曲线积分与曲面积分知识点

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1、曲线积分与曲面积分知识点【篇一：曲线积分与曲面积分知识点】曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内容要点，希望对2016考研人有所帮助。9.1第一类曲线积分内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)9.2第二类曲线积分内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系测试点：计算第二类曲线积分9.3格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件

2、；(3)全微分法则；(4)全微分方程测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解9.4第一类曲面积分内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算测试点：计算第一类曲面积分9.5 第二类曲面积分内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分9.6高斯公式与散度内容要点：(1)高斯公式；(2)散度测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可)9.7斯托克斯公式与旋度内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)

3、旋度测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可)9.8综合例题针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不要出现遗漏知识点的现象。【篇二：曲线积分与曲面积分知识点】第十章 曲线积分与曲面积分 一、 一、 重点 两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、 高斯公式的应用 二、 二、 难点 对曲面侧的理解， 把对坐标的曲面积分化成二重积分， 利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分， 及利用高斯公式计算非闭曲面上的

4、第二类曲面积分。三、 三、 内容提要 1 1（1） （1） 第一类曲线积分 nsfdsyxf0 曲线（面） 积分的定义： ?i?实际意义： ?iiil0),?(?lim?),(（存在时） is表示第 i 个小弧段的长度， （ii? ,） 是is?上的任一点小弧段的最大长度。当 f(x,y)表示 l 的线密度时，?l表示 l 的弧长， 当 f(x,y)表示位于 l 上的柱面在点（x,y） 处的高时，?l表示此柱面的面积。（2） （2） 第二类曲线积分 nxpqdypdx?实际意义： dsyxf),(表示 l 的质量； 当 f(x,y) ?1 时，?ldsdsyxf),(),?(?),?(?lim

5、?10iiiiiiilyq? (存在时) 设变力 f =p(x,y) i +q(x,y) j 将质点从点 a 沿曲线 l 移动到 b 点， 则 f 作的功为： ?d?=（dx,dy） 事实上，?lpdx，?lqdy 分别是 f在沿 x 轴方向及 y 轴方向所作的功。（3） （3） 第一类曲面积分 nsfdszyxf1?llqdypdxsdfw， 其中 s ?i?is?面的最大直径。?iiii0),?,?(?lim?),( (存在时) 表示第 i 个小块曲面的面积， （iii?,?,?） 为is?上的任一点， ? 是 n 块小曲 实际意义： 当 f(x,y， z)表示曲面? 上点（x,y,z）

6、处的面密度时，?ds 表示曲面? 的面积。?dszyxf),(表示曲面? 的质量， 当f(x,y,z) ?1 时，?（4） （4） 第二类曲面积分 ?i?（存在时） 其中(?在 yoz 面， zox 面， xoy 面上的投影， dydz， dzdx， dxdy 分别表示这三种投影元素; （iii?,） 为?上的任一点， ? 是 n 块小曲面的最大直径。实际意义： ?nxyiiiizxiiiiyziiiisrsqsprdxdyqdzdxpdydz10)(,?,?(?)(,?,?(?)(,?,?(?lim?yzis )，zxis )(?，xyis )(?分别表示将? 任意分为 n 块小曲面后第 i

7、 块is?is设变力),(zyxv=p(x,y， z) i +q(x,y,z) j + r(x,y,z) k 为通过曲面? 的流体（稳定流动且不可压缩） 在? 上的点（x,y,z） 处的速度。则 ? 表示在单位时间内从? 的一侧流向指定的另一侧的流量。2、 曲线（面） 积分的性质 两类积分均有与重积分类似的性质 （1） （1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面 （2） （2） 对积分弧段（积分曲面） 都具有可加性 （3） （3） 代数和的积分等与积分的代数和 第二类曲线（面） 积分有下面的特性， 即第二类曲线（面） 积分与曲线（面） 方向（侧） 有关 ?3、 曲线（面） 积分的计算 （1

