教育专题：212演绎推理学案（人教A版选修1-2）

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1、2.1.2演绎推理课标解读1.理解演绎推理的意义(重点)2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.演绎推理【问题导思】看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 0121)是奇数，所以(22 0121)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面1这两个问题中的第一句都说的是什么？【提示】都说的是一般原理2第二句又说的是什么？【提示】都说的是特殊示例3第三句呢？【提示】由一般原理对特殊示例作出判断1演绎推理(1)含义：从一般

2、性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理(2)特点：由一般到特殊的推理2三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P把演绎推理写成三段论形式将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33 是有理数；(4)ysin x(xR)是周期函数【思路探究】首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式【自主解答】(1)向量是既有大小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向

3、结论(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提033是循环小数，小前提033是有理数结论(4)三角函数是周期函数，大前提ysin x是三角函数，小前提ysin x是周期函数结论用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提3是整数，小前

4、提3是自然数结论(2)常数函数的导函数为0，大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常数函数结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提(0.333 33)是无限不循环小数，小前提是无理数结论【解】(1)结论是错误的，原因是大前提错误自然数是非负整数(2)结论是错误的，原因是推理形式错误大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33)是循环小数而不是无限不循环小数.三段论在证明几何问题中的应用图214已知在梯形ABCD中(如图214)，DCDA，ADBC.求证：AC平分BCD.(用三段论证明)【思路

5、探究】观察图形DCDA12ADBC1323【自主解答】等腰三角形两底角相等，大前提ADC是等腰三角形，1和2是两个底角，小前提12.结论两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提13.结论等于同一个角的两个角相等，大前提21，31，小前提23，即AC平分BCD.结论1三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提试用更简洁的语

6、言书写本例的证明过程【解】在DAC中，DADC，12，又ADBC，13，23，即AC平分BCD.合情推理、演绎推理的综合应用图215如图215所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影(1)求证：O为BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明【思路探究】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为BCD的垂心(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明【自主解答】(1)ABAD，ACAD，AD平面ABC，ADBC，又AO平面BCD，AOBC，且ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可证C

7、DBO，O为BCD的垂心(2)猜想：SSSS.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EOED，(BCAE)2(BCEO)(BCED)，即SSBOCSBCD.同理可证：SSCODSBCD，SSBODSBCD.SSSSBCD(SBOCSCODSBOD)SBCDSBCDS.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证已知命题：“若数

8、列an是等比数列，且an0，则数列bn(nN*)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列bn也是等差数列证明如下：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列数形结合思想在演绎推理中的应用数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既

9、分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决若函数f(x)log2(x1)，且cba0，则、的大小关系是()A.B.C. D【思路点拨】作出函数f(x)log2(x1)的图象找三点(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)结论的几何意义结论【规范解答】作出函数f(x)log2(x1)的图象如图所示，、可看作三点与原点的连线的斜率由图知A项正确【答案】A运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征本题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！1演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推

10、理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确2在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数以上推理()A结论正确B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确【解析】函数f(x)sin(x21)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.【答案】C2三段论“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的”中的小前提是()AB CD【解析】本题中为大前提，为小前提，为结论【答案】D3“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以3

11、5是奇数”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：_小前提：_结论：_【解析】根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数【答案】不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数4用三段论的形式写出下列命题：(1)RtABC的内角和为180；(2)通项公式an2n3的数列an是等差数列【解】(1)三角形的内角和是180，大前提RtABC是三角形，小前提RtABC的内角和为180.结论(2)若n2时，anan1为常数，则an是等差数列，大前提an3n2，anan13，小前提则an是等差数列结论一、选择题1已知ABC中，A30，B60

12、，求证ab.证明：A30，B60，AB，ab，画线部分是演绎推理的()A大前提B小前提C结论 D三段论【解析】结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提【答案】B2(2013三亚高二检测)“指数函数yax(a0且a1)是R上的增函数，而y()x是指数函数，所以y()x是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是()A大前提 B小前提C大、小前提 D推理形式【解析】指数函数yax在a1时在R上是增函数，当0a1时，在R上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错【答案】A3在不等边三角形中，a为最大边要想得到A为钝角的结

13、论，三边a，b，c应满足的条件是()Aa2b2c2 Da2b2c2【解析】cos A0，b2c2a2b2c2.【答案】C4下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，因为A和B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以AB180B我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C由633,835,1037,1257,1477，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式【解析】B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理

14、【答案】A5“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”以上推理的大前提是()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】大前提为矩形都是对角线相等的四边形【答案】B二、填空题6在求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是“当有意义时，a0”；小前提是“有意义”；结论是_【解析】由log2x20得x4.【答案】“y的定义域是4，)”7已知推理：因为ABC的三边长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角

15、形；小前提：ABC的三边长依次为3,4,5，满足324252；结论：ABC是直角三角形【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形图2168如图216所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，BCAD.又因为ABC和CDA的三边对应相等，所以ABCCDA.上述推理的两个步骤中应用的推理形式是_【答案】演绎推理三、解答题9把下列演绎推理写成三段论的形式(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，ytan

16、 是三角函数，因此ytan 是周期函数【解】(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ，小前提水会沸腾结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(21001)是奇数，小前提(21001)不能被2整除结论(3)三角函数都是周期函数，大前提ytan 是三角函数，小前提ytan 是周期函数结论10如图217，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理图217【证明】因为同位角相等，两条直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以EDAF.结论11已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性【解】设0x1x2，则f(x1)f(x2)(bx1)(bx2)(x2x1)(b)当0x10,0x1x2b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，上是减函数，当x2x1时，则x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在，)上是增函数.