2023年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标.理)含详解

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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。(1)复数的共轭复数是A B C D2以下函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是A (B) C (D) 3执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是A120 B720 C1440 D50404有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，那么这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A B C D5角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，那么=A B C D6在一个几何体的三视图中，正视图

2、和俯视图如右图所示，那么相应的俯视图可以为7设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为A B C2 D38的展开式中各项系数的和为2，那么该展开式中常数项为A-40 B-20 C20 D409由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A B4 C D610a与b均为单位向量，其夹角为，有以下四个命题其中的真命题是A B C D11设函数的最小正周期为，且，那么A在单调递减B在单调递减C在单调递增D在单调递增(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A2 (B) 4 (C) 6 (D)8第二卷本卷包括必考题和选考题两局部

3、。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分。13假设变量满足约束条件那么的最小值为 。14在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为。15矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,那么棱锥的体积为。16在中，那么的最大值为。三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。17本小题总分值12分等比数列的各项均为正数，且)求数列的通项公式；设求数列的前n项和.(18)(本小题总分值12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边

4、形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()假设PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。19本小题总分值12分某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方分别称为A配方和B配方做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X单位：元，求X的分布列及数学期望.以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一

5、件产品的质量指标值落入相应组的概率20本小题总分值12分 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。求C的方程；P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。21本小题总分值12分函数，曲线在点处的切线方程为。求、的值；如果当，且时，求的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分。做答时请写清题号。22本小题总分值10分选修4-1：几何证明选讲如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。的长为，的长是关于的方程的两个根。证明：，四点共圆；假设，且，求，所在圆的半径。(23)

6、(本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.(24)(本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中。当时，求不等式的解集；假设不等式的解集为 ，求a的值。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题1C 2B 3B 4A 5B 6D7B 8D 9C 10A 11A 12D二、填空题13-6 14 15 16三、解答题17解：设数列a

7、n的公比为q，由得所以。由条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。故所以数列的前n项和为(18)解：因为, 由余弦定理得从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，那么,。设平面PAB的法向量为n=x,y,z，那么即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，那么 可取m=0，-1， 故二面角A-PB-C的余弦值为 19解由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B配方

8、生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.68(20解：()设M(x,y),由得B(x,-3),A(0,-1).所以=-x,-1-y,=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意可知+=0,即-x,-4-2y(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x

9、,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。那么O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.21解：由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。由知，所以。考虑函数，那么。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x1，+时，hx0从而当x0,且x1时，fx-+0，即fx+.ii设0k0,故 (x0,而h1=0，故当x1，时，hx0，可得hx0,而h1=0，故当x1，+时，hx0，可得 hx0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。故所以数列的前n项和为(18)(本小题总分值12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面AB

10、CD.()证明：PABD；()假设PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解析1：因为, 由余弦定理得从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD 平面PAD. 故 PABDzxPCBADy如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，那么,。设平面PAB的法向量为n=x,y,z，那么, 即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，那么 可取m=0，-1， 故二面角A-PB-C的余弦值为 19本小题总分值12分某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品

11、，现用两种新配方分别称为A配方和B配方做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X单位：元，求X的分布列及数学期望.以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率解析：由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42用B配方

12、生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,X-224P0.040.540.42即X的分布列为X的数学期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.6820本小题总分值12分 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。求C的方程；P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。解析; ()设M(x,y),由得B(x,-3),A(0,-1).所以=-x,-1-y,=(0

13、,-3-y),=(x,-2).再由题意可知+=0, 即-x,-4-2y(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。那么o点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.21本小题总分值12分函数，曲线在点处的切线方程为。求、的值；如果当，且时，求的取值范围。解析：由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。由知，所以。考虑函数，那么。(i)设，由知，当时，h(x)递减。而故当时，可得；当x1，+时，hx0从而当x0,且x1时，fx-+0，即fx+.ii设0k0,故 (x0,而h1=0，

14、故当x1，时，hx0，可得hx0,而h1=0，故当x1，+时，hx0，可得 hx0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为-，0点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。假设求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分。做答时请写清题号。22本小题总分值10分选修4-1：几何证明选讲如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。的长为，AC的长为n,，的长是关于的方程的两个根。证明：，四点共圆；假设，且，求，所在圆的半径

15、。解析：I连接DE，根据题意在ADE和ACB中，即.又DAE=CAB,从而ADEACB 因此ADE=ACB 所以C,B,D,E四点共圆。m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A=900，故GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5(23)(本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xO

16、y中，曲线C1的参数方程为为参数M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.解析; I设P(x,y),那么由条件知M().由于M点在C1上，所以 即 从而的参数方程为为参数曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.(24)(本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中。当时，求不等式的解集；假设不等式的解集为 ，求a的值。解析：当时，可化为。由此可得 或。故不等式的解集为或。() 由 得 此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为由题设可得=，故