北京大学量子力学课件-第26讲ppt

第第 二二 十十 六六 讲讲 .全同粒子的交换不变性的后果全同粒子的交换不变性的后果 (1)两全同粒子的波函数两全同粒子的波函数 若两全同粒子，它们的相互作用是变量可若两全同粒子，它们的相互作用是变量可 分离型的，即分离型的，即 SSm21z22z11)r,r(u)s,r,s,r(可以证明：若粒子自旋为可以证明：若粒子自旋为 ，则，则 在在两粒子自旋交换时的对称性为两粒子自旋交换时的对称性为 。若两。若两粒子都处于粒子都处于 态，而总角动量为态，而总角动量为 ，其交，其交换对称性为换对称性为 ，则，则 应满足应满足 偶偶 (2)(2)由于全同粒子交换不变性，而使体系可由于全同粒子交换不变性，而使体系可能处的状态数目不同能处的状态数目不同.例：设有三个粒子处于（不同量子数单态）例：设有三个粒子处于（不同量子数单态）sSSm Ss2)1(lmnlYRLLl 2)1(SLSmLmu LSs2)1(LS A.玻色子玻色子 3个处个处 2个处个处 各处各处 同一态同一态 同一态同一态 一个态一个态 B.费米子费米子 1 各处一个态各处一个态3 101233,2,1 (3)由于全同粒子交换不变性，而使体系的由于全同粒子交换不变性，而使体系的几率分布不一样。几率分布不一样。(4)由于全同粒子交换不变性，在散射时，由于全同粒子交换不变性，在散射时，散射截面不一样。散射截面不一样。当两粒子散射时，粒子当两粒子散射时，粒子 散射到散射到处，即偏处，即偏转角转角 的散射几率为的散射几率为 ；粒子粒子 1 如散如散射到射到处，其偏转角为处，其偏转角为 ，散射几率为，散射几率为 2)(f 2)(f A.玻色子（自旋为玻色子（自旋为0）散射几率为散射几率为（即（即 ，分不出。由于，分不出。由于，,为偶）为偶）如自旋为如自旋为1 1，非极化散射几率为，非极化散射几率为 2)(f)(f 120SL222)(f)(f95)(f)(f93)(f)(f91 自旋 ，自旋 自旋 (5)由于全同粒子交换不变性，使体系所处由于全同粒子交换不变性，使体系所处的状态结构也不同的状态结构也不同 元素周期表的规律正是由于电子为费米子元素周期表的规律正是由于电子为费米子,Pauli exclusion Principle 起作用的结果。起作用的结果。90 2101 2)2(f 2)2(f4 2)2(f38 例：粒子处于一维谐振子势中。例：粒子处于一维谐振子势中。单粒子波单粒子波函数函数相应能量为相应能量为 对对 个玻色子（个玻色子（），基态是所有粒），基态是所有粒子都处于子都处于 态态,每个粒子平均能量为每个粒子平均能量为 ssmn)r(u )21n(EnN0s 0n 21NEg 21 B.费米子（自旋费米子（自旋 ）自旋为自旋为 的费米子非极化的散射几率的费米子非极化的散射几率 )(f)(f)(f)(f 31)(f)(f*22 212122)(f)(f43)(f)(f41 )(f)(f)(f)(f 21)(f)(f*22 但对 个无相互作用的费米子（）。基态是二个处于 ,二个处于 ,N为偶 N21s 0n 1n 为偶个处于最后为奇个处于最后NNNN222211 42NEg N为奇 所以，每个粒子平均能量为 412NEg 4N .定态微扰论定态微扰论 这里讨论的是这里讨论的是 与与 无关无关 设：设：，要求其本征值和本征函数，要求其本征值和本征函数其中其中 很接近很接近 ，且有解析解。而，且有解析解。而 是小量，是小量，为易于表达其大小的量级为易于表达其大小的量级)P,r(HH EH 10HHH0HH1HHt （1 1）非简并能级的微扰论）非简并能级的微扰论 设：设：的本征值和本征函数为的本征值和本征函数为 ，构成一正交，归一完备组。构成一正交，归一完备组。现求解现求解 即 0H0kE0k 0k0k0k0EH 0k kkkEH kkk10E)HH(求求 ，的步骤是通过逐级逼近来求的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将精确解，即将 ，对对 展开（即对展开（即对 矩阵元展开）。矩阵元展开）。从从 ，出发求出发求 ，。当。当 ，即即 ，非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响处理的结果）。处理的结果）。kEk kEk 1H 0kE0k kEk 0 0H10kk 0kkEE A.A.