1.2复数的几何表示

《1.2复数的几何表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.2复数的几何表示（27页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1.2复数的几何表示1.复平面的定义复平面的定义.,.),(面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz .),(表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 2.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值),的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z ,表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上

2、的向量复数复数OPiyxz .22yxrz 记为记为xyxyoiyxz Pr显然下列各式成立显然下列各式成立,zx ,zy ,yxz .22zzzz 3.复数的辐角复数的辐角 0,Arg.zOPzz在的情况下 正实轴逆时针转到向量的角称为 的辐角记作说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z ,1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).(2Arg1为任意整数为任意整数kkz ,0,0 ,zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.顺时针角度顺时针角度为负为负辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg ,Arg ,)0(000zzz

3、记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在,0 x)2arctan2(xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg,0,0 yx,0,0 yx.0,0 yx,arctanxy,2,arctan xy,辐角主值与实部虚部关系辐角主值与实部虚部关系4.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致.5.复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz ,2121故故之间的距离之

4、间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo1z2z.实轴对称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表

5、示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz解解zr )1(,4412 ,在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz找出模与幅角找出模与幅角指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2(iz,1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 例例2 2.,0 ,sincos1 的辐角的主值的辐角的主值并求并求式式三角表示式与

6、指数表示三角表示式与指数表示化为化为把复数把复数ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指数式指数式).2arg z例例3 3.(2);(1):,2121212121zzzzzzzzzz 证明证明为两个任意复数为两个任意复数设设证证21(1)zz)()(2121zzzz)(2121zzzz)(2211zzzz.21zz 221(2)zz )()(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 221zz 222

7、1zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz ,)Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz 例例4 4.,:133221232221321zzzzzzzzzzzz 点的充要条件是点的充要条件是成为等边三角形顶成为等边三角形顶三个复数三个复数证明证明证证 :321件为件为是等边三角形的充要条是等边三角形的充要条zzz ,3 3 31121zzzzz即得向量即得向量或或旋转旋转绕绕向量向量 1z2z3z,)(31213iezzzz 即即,2321 1213izzzz 或或,2321 1213izzzz

8、两边平方两边平方,并化简得并化简得.133221232221zzzzzzzzz 下面例子表明下面例子表明,很多平面图形能用复数形很多平面图形能用复数形式的方程式的方程(或不等式或不等式)来表示来表示;也可以由给定的也可以由给定的复数形式的方程复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的来确定它所表示的平面图形平面图形.例例5 5.222111表示表示线用复数形式的方程来线用复数形式的方程来的直的直与与将通过两点将通过两点iyxziyxz 解解 ),(),(2211的直线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()(121121 yytyyxxtxx),(t参数参数所以它的复数形

9、式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),(t参数参数 ,21的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得线段得线段zz.221zzz 例例6 6.1,1 .,),10(2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz 且且半径为半径为其圆心为其圆心为平面上的一个圆周平面上的一个圆周表示表示证明方程证明方程证证 ,0 zz圆周圆周 ,0代入代入和和将将 z 22211)(kzzkzz2211kzzk ,)(21221zzkzzkzz ,2zz 两边同除以两边同除

10、以,121221 zzzzkkzzzz ,21zzzzw 令令,12 wkkw两边同时平方两边同时平方,12222 wkkw,22kw 于是于是,kw .21kzzzz 故故例例7 7求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz解解.2 2)1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i ,iyxz 设设,2)1(iyx,2)1(22 yx.4)1(22 yx圆方程圆方程22)2(ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点

11、i.22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i ,iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3(zi ,iyxz 设设,)1(iyxzi ,41)Im(yzi.3 y所求曲线方程为所求曲线方程为二、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义 ,0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z ,与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S,NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 .,为南极为南极为北极为北极我们称我们称SNxyPNOS 球面上

12、的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应,记作记作 .因而球面因而球面上的北极上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示.3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无

13、穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简称复平面.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数对于复数 来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.:的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(,:)1(加法加法)(,:)2(减法减法)0(,:)3(乘法乘法)0(,0),(,0 :)4(除法除法三、小结与思考 学习的主要内容

14、有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的复数的各种表示法各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面复平面.注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应,所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?思考题答案思考题答案否否.,0 的情况特殊的情况特殊唯有唯有 z它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.