简析杆影的指向的日变化规律

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1、杆影的指向一天之内，随着太阳的东升西落，杆影的指向时刻改变。杆影的指向随时间变化的规律是怎样呢？能利用在水平面上竖直站立的一 根竿的竿影的指向来度量时间吗？本文利用矢量三角形简要地探讨 这一问题，并利用所导出的结论简明地分析日昝记时的原理以及昼夜 长短、日升日落方位等的变化规律。变化影响不大。用R表示由0点引向太阳中心的单位矢量，T表示个太阳日，过A点的经线正对太阳即图1所示的时刻为零时刻。以地球为参照物，由太阳绕Z轴自东向西旋转可得:R 二(cos a cos 互 t，- cos a sin2 t,sin a)t e用G表示阳光传播方向的单位矢径。由G与R方向相反可得:G 二(-cos a

2、cos 2 t，cos a sin互t，- sina)1)若用N、D、B分别表示观察点A处的正南、正东、标杆(过A点与2)当地水平面垂直的直杆)的单位矢量，则N = (sin0,0, - cos0)B = （cos 0,0, sin 9）（4）用E表示竖直地立于A点的单位长度的标杆的杆影的影矢一一为一 以点A为起点的矢量。由光沿直线传播即可得图2所示的矢量三角形 由此三角形可得：E 二 B + kGE 二（cos0 - k cos a cos 芈 t,k cos a sin 2 t,sin 0 - k sin a）5）将（1）、（4）两式代入上式整理可 得：6）7）（ 8 ）（ 9 ）又因为E

3、在N、D所确定的平面内，所以E = aN + bD将（2）、（3）两式代入上式整理可得E = （a sin 0, b,-a cos0）联立（5）、（6）两式求解可得sin a cos0 -sin0 cosa cos2t a 二Tcosa cos 2兀 t cos0 +sina sin0Tcos a sin2 tb =Tcos a cos 2k t cos 0 + sin a sin 0Tk =cosa cos 2兀 t cos0 +sina sin0T7）（ 9）三式即杆影随时间变化的规律。由（7）、（8）两式的比值可知,在不同日子的同一时刻（如春分日与夏至日的上午10点）,由于太阳的直射纬度

4、不同,杆影的指向一般并不相同。这表明，在地球的绝大部分地方，仅靠在水平面上竖直立 的一根直竿的竿影的指向来度量时间是不可能的。下面利用（7）（9）三式，简明地分析正午杆影指向、日昝计时、 极昼极夜、昼夜长短及日升日落方位变化等问题。1、正午杆影的指向将t=0代入（7）、（8）两式可得a = sin（a -9）b = 0故若ae，则a 0，杆影指南（即若直射纬度处在观察点的北边， 则正午杆影指南）；反之，指北。；2、昼夜长短的变化规律 较严格地讨论昼夜长短的变化需将直射纬度随时间的变化式代入（9） 式后再分析，在此仅粗略讨论昼夜长短随-e变化规律。由图2可知，k 0时为白天，k 0代入（9）式，

5、 可得在e丰土亍时： cos号t -tgatge（10）由上式的解不难导出，“春分秋分，全球昼夜平分（若地球是直着身 体绕太阳公转，那全球全年都昼夜平分）；赤道，全年昼夜等长”；太 阳直射北半球时，北半球昼长夜短，且昼长随纬度增大而增大， e-a的区域出现极昼现象（若地球躺着身子绕地球公转，且自转2轴的指向不变，则当直射点移至北极点时，整个北半球都出现极昼现 象）；太阳直射南半球时，北半球昼短夜长，且昼长随纬度增大而减 小，e + a的区域出现极夜现象（昼夜长短随直射纬度变化而变化2的规律以及南半球的情形在此就不讨论了）。3、日昝计时的原理为简洁起见，下面的推导过程省略了部分隐含条件和推导过程