一级微扰近似一级微扰近似 以以 标积标积 以以 （）标积）标积 0k1k)1(iki0i0k0k1)1(iki0i0EaEHaH 0k 0k10k0k1*0k1kHrdHE 0i ki)1(ik0k0k10i)1(ik0iaEHaE 因此，在一级近似下因此，在一级近似下 0i0kik10i0k0k10i)1(ikEE)H(EEHa 0k100kkk10kkHH)H(EE 0i0kik1i0i0k)1(k0kkEE)H(归一化 准至一级)所以，在在 这条能级为非简并时，其能这条能级为非简并时，其能量的一级修正恰等于微扰项量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态在无微扰状态 的平均值。的平均值。1N 0kE1H0k 例例1 1：考虑一个粒子在位势：考虑一个粒子在位势 axam21axxm21)x(V2222 axam21m2Paxxm21m2PH222x222x 10HH22202121xmPmHx 准至一级修正的能量为准至一级修正的能量为ax)ax(m21ax0H2221 nHnE11na2n222dxu)ax(2m21 a2n222ndxu)ax(m)21n(E 从这可以看到微扰论的应用限度。从这可以看到微扰论的应用限度。如如 准到一级，可以看出，准到一级，可以看出，完全是分立完全是分立能级。但事实上，当能级。但事实上，当 时，粒子是自由的。因此，能级是连续的，可时，粒子是自由的。因此，能级是连续的，可取任何值。所以，要一级修正比较精确，则必须取任何值。所以，要一级修正比较精确，则必须 nEnE22am21E 22nam21即即 经典和量子的差别经典和量子的差别:经典粒子不能运动到经典粒子不能运动到 区域中去。而在量子力学中，粒子有一定几率在区域中去。而在量子力学中，粒子有一定几率在 22am21)21n(22 mEx区域中。在这区域中，有区域中。在这区域中，有 所以粒子受到的排斥力比处于所以粒子受到的排斥力比处于 纯谐振子势中的粒子小。以至于，纯谐振子势中的粒子小。以至于，2mE2x 2222am21xm21 22xm21 nnE 事实上，由于事实上，由于 由由 定理可证得定理可证得 例例2 2求氦原子的基态能量求氦原子的基态能量)x(Vxm2122 FH nnE)21n(设：设：的基态为的基态为 122221222212rere2re2)(2H 10HH2121222121221)cosrr2rr(ereH 0H0即即 002100110021z)r(u)r(u0r,r,s,s 00)rr(a1321ea1 a4e24a2e22E020200 于是于是 以以 方向为方向为 Z Z 方向方向 ,所以所以 0H0E110122222222123221rdrddsinrerd)a(e)rr(a 1r 2210ll21l2210ll12l112rr)rr)(cosPr1rr)rr)(cosPr1r12001212202212321012121drcosd)rr)(cosPrreerd)a(eElllrrara 由于由于 drcosd)rr)(cosPrrelllrra221002222112 l ll0l1l 22cosd)(cosP)(cosP 1)(cosP0 drrredrrreerdaeErrarrara 1212122222222102216210222)2ar(ae)1e(r2aeaearerdae21ra2ra213ra22ra21ra216211111er2ae)r2ar2a(drrae8ar213ar4132121216211)8a32a64a(ae855562a8e52 所以，准至一级的能量为所以，准至一级的能量为 B B二级微扰：二级微扰：当微扰较大时，或一级微当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了。扰为零时，则二级微扰就变得重要了。