第十五章量子力学

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1、第十五章 量子力学基础15.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所 说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。15.2 普朗克量子假设的内容是什么？答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以e= hV为单位进行。15.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为： 1）阴极 K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度 成正比；2）存在截止频V ； 3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系;04）光电效应是瞬时的。用光的波动理论解释光电效

2、应遇到的困难在于： 1）按照波动理论，光波的能量由光强决 定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关； 2） 若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发 生，不应存在红限； 3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所 需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。15.4波长入为O.lnm的X射线，其光子的能量 = 1.99 x 10 -15 J ;质量m = 2.21 x 10 -32 kg ；动量 p = 6.63 x 10 -24 kg - m - s-1 15.5 怎样理解光的波粒二象性？

3、答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。15.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 V = T （k） T （n） = R （丄）knk 2 n 2k取1,2,3，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，.15.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾： 1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是 连续的带状光谱； 2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。15.8如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系

4、估算子弹射出枪口时的横向速率.解：由不确定关系& x A p = m A x AU 1得x x 211.05 x 10 -34Au = 1.05 x 10 -30 m - s-1x 2mAx 2x 0.01 x 5x10-3即子弹射出枪口时的横向速率为1.05 x 10 -30 m - s-i .可见宏观粒子的波动性可以忽略。15.9 怎样理解微观粒子的波粒二象性？ 答：象光一样，实物粒子也具有波粒二象性，由于在通常情况下，实物粒子的波动性不明显而被忽视了。实物粒子也是粒子和波的统一，但粒子和波动都已不是经典意义下的概念 通过波函数的统计解释（即几率波）将二者统一起来了。15.10 什么是德布

5、罗意波？哪些实验证实微观粒子具有波动性？ 答：把与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，或叫物质波。波的频率和波长与实物粒子的能量和动量有如下德布罗意公式v= E / h， X = h / p。戴维孙和草末通过电子衍射实验证实了微观粒子的波动性。15.11如果加速电压U 10 6 eV，还可以用公式X = 1.225 /nm来计算电子的德布罗意波 长吗？为什么？答：若电压U 10 6eV，就不能用公式X = 1.225 / 12 .5 eV41所以受激发的氢原子可处去n=3的激发态；从这一激发态向n=2的低激发态和n=1的基 态跃迁，以及从低激发态n=2向基态跃迁时，都可发射光子，其光谱线波长分别

6、为2.998 x10 8 x 6.626 x10-34(E - E )/h321 1()x 13.6 x 1.602 x 10 -1949=6.565 x 10 -7 mch2.998 x108 x6.626 x10-34E - E31=1.026 x 10 - 7 m(1-1/9)x13.6x1.602 x10 -192 .998 x 10 8 x 6 .626 x10-34ch试计算氢原子巴耳末系最长的波长和最短的波长各等于多少？并由最短的波长确 定里德伯常数RH115.28解：vnk九nk1me411(E E )=()he n k 8s 2h3e k2 n20=1.216 x 10 -

7、7 mE -E (1-1/4)x13.6x1.602x10-19219.109 x 10 -3i x (1.602 x 10 -19)436 = 6.564 x 10 -7 m九 =x 4 = 3.647 x 10 -7 m，min 1 .0968969 x107(-)=1.0968969 x 10 7(一 - 一)8x 8.854 2 x10 -24 x 6.626 3 x10 - 34 x 3 x 2.998 x108 k2n2k2 n2k=2对应于巴耳末系，其中最长的波长（n=3）九max 1 .0968969 x 10 7 5最短的波长（nT a）和里德伯常数分别为4 R = 1.09

8、68969 x 10 7 m -1九 min15.29试证明氢原子中电子由n +1的轨道跃迁到n轨道时所放射光子的频率v介于电子 在n +1轨道和n轨道绕核转动频率v与v之间，并证明当n t 8时，v t vnn4证明.E 一 Eme411证明：v = e - = -(一 )/h =h8h22 (n+1)2n2me 4 n + 1 / 242h3 n2(n+1)200电子在 n 轨道绕核转动的频率为Un2兀rn而 U 满足ne2U i 2mr4ke r20由此得V4k m r0n则得 v h4兀百兀 m r3/24兀丫兀 mme 41n -0n0(r)-3/2 =兀 me 24 2 h3 n3