8、） （1） 曲线积分的计算 a、 a、b、 b、 第一（二） 类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值） 作为积分下限 （2） （2） 曲面积分的计算方法 1、 1、a 将积分曲面? 投向使投影面积非零的坐标面 b 将? 的方程先化成为投影面上两变量的显函数， 再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。c 将 ds 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素 2、 2、a 将积分曲面? 投向指定的坐标面 b 同 1 c 依? 的指定的侧决定二重积分前的“+” 或“-” 4、 格林公式、 高斯公式和斯托克斯公式 （1） （1） 格林公式 ?dyx其中 p、 q 在闭区域 d

9、上有一阶连续偏导数， l 是 d 的正向边界曲线。若闭区域d 为复连通闭区域， p、 q 在 d 上有一阶连续偏导数， 则 ?dyx其中?rdxdyqdzdxpdydzsdv? ?llqdypdxqdypdx ?rdxdyqdzdxpdydz=?rdxdyqdzdxpdydz 依据积分曲线 l 的参数方程， 将被积表达式中的变量用参数表示 第一类曲面积分的计算 第二类曲面积分的计算 ?ldxdypqqdypdx)( ?dxdypq)(=?niliqdypdx1 il （=1， 2n） 均是 d 的正向边界曲线。（2） （2） 高斯公式 ?其中 p、 q、 r 在闭区域? 上有一阶连续偏导数，

10、? 是 q 的边界曲面的外侧 （3） （3） 斯托克斯公式 dxdydzdxdydz?rdxdyqdzdxpdydz=zrypxq?(） dxdydz ?r?q?p?zyx=?rdzqdypdx 其中 p、 q、 r 在包含曲面? 在内的空间区域内具有一阶连续偏导数， ? 是以 ? 为边界的分片光滑曲面，5、 平面上曲线积分与路径无关的条件 设 p、 q 在开单连同区域 g 内有一阶连续偏导数， a、 b 为 g 内任意两点， 则以下命题等价： ?ablqdypdx与路径 l 无关 ? 的正向与? 的侧向符合右手规则。（1）?（2） 对于 g 内任意闭曲线 l, 0?lqdypdx (3) y

11、pxq?在 g 内处处成立 （4） 在 g 内， pdx+qdy 为某函数 u(x,y)的全微分 6、 通量与散度、 环流量与旋度 设向量 ),(zyxa=p(x,y， z) i +q(x,y,z) j + r(x,y,z) k 则通量（或流量） ? = dsn?a? 其中 n?=（cos? , cos ? , cos? ） 为 ? 上点（x,y,z） 处的单位法向量。散度 ?pq?z?度为零。? p此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择， 此规定貌似复杂， 但其最基本的思想却非常简单： 即基于用正负数来表示具有相反意义的量。比如， 当温度高于零度时用正数表示， 当温度

12、低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量， 很自然， 当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、 五、 典型例题 2x例 1、 计算?dsxi2 ?： 圆周?x0222zyrzy 解： 由轮换对成性， 得 ?dsxi2=?dsy2?dszi2=?3?dszyx2221=?dsx3?r231=332r? 例 2、 设 l：222ayx?为成平面区域 d,计算?ldydxy333 解：?ldyx3dxy333（格林公式）?x?ddxdyyx)(22=

13、?ardrrd?02204=42a? 例 3、 求?dxdyz2， 其中 ? 为曲面2222azy?的外侧。解法一、 将? 分为上半球面1 ? ：2x222yxaz?和下半球面2? ：222yxaz? ? ? ?1?2022222222222?y?y?dxdyyxadxdyyaaxax 解法二、 利用高斯公式 ?dxdyz2=)200 (2?222?y?azxz ） dxdydz=0 （对称性） 例 4、 求曲线 y=解： 求曲线的交点 b(1， 1)， c(32 ,34 ) 法一、 定积分法 则所求面积为 22)2法二、 二重积分法 设所给曲线围成的闭区域为 d.则 2yy dx+?法三、