由由 项得项得0222100004a8e11a8e5a2e22EEE00a)rr(3021ea1 2 以以 进行标积得进行标积得 0k iikikki)(ikiikkEE)H()H(aHE001110102)1(k10kH 0k2ki)1(ik0i1ki)2(ik0i0ki)1(ik0i1i)2(ik0i0EaEaEaHaH iikkikEEHE0020102以以 进行标积得进行标积得0j)kj()1(jk1k)2(jk0k)1(ik0i1i0j)2(jk0jaEaEaHaE )2(jk0j0ka)EE(0j0k0k10j0k10k0i0k0k10i0i1i0jEEHHEEHH 所以所以准至二级的能量和波函数准至二级的能量和波函数EE)H()H(EE)H()H(EE1a0j0kkk1jk1i0i0kik1ji10j0k)2(jk002110ikikikkkkEE)H()H(EE )1(k10k0k10k0kHHE )1(k0k0kH EE)H()H(EE)H()H(EE0j0kkk1jk1i0i0kik1ji1j0j0k0j i0i0k0k10i0i0kkEEHN 由由 准至二级的归一化波函数为准至二级的归一化波函数为 2i20i0k20k0ik*kN)EE(H1 rd i20i0k2ik12)EE()H(11N 显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选取取 ，而且要求，而且要求 i0i0kik10ii0k20i0k2ik1kEE)H()EE()H(211 EE)H()H(EE)H()H(EE0j0kkk1jk1i0i0kik1ji1j0j0k0j 0H1H1EE)H(0i0kik1这样取一级近似才可以满足精度要求。这样取一级近似才可以满足精度要求。例：刚体转子的斯塔克效应（例：刚体转子的斯塔克效应（Stark EffectStark Effect）将体系置于外电场中，能级发生移动的现将体系置于外电场中，能级发生移动的现象称为象称为Stark EffectStark Effect。设：转子的角动量为设：转子的角动量为 ，电偶极为，电偶极为 ，当置于均匀外电场中当置于均匀外电场中 （取电场方向为（取电场方向为z z）Ld cosd2Ld2LHHH2210 显然显然 （有（有 重简并）重简并）由于由于 lm2lm0llm0Y2)1l(lYEYH 1l 2 cosdH1 iLz0H,L1z 因此，因此，运算到运算到 的本征态上，不改变的本征态上，不改变 其本征值其本征值 由递推关系由递推关系 1HzLlm1lmz1lm1zYHmYLHYHL m1lm1lm,1llmlmYaYa),(Ycos )3l 2)(1l 2(m)1l(a22lm 于是所以，尽管每一条能级所以，尽管每一条能级 有有 重简并。但是，对某一态重简并。但是，对某一态 有相互作用的是有相互作用的是那些同那些同 能级。因此，如考虑未微扰的能级态能级。因此，如考虑未微扰的能级态为为 ，则只需要考虑，则只需要考虑 ，。而。而 （）对）对 和和 都没有任何影响。所都没有任何影响。所以，以，可看作可看作“没有简并没有简并”的态。从而可用非简的态。从而可用非简并并mm1l lm1l1l llmlm*ml)aa(dYcosY 2)1l(lE20l1l 2 lmYmlmYmlYll mlYmm lmYmlYlmY微扰论来处理。微扰论来处理。0dYcosYdElm*lm1lm ml0l0l2lmml12lmEE)H(El1l,l221l,l22222)1l(l)1l(l)1l 2)(1l 2(ml)3l 2)(1l 2(m)1l(d2 由这可看出，简并部分解除（同由这可看出，简并部分解除（同 不同不同 的能量不同，但的能量不同，但 相同）相同）和和 态仍态仍简并，即简并，即 重简并重简并 条条 （不简并，而其他的为二重简并）。不简并，而其他的为二重简并）。)3l 2)(1l 2(2m3)1l(lE2d20l22)3l 2)(1l 2(2m3)1l(l)Ed(1 EE220l0llm lmmlmml1l 2 1l0m 简并的解除，实际上是简并的解除，实际上是 的对称性被破的对称性被破坏。如没有完全解除，那实际上对称性没有完全坏。如没有完全解除，那实际上对称性没有完全被破坏。被破坏。（2 2）碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应）碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应 A A碱金属光谱的双线结构碱金属光谱的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作用，子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作用，价电子的哈密顿量为价电子的哈密顿量为 0H)r(Vsl)r()r(V2PH2 drdVr1c21)r(22 取取 选力学量完全集选力学量完全集则则 能量能量 与与 无关。