9、0同理得电子在 n+1 轨道上绕核转动的频率me41v =n+14 2h3 (n + 1)30显然丄 n +1/2 Ln3n2(n +1)2(n +1)3v vn+1显然，当 n T S 时,v = v ， 贝 Uv T vn+1 nn15.30在电子束中,电子的动能为200eV则电子的德布罗意波长为多少？当该电子遇到直 径为 1mm 的孔或障碍物时,它表现出粒子性,还是波动性？解：电子的动量p = m U = m l 旷=J 2 mE mk由德布罗意公式得其波长为6.63 x 10 -34h h九= =-=p 2 mE对于直径为d = 1mm = 1 x 10 -3m的孔或障碍物，由于d X

10、，所以电子表现出粒子性。15.31 假设粒子只在一维空间运动,它的状态可用如下波函数来描写j= = 8.683 x 10 -n m2 x 9.11 x 10 -31 x 200 x 1.6 x 10 -19x a屮（x, t）= 兀I Ae iEt / h sin xa式中E和a分别为确定常数A为任意常数，计算归一化波函数和几率密度p.解：由归一化条件可得卜卜 dx = Ja Ia| sin 2 xdx-m0=a2 = 1故A = V2/ax a那么归一化波函数为屮（x,t）十Eth兀sin xa0 x ax a相应的几率密度为o =15.32求一电子处在宽度为a = 1A和a=1m的势阱中的

11、能级值，把结果同室温(T=300K)下电子的平均动能进行比较,可得到什么结论？解：宽度为a的一维无限深势阱的能级为E =匹工n2 (n = 1,2,3,)n 2 ma 2当 a = 1A = 1 x 10 -10 m 时，E = 兀？x (1.055 x 10“ 2 = 6.03 x 10 -18 n 2J = 37.7 n 2 eVn 2x9.11x10-31 x1x10-20当 时兀 2 x (1.055 x 10 -34 )2当 a = 1 m 时, E =n2 = 6.03 x 10 -38 n2J = 3.77 x 10 - n2 eVn 2x 9.11 x10-31 x1在室温(

12、T = 300 K )下电子的平均平动能为33= kT = x 1.38 x 10 -23 x 300 = 6.21 x 10 -21 J = 3.88 x 10 -2 eV22相比之下可以看出，当 a = 1 Ao 时，各能级值及能级差比电子的平均平动能大好几个数量 级，但当a = 1m时，各能级值及能级差都远小于电子的平均平动能(仅是平均动能的1016分之一)。由此可见，对宏观问题，量子效应可以忽略。15.33质量为m、电量为q的粒子，在点电荷q所产生的电场中运动，求其薛定谔方程.12解：q在q的库仑场中的势能为V =124 冗s r它不显含时间，属定态问题。则描述q运动的薛定谔方程(定态

13、薛定谔方程)为1/ 、力2q qV 2 +122 m4e r .015.34 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为屮(x)八不sin匹x 试求：粒子在x=0 na到 x=a/3 之间被找到的几率,当(1) 粒子处于基态时；(2)粒子处于 n=2 的状态时.解(1)粒子处于基态(n=1),在x=0到x = a/3之间找到粒子的几率faiI2 fa兀21fa2兀1弋3p = J 3 2 2 dx = J 3 sin 2 xdx = x J 3 (1 一 cosx)dx = -= 0.196101a 0aa20a34兀(2) 粒子处于n=2的状态，在x=0到x = a/3之间找到粒子的几率faiI22

