步步高大一轮复习讲义数学2.8对数与对数函数

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1、2.8对数与对数函数1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)常用对数底数为_自然对数底数为_2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)_；loga_；logaMn_ (nR)；logamMn_.(2)对数的性质alogaN_；logaaN_(a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：_ (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcd_.3对数函数的图像与性质图像a10a

2、1时，_当0x1时，_当0x0且a1)，那么b叫做以a为底N的对数，即blogaN.它是知道底数和幂求指数的过程底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的2对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论3关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较1(课本改编题)写出下列各式的值：(1)log26log23_；(2

3、)lg 5lg 20_；(3)log53log5_；(4)log35log315_.2(2011江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_3已知函数f(x)loga(xb) (a0且a1)的图像过两点(1,0)和(0,1)，则a_，b_.4(课本改编题)函数yloga(x3)1 (a0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上(其中mn0)，则的最小值为_5(2011安徽)若点(a，b)在ylg x图像上，a1，则下列点也在此图像上的是 () A. B(10a,1b)C. D(a2,2b)题型一对数式的化简与求值例1计算下列各式(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)

4、2；(2)；(3)(log32log92)(log43log83)探究提高(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧 (1)化简lg lg 70lg 3；(2)已知f(3x)4xlog23233，求f(2)f(4)f(8)f(28)的值题型二对数函数的图像与性质例2作出函数ylog2|x1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由函数ylog2x的图像经过怎样的变换而得到探究提

5、高作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过来一般是先作出基本函数的图像，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像 (2010课标全国)已知函数f(x) 若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)题型三对数函数的综合应用例3已知函数f(x)loga(82x) (a0且a1)(1)若f(2)2，求a的值；(2)当a1时，求函数yf(x)f(x)的最大值探究提高本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图像和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不

6、等式、指数函数等) 已知函数f(x)loga(x1) (a1)，若函数yg(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图像(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0,1)时总有f(x)g(x)m成立，求m的取值范围5.数形结合思想在对数函数中的应用试题：(13分)已知函数f(x)loga(ax1) (a0且a1)求证：(1)函数f(x)的图像总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角(1)要证明f(x)的图像总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，)或(，0)内取值(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)

7、，证明k0即可规范解答证明(1)由ax10，得ax1，1分当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0，)，此时函数f(x)的图像在y轴的右侧；3分当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(，0)，此时函数f(x)的图像总在y轴的左侧5分函数f(x)的图像总在y轴的一侧6分(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图像上的任意两点，且x11时，由(1)知0x1x2，1，011.01，y1y20.又x1x20.10分当0a1时，由(1)知x1x21，110.1，y1y20.又x1x20.12分函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都大于0.13分批阅笔记说到数形结合思想，我们更多的

8、会想到以“形”助“数”来解决问题事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想本题的易错点：找不到证明问题的切入口如第(1)问，很多考生不知道求其定义域不能正确进行分类讨论若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.方法与技巧1指数式abN与对数式logaNb的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键2指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积3注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambnlogab，logab在解题中的灵活应用失误与防范1在运算性质loga

9、MnnlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数)2指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1(2011天津)已知alog23.6，blog43.2，clog43.6，则() Aabc BacbCbac Dcab2(2010天津)设函数f(

10、x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)3设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af()f(2)f() Bf()f(2)f()Cf()f()f(2) Df(2)f()0且a1)满足对任意的x1、x2，当x10，则实数a的取值范围为_6函数f(x)(x22x3)的单调递增区间是_三、解答题7已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集8已知

11、函数f(x)(a23a3)x.(1)判断函数的奇偶性；(2)若yf(x)在(，)上为减函数，求a的取值范围B组专项能力提升题组一、选择题1已知函数f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A. B. C2 D42已知函数f(x)，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A(1，) B.C(2，) D.3设函数f(x)log2x的反函数为yg(x)，若g，则a等于()A2 B C. D2二、填空题4设函数的集合Pf(x)log2(xa)b|a，0，1；b1,0,1，平面上点的集合Q(x，y)|x，0，1；y1，0,1，则在同一直角坐

12、标系中，P中函数f(x)的图像恰好经过Q中两个点的函数的个数是_5若log2a0，且a1)，若f(x1x2x2 013)8，则f(x)f(x)f(x)_.7(2011山东)已知函数f(x)logaxxb (a0，且a1)当2a3b1b0)(1)求yf(x)的定义域；(2)在函数yf(x)的图像上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值答案要点梳理1(1)xlogaNaN(2)logaN10lg Neln N2(1)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogaM(2)NN(3)logbNlogad3(1)(0，)

13、(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0(6)增函数(7)减函数4ylogaxyx基础自测1(1)1(2)2(3)0(4)12.3.224.85.D题型分类深度剖析例1解(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.(3)原式.变式训练1(1)原式lg 3(2)2 008例2解作出函数ylog2x的图像，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图像，再将图像向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图像(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，

14、1)，递增区间为(1，)变式训练2C例3解(1)f(2)loga4，依题意f(2)2，则loga42，a2.(2)由题意知82x0，解得x0知，x3，函数yf(x)f(x)的定义域为(3,3)又yf(x)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x)，2x2x2，当且仅当x0时取等号，01时，函数yf(x)f(x)在x0处取得最大值loga49.变式训练3解(1)设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，则Q(x，y)是点P关于原点的对称点，Q(x，y)在f(x)的图像上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x)(2)f(x)g(x)m，即logam.设F(x)l

15、oga，x0,1)，由题意知，只要F(x)minm即可F(x)在0,1)上是增函数，F(x)minF(0)0.故m0即为所求课时规范训练A组1B2.C3.C4.15.(1,2)6(，1)7解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x1，解得a2.所以a的取值范围是(，1)(2，)B组1C2C3C46 5. 616 728解(1)由axbx0，得()x1，且a1b0，得1，所以x0，即f(x)的定义域为(0，)(2)任取x1x20，a1b0，则ax1ax20，bx1ax2bx20，即lg(ax1bx1)lg(ax2bx2)故f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，)上为增函数假设函数yf(x)的图像上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1x2，y1y2，这与f(x)是增函数矛盾故函数yf(x)的图像上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴(3)因为f(x)是增函数，所以当x(1，)时，f(x)f(1)这样只需f(1)lg(ab)0，即当ab1时，f(x)在(1，)上恒取正值