无关。EH )r(V2PH20 sl)r(H1 )J,J,L,H(z220jjnljm0nlnljm0EH 0nlEj 所以所以,的本征值及径向波函数的本征值及径向波函数 是与是与无无关。关。jjljmnlnljmR nl0nlnlnl22222RER)r(VRr2)1l(l)rR(drdr12 0HRj的本征态是是注意现在的0ljmnlnljmHRjj （对 和 是简并的）一级微扰一级微扰 jjmjj1nljnljmsl)r(nljmE)1s(s)1l(l)1j(j 2drr)r(R222nl 对对所以，一级微扰修正与所以，一级微扰修正与 有关有关 21ljl)s(s)l(l)j(j 1111111 l)s(s)l(l)j(j 21ljjnlnlE1nlj 212121222 ljlljl前面已讨论过前面已讨论过 因此，因此，这即观测到的纳光谱的双线结构的原因。这即观测到的纳光谱的双线结构的原因。B B反常塞曼效应：反常塞曼效应：在较强磁场中在较强磁场中()()，原子光谱线分裂的现象（一般分为三条），原子光谱线分裂的现象（一般分为三条），称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自旋轨称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自旋轨道耦合和道耦合和 项可忽）也同样（因项可忽）也同样（因 ）。0drr)r()r(Rnlnl22nl 22121212 lnlnlEElj,l,nlj,l,nT210 2B0ms2212 lnlnl 当磁场较弱时，当磁场较弱时，与与 引起的附引起的附加能量可比较时，就不能忽略自旋轨道相互作加能量可比较时，就不能忽略自旋轨道相互作用项而仅考虑用项而仅考虑 项。项。这时，哈密顿量（在均匀外磁场下）这时，哈密顿量（在均匀外磁场下）取取 方向为方向为 方向，方向，s L)r(zL2qB zL2qB B2es L)r()r(V)AeP(21H2 Bz)0,xB21,yB21(A 则则 (忽略忽略 )这时这时 （简并度为（简并度为 ，即对，即对 简并）简并）选选 )s 2L(2eBs L)r()r(V2PHzz2 zz0s 2eBj2eBH 222r8Be j0nljj0nljmEnljmH1j2 jm)J,J,L,H(z220 是磁场为零时的能量本征方程的本征值。是磁场为零时的能量本征方程的本征值。当置入弱磁场（均匀，取当置入弱磁场（均匀，取 方向），而引方向），而引 起能级移动，在一级微扰下起能级移动，在一级微扰下 0nljEzjzzj1nljmnljmS2eBJ2eBnljmEj ds 2eBm2eBjjljmzljmj dbYaY)bY,aY(22eBm2eB1lmlm*1lm*lmj )ba(22eBm2eB22j 2eBm2eBj21lj1l 2m21lj1l 2mjjB2e 21ljm1l 2l 221ljm1l 22l 2jj 所以，当放入弱磁场中，能级由所以，当放入弱磁场中，能级由 根据偶极跃迁选择定则根据偶极跃迁选择定则 L0nlj0nljEE 21ljm1l 2l 221ljm1l 22l 2jj 2eBL1l1,0j1,0mj 有四条光谱线有四条光谱线 21P21S02121 212134212132212132212134LLLL 02123 21213521232121312121312123212135LLLLLL 所以，这时每条能谱线的多重态是偶数这时每条能谱线的多重态是偶数；多多重态的能级间距随不同能级而不同重态的能级间距随不同能级而不同；而光谱线而光谱线也是偶数条。也是偶数条。（3 3）简并能级的微扰论）简并能级的微扰论 当体系的一些能级是简并时，那考虑这些当体系的一些能级是简并时，那考虑这些能级所受的扰动影响时，就不一定能利用上述能级所受的扰动影响时，就不一定能利用上述公式，因这时初态不能确定处于那一个简并态公式，因这时初态不能确定处于那一个简并态上，而一级波函数修正上，而一级波函数修正 当当 （即与（即与 简并的态）则分母为零。简并的态）则分母为零。n0n000n10nEE)H(000nEE0