14、兀14兀1V3p = J 3 2 2 dx = J 3 sin 2 xdx = J 3 (1 一 cosx)dx =+= 0.402202a0aa0a38兀15.35求氢原子基态(n=1,l=0)的径向函数，基态的波函数和电子的几率密度最大处的半径等于多少？解：氢原子径向波函数R /r）。对于基态，径向波函数R （r） = 2（1/a）3/2e-r/a基态波函数nl 10屮(r,0 ,申)=R (r)Y (0 ,申)=R (r)= 鼻(丄)3/2 e-/a1001000=4兀 10兀 a径向几率密度p (r) = r2 Ir (r )l2101=4r2 ( )3 e-2r/aa由dp = 土（

15、2r - 2r2）e-2r/a= 0得几率密度最大处的半径为 dr a 3 a4ks 方24k X 8.855 x 10 -12 x (1.055 x 10 -34 )2r = a =0= 0.53 x 10-10 mm e29.11 x10-31 x (1.602 x10-19)2e15.36求角量子数i = 2的体系的L和厶之值及L与Z轴方向的最小夹角. 解: l = 2 体系，m = 0, 土 1, 土 2可取，0, 土方，土 2方I 厂L = l (/ + 1)力=* 6 力，L = m 方 zL与Z方向的夹角L=a r c c osz =Lm九a r c c o s、6九m=a r

16、c c os=则最小夹角0 = arccos =36.26。0615.37计算氢原子中l = 4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值. 解:l = 4 时m = 0, 土 1, 土 2， 土 3， 土 4。则角动量 L = vl （l + 1）九=2 5九角动量在外磁场方向的投影值L = m力可取0, 土方，土 2方，土 3方,土 4方z15.38求出能够占据一个d支壳层的最多电子数，并写出这些电子的m和m值. ls解：对于d支壳层，l = 2， m可取0, 土 1, 土 2共（21 + 1） = 5个值，m = 1/2 ls所以d支壳层相应的量子态数为10个，故最多可有10个电子占据该支

17、壳层。15.39某原子处在基态时，其K、L、M壳层和4s、4p、4d支壳层都填满电子.试问这是哪 种原子？解：K壳层（n=1 ）可容纳电子数为2x 12 = 2L壳层（n=2）可容纳电子数为2 x 22 = 8M壳层（n=3）可容纳电子数为2 x 32 = 184s支壳层（n=4，l=0）可容纳电子数为2（21 + 1） = 24p支壳层（n=4，l=1）可容纳电子数为2（21 + 1） = 64d支壳层（n=4，l=2）可容纳电子数为2（3l + 1） = 10则该原子的核外电子数为 N=2+8+18+2+6+10=46由此推知该原子是钯(P ,Z = 46)d*15.40已知N原子的某一激

18、发态和基态的能量差E - E = 16 .7 eV，试计算在T = 300K e 2 1时，热平衡条件下处于两能级上的原子数之比.解：由玻尔兹曼分布律得N2 = e-(E2 - E)/kT = e -16.7x1.6x10-19/(1.38x10- 23 x300) = e -645 0N1 按照玻尔兹曼分布律，粒子的分布随能量按指数规律衰减。由上述计算结果可以看出， 当两能级差较大时，高能态与低能态的粒子数之比趋于 0，粒子几乎全部处在低能态。*15.41硅与金刚石的能带结构相似，只是禁带宽度不同,已知硅的禁带宽度为1.14eV,金 刚石的禁带宽度为5.33eV,试根据它们的禁带宽度求它们能

19、吸收的辐射的最大波长各是多 少？解：由hv = E得v =hchA E对于AE = 1.14 eV = 1.824 x 10 -19 J的禁带宽度由上式计算可得对应辐射的最大波长X = 3 x 10 x 6.63 x 10 心=1.090 x 10 -6 m = 1.090 卩m11.824 x10 -19对于 AE = 5.33 eV = 8.528 x 10 -19 J“3 x 10 8 x 6.63 x 10 -34X = 2.33 x 10 -7 m = 0.233 卩m28.528 x10-19即硅和金刚石能吸收辐射的最大波长分别为1.090 卩m 和 0.233 卩m解(1) E = m u 2 = x 9.1 x 10 -31 xkiI