14、曲线积分法 设所给曲线围成的图形的边界曲线为 l， 则 xyx2,22?及xy ?2所围成的图形的面积。a=?10(dyyy+?3402)2(dyyy=?6161=31 a=?dd? =?102232402yy dxdy=?1022)2(dyyy+?3402)2(dyyy=31 a=?lxdy=1?1 ?occbboxdyxdyxdy?=?102dyy+?341dyy+?04232dyy =?332+（32?） =3?例 5、 计算?解： 法一 用曲线积分与路径无关 q?于是?法二、 用曲线积分与路径无关， 则 ?法三、 用曲线积分与路径无关， 则 lxdyydx， l： 从点 a(-r,0)

15、到点 b(r,0)的上半圆周222ryx?。因为ypx?1在 xoy 面上恒成立， 且xq?及yp?在 xoy 面上连续， 所以曲线积分?lxdyydx与路径无关。?lxdyydx=?abxdyydx=?rrdx0=0 ?aacbxdyydx?=0 （其中 c(0,r)） ?法四、 用格林公式 q?lxdyydx=?) 0 ,r() 0 ,r(xdyydx=?) 0 ,r() 0 ,r()(xyd=) 0 ,) 0 ,r?(rxy=0 因为ypx?且xq?及yp?在闭曲线 acba 上围成的闭区域 d 上连续。故由格林公式得 ?aacbxdyydx?=?ddxdyypxq)(=0 于是 ?法五

16、、 用定积分计算， 则 l 的参数方程为 ?sinry0?lxdyydx=0?baxdyydx=0 ?cosrx， l 的起点 a 对应与? ?， 综点对应于0?， 于是 ?r?lxdyydx= ?=0 ?coscos)sin(sin?d?rrrr=?022?dcos?r=022?sin21?例六、 计算对坐标的曲面积分 ?dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(其中 ? 是)0222hzyxz?（的下侧 解： 设1 ? 为平面 z=h 被锥面222yxz?所围成部分的上侧。则 q?1?)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=)(zrypx?dxdydz =) 000 (?）

17、 dxdydz=0 又?1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=?1)(dxdyyx=?dxy?dxdyyx)(=0 所以 原式=?1?1?=0-0=0 六 曲线积分与曲面积分自测题 一、 一、 填空： （4? 5 分） 1、?l?xxdyyexxdxeyxxyxyx)2sin()sin2cos(222 其中 l 为正向星形线) 0(323232?aayx 2、 l 为 xoy 面内直线 x=a 上的一段， 则? 3、 设 a = yzx(?ldxyxp)( i)2?+ jxzy)(2?+ kxyz)(2?， 则 p二、 二、 选择题（4? 5 分） 1、 1、a?是 d 内任一曲

18、线， 则以下 4 个命题中， 错误的是 ?dxdyzdzdxzydydzzyx) 3()3 ()2(= 设 a =p(x,y) i +q(x,y) j ， （x,y） ? d,且 p、 q 在区域 d 内具有一阶连续偏导数， 又 l：ba 若qdydxpl?与路径无关， 则在 d 内必有ypxq? b 若?du(x,y)=p(x,y)dx+q(x,y)dy ls da?与 路 径 无 关 ，则 在d内 必 有 单 值 函 数u(x,y) ，使 得c 若在 d 内ypxq?， 则必有?ls da?与路径无关 d 若对 d 内有一必曲线 c， 恒有0?qdypdx， 则qdydxpl?与路径无关

19、2、 2、 已知2)()(yxydydxayx?为某函数的全微分， 则 a 等于 a - 1 ; b 0; c 1; d 2; 2?dxxy) 0 , 0 (?3、 3、 设曲线积分dyxy?dxxyl)(?与路径无关， 其中)(x?具有连续得到数， 且)(x?=0， 则dyxy?)() 1 , 1 (2等于 a 83 ; b 24、 设空间区域? 由曲面1; c 42xa?3; d 1; 22yz?平面 z=0 围成， 其中 a 为正常数， 记? 的表面外?xyzzdzdxzxy)1 (侧为 s, ? 的体积为 v， 则?dxdydydzyzx2222 a 0 ; b v; c 2v; d

