精算模型1引言

精算模型 肖争艳中国人民大学统计学院构建精算模型的方法 经验法 模型法经验法的例子 例例:某团体人寿保险合同由不同年龄和不同受益水平的500个雇员组成。在过去的5年中，已有8名雇员身故并共计得到450 000元。由于该计划的身故赔付与雇员的工资水平挂钩，所以需要进行将赔付进行通货膨胀调整。假设明年通货膨胀率是10%。试根据以上信息对该合同下一年的预期身故赔付进行经验估计。解解：5年内年平均为90000元，考虑到通货膨胀因素，预计下一年预期身故赔付为99000。但是 这估计的缺陷在于，过去5年的经验不一定完全能够反映这个合同在未来一年的情况，因为在如此短（5-6年）的时间内身故赔付的表现可能会有很大波动。经验法的例子例例:考虑一个公司团体牙医保险计划。目前保险单规定每次事故的免赔额为50元，即只对一次医疗费用超过50元的保单才赔付超出的部分。为了减少保险公司的平均赔付成本，有3种修改方案。第1个方案认为应该取消免赔额，这样员工就会经常去看牙，从而减少高昂的医疗费用。第2种方案认为应该提高免赔额到100元降低赔付成本。第3种方案认为应该限制对高额损失的赔付，建议保持免赔额50不变，但每次最高赔付额不超过2000元。作为精算师，你认为哪种方案比较合理？为了研究方便，假设你已经随机抽取了十个赔付数据如下：141 16 46 40 351 259 317 1511 107 567 解解 ：在免赔额为50的条件下，每次赔付的平均值为335.5。如果免赔额提高到100元，上述保单的赔付额数据将变为1415091,35150301,567-50=517，其中赔付额低于50的保单将为0。于是平均赔付额为(91+301+517)/7=2903/7=414.7。保险公司的成本将减少3355290345213.47%33553355 当免赔额为0，上述理赔额分别为141+50=191,16+50=66,567+50=617平均理赔额为3855/10=385.5。保险公司的成本将提高（3855-3355）/3355=14.90%。当最高理赔额为2000时，你认为会怎样？思考 上述两个例子的求解方法是否存在问题？为什么存在这样的问题？你有怎样的解决办法？假设每张保单的原始医疗费用服从对数正态分布，利用极大似然法得到参数估计值为 经计算得到免赔额为50时，每张保单的平均赔付额为308.88。当免赔额提高到100时，平均赔付额为268.93，平均赔付额将减少14.88%。当取消免赔额时，则每张保单的平均赔付额等于对数正态分布的期望值356.49。由于医疗费用大于50元的概率为0.8876。若取消免赔额，理赔次数将会增加0.11569/0.8877612.66。当每张保单的最高赔付额不超过2000元时，每张的保单的平均赔付额为287.22，平均赔付额将减少7.1%。5.262,1.112模型法的步骤经验和先验知识数据第一阶段模型选择第二阶段模型估计第三阶段模型校验第五阶段模型选择第六阶段模型修正以适应未来第四阶段其它可选模型？是否参数模型法的优点 首先，理论分布中有丰富的应用性质（如中心极限定理、独立同分布泊松随机变量的可加性），这些性质有助于对实际问题进行分析。其次，参数模型法更加简单，完全可以由少数几个参数概括，如泊松分布、指数分布只有一个参数，正态分布、对数正态分布、伽玛分布、帕累托分布和负二项式分布也仅有两个参数。最后，模型法不仅可以给出各种相关量的点估计值，还可以估计置信区间，进行误差分析。本课程体系 基本风险 模型 单张保单模型 聚合模型 长期模型 模型估计与选择 经验模型 参数估计 拟合优度检验 模型选择 模型调整与随机模拟 信度理论*随机模拟 案例分析基本风险模型理赔额与理赔次数总理赔额模型长期风险模型理赔额 理赔与损失 几种常见的理赔额形式 免赔额 保单限额 比例分担免赔 如何计算理赔额的期望*()()()()()1()E YE XuE XdE YE YF d0()(1()dE XdF x dx理赔额 通货膨胀影响*()(1)(/(1)-(/(1)E ZarE XurE Xdr(1)(/(1)-(/(1)()1()1XarE XurE XdrE ZdFr理赔次数三种常见的理赔次数分布的性质 泊松分布 负二项分布、几何分布 二项分布()exp(1)NPzz11()()()11()(1(1)krkrNkrpP NkkPzz()(1(1)mNPzq z理赔次数(a,b,0)分布族010,0,1,kkkkkpkppbapk理赔次数 混合分布 负二项分布是泊松与gamma分布的混合。()()()kkpP Nkpud()(|)()E NE Nud()(|)(|)Var NE Var NVar E N总索赔模型 个体风险模型 独立随机变量和的分布S=X+Y 中心极限定理0()()()sXYxP Sspx psx0()()()sSXYfsfx fsx dx总索赔模型 集体风险模型 期望和方差()(|)()()()E SE E S NE NE XE X E N2()(|)(|)()()()()()()Var SE Var S NVar E S NE NVar XVar NE XVar X E NE XVar N 分布 卷积法 矩母函数法 递推法*00()()()()nnSXXnnnfxfx P Nnfx p()()()()zszsNXNXMzE ePPePMz1(0)1)()()(),(0)(0)Xx rSXSyfSNXfxyfy fxyxfPfe 复合泊松分布的性质 可加性 可分解性 S的近似分布 正态近似 Gamma近似*长期风险模型 盈余过程和破产概率的含义 连续时间破产概率 微分方程法*最大损失过程 L1的分布 的含义 个别理赔额服从指数分布的破产概率(0)111()XLFyFp长期风险模型 离散盈余过程11()()()()()(1)innniiiU nucnS nucnVVucVcVU nGGGGcVG为第 年的收益，显然独立同分布 离散盈余过程的破产概率1(,)(0,(0)(0)(,1)(0)()()0,1,()0(0)nku nPnUuPkUuu nPnUuPkP U jjkU kUu 在时刻内破产|在时刻 发生破产|在时刻 发生破产|其中在时刻 发生破产|调节系数方程Cramer定理：存在正常数C，使得 Cramer不等式()CcrMrlimu(u)CeRu1,u()Ruue模型估计与选择如何选取合适的理赔额分布或理赔次数的分布。（1）构建经验模型 获得损失分布的经验分布信息，例如经验分布图、样本均值、样本方差、分位点等。（2）选择一种概率分布作为损失的分布类型，估计所选择分布中所包含的参数；（3）对分布进行拟合检验，以确信所选择的分布类型和参数估计是否恰当；（4）考虑是否还有其它适合的分布，如果有，重复第（1）（3）步;（5）在几种合适的分布中选取一个最优的分布作为损失额的分布。选择的标准有多种，常用的方法是比较 统计量的值，比较最大似然函数的值等；（6）模型的修正。选择模型后，要注意随时对模型修正，以反映未来发生的情况，如通货膨胀，免赔额变化等。模型调整 修匀理论使用光滑递增的曲线去拟合死亡率曲线 信度理论信度估计值z经验值（1z）先验值随机模拟 反变换法生成各种分布的随机数；随机模拟在精算模型和统计检验中的应用；自助法计算估计量的均方误差；随机模拟在期权定价、风险度量中的应用1()XFU模型法的步骤经验和先验知识数据第一阶段模型选择第二阶段模型估计第三阶段模型校验第五阶段模型选择第六阶段模型修正以适应未来第四阶段其它可选模型？是否