大一高数基础练习题.docx

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1、高等数学（理工类）1.设的定义域为，则复合函数的定义域为_；2.已知时，与是等价无穷小，则_；3函数，则_；4函数的拐点为_；，5设函数 ，当=_时， 在处连续；6. 设是由方程所确定的隐函数，则_；7函数的跳跃间断点是_；8定积分_；9已知点空间三个点则AMB= _；10已知，则_。二、计算题（每小题6分，共42 分）1求极限。2求极限=3设求。4、设 求以及。解 ，5计算不定积分。解 6、计算不定积分7计算定积分三、证明题（每小题8分，共16 分）1、设在区间上连续，在区间内可导，且，试证必存在使。证明 因为在上连续，所以在上连续，且在上有最大值和最小值。于是 所以 由介值定理知至少存在，

2、使。 因为，且在上连续，在内可导，由罗尔定理存在，使 。2、证明不等式：当时， 。证明 ，则当时，四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）1要建造一个体积为的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？解 设圆柱体的半径为，高，表面积为,，表面积最小。2求曲线，直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体体积。解 高等数学（理工）一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）；、； 、； 、。2、设函数在处连续,则（ ）；、； 、； 、； 、3、设在上可导，且若，则下列说法正确的是（ ）；、在上单调减少； 、在上单调增加；

3、 、在上为凹函数； 、在上为凸函数。4、下列不定积分计算正确的是（ ）；、； 、；、； 、。5、设在上连续，则下列论断不正确的是（ ）。；、是的一个原函数；. 、在内是的一个原函数.；、在内是的一个原函数； 、在上可积。二、填空题（每空 3 分，共 15 分）6、若则；7、曲线在点的切线方程为：_ _；8、曲线在内的拐点为 ； 9、当满足条件_时,反常积分 收敛； ；10、微分方程的阶数是_.；三、计算题（共 45 分） 11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：(1) (2) 12、求下列函数导数（每题6分，共12分）：(1) 设函数,求 ； 解 (2)设函数 由方程 所确定，求 ；解 ，

4、 将代入得13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：(1) (2) (3) 四、证明题(每小题 8分，共 16 分）14、证明：设证明 设，则，15、设在上连续，在上可导，且，求证在内至少存在一点使得成立.证明 设在上连续，在上可导，且，y由罗尔中值定理得 ，即有 五、应用题（共9分）16、求曲线与过该曲线上的点的切线及轴所围成的图形的面积解 ， ，切线方程 ，高等数学（上）一、单项选择题（本题共20分，每小题2分）1、函数的定义域为（ ）；、且； B、； 、； 、且。2、（ ）；、； B、不存在； 、1； 、0。3、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（ ）；、() ； 、 ()；、

5、 () ； 、 ()；4、设要使在处连续，则（ ）；、2； 、1； 、0 ； 、-1 5、设函数在内恒有，则曲线在内（ ）；、单调上升，向上凸； 、单调下降，向上凸；、单调上升，向上凹； 、单调下降，向上凹。6、设，则方程在实数范围内根的个数是（ ）；、4 ； 、3 ； 、2 ； 、1 。7、设，则（ ）；、； 、 ； 、 ； 、 。8、设函数在上是连续的，下列等式中正确的是（ ）；、； 、；、； ；。9、当时，与为等价无穷小，则= （ ）；、； 、1； 、2 ； ；-2。10、已知，则（ ）；、1； 、2； 、3 ； 、4。二、填空题（本题共10分，每空2分）1、设则 。；2、极限 ；3、设

6、，则 。；4、函数的不连续点为 。5、设，则。三、计算题1.（8分）求2、（7分）3、（7分）设 求。，4、（8分）设。解 设，两边同时求导得5、（7分） 6、（7分）7、（8分） 令，四、综合题1、（9分）求由曲线所围平面图形绕轴旋转的旋转体的体积。2、（9分）证明方程只有一个正根.证明 设函数在连续，令，为单调递增函数，又，由零点定理可知在只存在一点在，使在，则方程只有一个正根。理工高等数学一、填空题（本题共15分，每小题3分）1.函数的连续区间是 2.若，均为常数，则 ， ，；3.设函数由方程所确定，则曲线在点（1，1）处的切线方程是 ，4.设，则 . 5.设在可导，则二.求下列各题极限