20、3v; 三、 三、 计算（6? 10） 1、 1、 计算 i=?dsx2,其中 ? 为圆周：?x02222zyrzyx 2、 2、 计算曲线积分?时针方向。?,)( 222yxxdyydx其中 l 为圆周2) 1?(22?yx， l 的方向为逆3、 3、 计算,)sin()(22dyyxdxyxl?其中 l 是在圆周22xx ?上点（0， 0）到点（1， 1） 的一段弧。4、 4、 算曲面积分 i=?yzdxdydzdxyzdydzy4)1 () 18 (2 其中 ? 为圆周：?x01yz（) 31? y绕 y 轴旋转一周所生成的曲面， 它的法向量与 y轴正向的夹角恒大于25、 5、全微分，

21、并求出一个这样的二元函数 u(x,y)。?， 0） 到点（22? ?。正面（dyxyxdxxyxy)cos()sin22?在整个 xoy 面上是某个二元函数的6、 6、 在由点（-23?， 0） 的曲线族 y=acosx(a.0)中， 求一条曲线 l,使xdydxyl的值最小。【篇三：曲线积分与曲面积分知识点】第十二章曲线积分与曲面积分 一基本要求 1正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。2熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两 类曲面积分之间相互关系。3掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握 二元函数全微分

22、方程的求解方法。4掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、 重心、转动惯量、功及流量等）。二主要内容(见第二页至第十三页) 在平面区域g上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 注解（注一至注十）（表格）三考点与难点 考点： 1两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算 方法。2格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。3应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。4曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为 曲线积分问题和曲

23、面积分问题求解。难点： 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。四例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例1至例15 五部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五） 六试卷（见第三十一页至第三十八页） 试卷 七试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页）试卷 二主要内容1。主要内容联系（框图） （化为） 二重积分 （化为） 三重积分 曲线 积分 （化为）定积分 联系 联系 联系 高斯 公式 联系 联系 联系 联系 联系 联系 两类曲线积分 之间联系公式 （化为）二重积分 散度、通量。参见注解之注九 旋度、环流量。参见注解之注十 （物理意义） 在平面

24、区域 上曲线积分与路径无 价）条件全微分方程 求全微 分函数 曲面 积分 两类曲面积分 之间联系公式 直接法 参见解 题步骤 及注解 推广特殊 斯托克斯公 式（空间上） 意义 意义 直接法 参见解 题步骤 及注解 直接法参见解 题步骤 及注解 直接法参见解 题步骤 及注解 对坐标的曲线积分 格林公 面上）对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 2曲线积分和曲面积分（表格）（a）两类曲线积分及相互之间联系 类型 积分类型 内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 平面： （在上有界）被积函数参见注解之注一（第12 有界）被积函数 有界）被积函数 参见注解之注二（第12 物理意义平面： 轴平

25、行的柱面侧面积。柱面底是l，高是 沿有向曲线所作的功向量形式 coscos coscos cos dxds qdypdx dxds rdzqdy pdx 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参 见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。页、第12页）。当曲线积分与 路径无关，选一条更方便路线（选与坐标轴 平行的折线段替代规定路线）简化计算。参 见曲线积分与路径无关的条件（第10 联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解 题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的

26、积分路线，补上一 条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积 分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要 容易计算），若积分路线为空间曲线上述格 林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公 式，高斯公式及斯托可斯公式（第9 两类曲线积分之间 的联系 qdypdx coscos rdzqdy pdx coscos cos dxds （b）两类曲面积分及相互之间联系类型 内容 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 上有界）被积函数。参见注解之注五（第12 上有界）被积函数。参见注解之注六（第13 为空间薄片的面积。面密度为 的空间薄片的质量。流速 的流体（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面 的通量（流量）。

27、向量形式 coscos cos coscos cos rdxdyqdzdx pdydz 特别地ds 联系法：化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接 法及公式法。参见解题方法及两类曲面 积分之间联系（本页）。公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲 面，补上一片使之封闭，然后再应用高 斯公式化为重积分，（转化后的重积分 及补上的曲面积分要容易计算）。联系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解题方法之直接法及公式法。参 见解题方法及两类曲面积分之间联系（本页）。公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使

