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1、中深教育数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1 已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得： = 1二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设（设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。 例4 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若
2、将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a1时，（分组求和）当时，四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3）（4）例9 求数列的前n项和.解：设，则 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和： 例14 在各项均为正数的等比数列中，若的值。解：设由等比数列的性质 和对数的运算性质 得： 10五、利用数列
3、的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例15 求之和.解：由于 数列求和练习1、（东莞市2015届高三）数列的前n项和为，数列是首项为a1，公差不为零的等差数列，且成等比数列（1）求的值；（2）求数列 的通项公式；（3）求证：2（惠州市2015届高三）已知递增等差数列中的是函数的两个零点数列满足，点在直线上，其中是数列的前项和（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和3、已知等比数列的前项和为，且，成等差数列求数列的通项公式；设数列满足，求适合方程的正整数的值4、（要用放缩法）已知数列的
4、前项和为,若(),且.() 求证：数列为等差数列；() 设,数列的前项和为,证明:().数列求和练习答案1、（东莞市2015届高三）数列的前n项和为，数列是首项为a1，公差不为零的等差数列，且成等比数列（1）求的值；（2）求数列 的通项公式；（3）求证：解：（1），当时，解得；当时，解得；当时，解得 3分（2）当时， 5分得又，数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为 7分，设公差为，则由成等比数列，得， 解得（舍去）或， 所以数列的通项公式为 （3）令， 11分两式式相减得， ， 又，故2（惠州市2015届高三）已知递增等差数列中的是函数的两个零点数列满足，点在直线上，其中
5、是数列的前项和（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和【解析】（1）因为，是函数的两个零点，则 ，解得：或.2分 又等差数列递增，则，所以 .4分因为点在直线上，则。当时，即.5分当时， ，即.6分所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.7分(2)由（1）知：且， .8分则 .9分所以 . 10分-得： .12分所以. 或写 . 14分3、已知等比数列的前项和为，且，成等差数列求数列的通项公式；设数列满足，求适合方程的正整数的值1、解：（1）设数列的公比为，由，得由，成等差数列，故，所以，得，故.2分解得，或（舍）.4分所以；6分（2）由（1）得，故，8分所以.9分.11分由题意得. 13分解得，满足题意得. 14分4、（要用放缩法）() 由题设,则，.当时，,两式相减得, 2分方法一：由，得，且.则数列是常数列，即，也即 6分所以数列是首项为,公差为的等差数列 7分方法二：由，得，两式相减得,且 6所以数列等差数列. 7分 () 由()得,9分当时,成立；10分当时,12分所以 综上所述,命题得证.14分10
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