7、（共28分）1. 2. 3. 4. 三计算题（共32分）5.设，求.，6.设，求.7.求由参数方程所确定的函数的导数,.；8. .解 方程两边同时求导得 ，四综合题（共27分）9 .求常数的值，使函数在处一阶可导.，；，。10.求函数的所有间断点，并指出其类型.，11.设为连续函数，求一、填空题（每空3分，共15分）1、已知的定义域是，则函数的定义域为_；2、_；3、积分与的大小关系是_；4、 .；解 又 时为曲线 的拐点。5、设，则 . 。二、选择题（每空3分，共15分）1、曲线在(0,0)点的切线斜率是（ ）；、 1 ； 、 ； 、0 ； 、 -1。2、设，则当时，有（ ）；、与是等价无穷

8、小； 、与是同阶但非等价无穷小；、是比高阶的无穷小； 、是比低阶无穷小。 3、设函数在上具有连续的导函数，且，（ ）；、； 、； 、 ； 、。4、下列积分发散的有（ ）； 、； 、； 、.； 、。5、设能使极限式成立，则（ ）。A. ； 、； 、 ； 、；三、计算下列各题（共52分）1、（7分）已知，求的导数。2、（7分）解 3、（7分）已知参数方程：，（），求所确定的函数的二阶导数。解：（）4、(7分）已知,求. 解: 令 ,则 ,.5、（8分）计算不定积分. 解：= .6、（8分）计算定积分.解：令 则 且 当 时, 当 时于是 7、求由曲线与直线围成的曲边梯形绕轴旋转所成的旋转体的体积（

9、8分）四、证明题（每小题9分，共18分）1、（9分）当时，.证：令, ,当时，在内单调增加.而即当时，2、（9分）设函数和在上存在二阶导数，且，证明 (1)在(a,b)内；（2）在(a,b)内至少存在一点，使.证：（1）反证法.设内存在一点使，则在上有,由罗尔定理知在内至少存在一点，使，同理在内也至少存在一点使，则，由罗尔定理，在内至少存在一点使，这与矛盾，故在内。（2）令由题设条件可知，在上连续，在 内可导，且,由罗尔定理可知，存在使得，即，由于，故。一、 填空题（每空3分，共24分）1、要使在处连续，则_；5；2、设的一个原函数为，则 ；3、设，则_；4、函数是当时的_同阶_无穷小量。（填

10、等价，同阶或高阶）。5、_；0；6、若，则_，_；7、函数的单调增加区间为_。二、求极限（每小题5分，共10分）。1、（5分）2、（5分）三、求导数（每小题6分，共18分）。1、（6分）求由方程所确定的隐函数的一阶导数和。解：方程两边同时对x求导，得，整理得，2、（6分）设函数的参数方程为，求，。解：，3、（6分）已知，求。解：方程两边取对数，得两边同时对x求导，得 四、求积分（每小题5分，共20分）。1、（5分）计算2、（5分）计算；解：令，则，原式=3、（5分）计算。解：令，则，当，原式=原式4、（5分）计算解：五、证明题（每小题8分，共16分）1、（8分）证明不等式：当时，。证明：设 ，当时，单调增加，即，得证。2、（8分）若在0，1上有二阶导数，且，证明在（0，1）内至少存在一点，使得。证明：在0，1上有二阶导数，则在0，1上有二阶导数，由罗尔定理，在（0，1）至少存在一点，使得，由罗尔定理，在内至少存在一点，使得。六、应用题（12分）在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）切点的坐标；（2）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。解：（1）设切点的坐标为，则过点的切线斜率为，于是切线方程为，和x轴交点为，由，得，因此切点坐标为)。切线方程，（2）=或 第 18 页 共 18 页