28、 之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，（转 化后的重积分及补上的曲面积分要容易计 两类曲面积分之间 的联系 rdxdyqdzdx pdydz coscos cos dydzds 3曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图）(a)曲线积分(直接法) 第五步 定积分的计算式 中之一）对坐标u 的曲线积分为零 不得选取u 为积分变量 曲线弧两端点对应于参数 曲线弧起点和终点分别对应于参数 第四步曲线弧上的被积函数化 成关于t 的函数 第三步 确定积分元素 第一步 曲线弧在u 轴投影为零 （曲线弧：其中u =常数） 第二步曲线弧在t 轴投影非零 确定t 的变化范围。曲线积分解题步骤 对坐标的 曲线积分 (

29、空间上)dt (平面上)dt （空间上）dt (空间上)dt （b）曲面积分（直接法）曲面积分解题步骤 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 选取其它坐标面 以投影区域作为积分 区域d xy 第一步曲面在坐标面上投影为零 对坐标的曲面积分为零 以投影区域作为积分 区域d 由曲面的方向 确定曲面在坐标面上 投影的正负号 第二步曲面在坐标面上投影非零 确定曲面在坐标面上的投 影区域（不妨坐标面为 xoy平面） 第三步 确定积分元素 第四步 曲面上的被积函数化成 关于积分区域上的函数 第五步 二重积分的计算式 xy 4格林公式，高斯公式及斯托克斯公式（表格）类型 内容 格林公式 高斯公式 斯托克斯

30、公式 定理 设闭区域 由分段光滑的曲线l 围成，函数 上具有一阶连续偏导数，则有 设空间闭区域是由分片光滑的闭 曲面 所围成。函数 在上具有一阶连续偏导数，则有设为分段光滑的空间有向 曲线，函数 在曲面（连同边界）上具 有一价连续偏导数，则有 公式 qdypdx 的取正向的边界曲线。dv rdxdyqdzdx pdydz coscos cos 这里是的整个边界曲面的外侧。处的法向量的方向余弦。dydz rdzqdy pdx 是以为边界的分片光滑的有向曲面。的正向与 合右手规则。向量形式 dydzds 意义几何应用 设由闭曲线l所围成的 区域d 的面积为 xdyydx ydxxdy 物理意义向量

31、场 通过有向闭曲面外侧的通量（流量）等于向量场a 曲面围成区域上的三重积分。参见（注九） 物理意义 向量场a 沿有向闭曲线的环流量等于向量场 通过所张的曲面的通量（流 参见（注十）第10 5在平面区域g上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 1定义：对于区域g内任意指定的两个点 到点b的任意两曲线 qdypdx qdy pdx 恒成立 2沿区域g 内任意闭曲线l的曲线积分为零。qdypdx 在单连通域g内具有一价连续偏导数 牛顿莱布尼兹公式： 的全微分。即存在 在单连通域g内具有一价连续偏导数。内具有一价连续偏导数。第11 qdypdx du pdxdx dydx 在区域g内具有一 价

32、连续偏导数 全微份积分法 的求法全微分方程求解 为l上第i个小弧段长度， 为l上第i个小弧段任意取定点。对应于l的起点，对应于l的终点）。任意分成n小块曲面 也代表第i小块的面积）。任意分成n小块曲面 也代表第i小块的面积）， 在xoy面上的投影为xy 在yoz面上的投影为 yz 在zox面上的投影为 zx 在xoy面上投影区域：xy 在yoz面上投影区域： yz 在zox面上投影区域： zx 。在xoy面上投影区域xy 。在yoz面上投影区域 yz 。在zox面上投影区域 zx 左侧取负右侧取正 （散度为数量）。向量场a 通过曲面（向着指定侧）的通量（流量）： （旋度为向量）。向量a 的三角形abo的边界。abbo oa ds dxydy dx ，l为上例曲线的有向曲线，方向取逆时针。解法一：。ob bo ab oa垂直y oady ydydy dxdydxdy 解：由弧长的曲线积分的物理及几何意义，曲线弧的质量为 dsds abbo oa dy dsdt 关于y轴为奇函数，在l上积分为零， dsds ds xy37 37 dsds dydx 在第一象限部分顺时针方向的一段。