6、。令0为杆影与正南向的夹角，将OTE代入（7）、（8）两式，整理可2得：a t -ctga cos 琴 tb T ctga sin 2l t故：CtgB = T -ctg 互 t，即bT0T-互 t（11）T（11）式表明在北极点，杆影如同机械表的指针一样是匀速转动的（严 格地讲，北极点没有东西向，只有南向。本文的处理是假定将图1 所 示的方位沿经线慢慢滑移至北极点），此即日咎记时的原理一一不在 北极点时，只需将直杆指向北极星（也就是与自转轴平行 由刚体 运动学可知，日月星辰绕自转轴如何旋转，绕此杆就如何旋转），观 测此杆在与杆垂直的平面的影子的指向即可推断时间。由影长：爲2R T Ctg 2

7、a可知，日咎上的影长的日变化很小，几乎可以忽略，但季节变化还是比较大的。但这一点对计时几乎没有影响。4、日升日落的方位在日升日落的瞬间，k，代入9式整理可得:cos互t TsinosinO Tcoso cosO= -tgotgO12 )（注：若| tgotgO 1，上式无解，表明观测点无日升日落现象，即有极昼或极夜现象发生。）为简明起见，下面主要讨论o 0,0 0时日升的方位。由（12）式可知此种情形下日升后与日落前的瞬间cos红t 0。再结T合时间的定义域可推知，日升后的瞬间sin互t 0。将前两式代入（7）、（8）两式，可得a 0,b 0，即日升 T后的瞬间，杆影指向西偏南的方位，这表明太

8、阳是在东偏北的方位升起。同理可得，太阳是在西偏北的方位落下。门sin a cos 9 -sin 9 cos a cos2 t忙f -匚再看具体的方位：cos a sin 2兀 tT将（12）式代入上式，并结合日升后的瞬间sin互t 0,9 0的情形下，太阳升起的瞬间杆影与正南向夹角的数学表达式。由此式可知，a与9越大，杆影与正南向的夹角的绝对值就 越小一一表明太阳就在愈靠近正北的方位升起（在刚好发生极昼的地 方，可认为太阳正好在正北的方位升起）；反之，二者越小，太阳就 在愈接近正东的方位升起。5、太阳高度角的日变化14 )用申表示太阳高度角，由图2所示的矢量三角形可得：sin 甲=cos a

9、cos 互 t cos 9 + sin a sin 9 kT此即太阳高度角日变化的数学表达式。由此式可知，在忽略太阳 直射点日变化的前提下，若a0，且9=|，则a，即在北极点太 阳高度不随时间变化。利用此式也可讨论前述的昼夜长短、正午太阳 高度角等的变化规律，在此从略。后记：几十年前6 月份的一个傍晚，当时正在读初三的我不知为何突然 被路边的树影弄糊涂了一一不是说太阳的直射点总是在温带（笔者的 家乡在北纬 30线上）以南吗？为何树影不是指向东北却是指向东 南呢？当时没有弄明白，后来也没把这个问题放在心上。十年前课改，物理等学科被科学取代。笔者改教科学，科学书上 讲了古人用日昝记时的事。而根据笔

10、者个人的日常经验，不同季节的 同一时刻（如3 月1 日早上10 点与 6月 1 日早上10 点）杆影的指向 好像并不相同。既如此，那为何又可用影子的指向来记时呢？为此， 我决定探寻杆影随时间的变化规律。刚开始分析时，我以为这一问题 会很难。动手后才发现整个的解答过程居然很简单。更没想到的是， 由推导出来的规律居然很容易地就解答了日昝记时的原理、日升日落 方位等一系列问题（当然也包括我个人几十年前的一点疑问）。这一 切，现在回想起来，仍有一种“掬水月在手”的感觉。有些事，不去做时可能会认为很难，做了后就会发现它们原来并 不难。其实，不论事情是真难还是假难，只要去做，就有收获，至少 比什么也不做强。