际模型响应模拟准则：使实际模型场与模拟场具有相同的幅值和规律一、电磁场物理模拟的基本原理 1频率域电磁场的模拟准则 野外条件下地电体参数方程模型条件下地电体参数方程室内模型模拟系统尺寸与野外比例关系为1/l几何结构比例尺 将比例关系代入野外方程得模型参数描述的野外方程 按照模拟准则，要使模拟结果与实际一致，野外和模型磁场满足的波动方程应完全相同，对比可以写出 模拟准则参数比例尺上式两边为响应参数k2r2，亦称综合参数,右端=1，表明：具有相同综合参数的每个系统必定产生相同的电磁响应，与、及l的具体数值无关。因此，模拟准则简化为 2时间域电磁场的模拟准则3模拟模型的种类-4种导电性溶液 或固体作为均匀介质导电性更好的覆盖 目标体目标体目标体目标体4、物理模报实验装置 5模型材料 超声波模拟 几何相似性 L为几何尺度，为波长 物理相似性 速度比和密度比相似 纵、横波速度比的相似性 谢谢大家！模型应能够反映主要地质构造和岩石、矿物特征，具有代表性或普遍性（共性）、针对性（目的性）、特殊性（特殊问题）模型不宜太复杂，否则无法建立相应的数学模型；或者计算结果太复杂，难以分析、辨认地质特征与地球物理场特征之间的联系。地球模型建立的要求：常用数值常用数值计算方法计算方法 有限差分法有限元法积分方程法快速离散傅里叶变换法拟谱法（伪、虚）谱法射线追踪法计算速度快边界刻化好易于处理有源问题F域计算易刻化运动学特性计算方法选择很重要：不同方法适应性不同，计算效率、机时、周期、费用等各不相同，要综合考虑各种因素合理选用计算方法。有针对性地灵活运用计算方法微分方程法