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1、1.1.二元函数的二元函数的TaylorTaylor公式公式)n,m()y()x(yxfC)y,x(f)yyxx,)y(yfyxyxf)x(xf)y,x(f)yyxxyyfxxf)y,x(f)yyxxkmkkmkmmkkmm1212022222222 （微微分分符符号号：为为方方便便起起见见，引引进进下下列列第第5.75.7节节 多元函数的多元函数的TaylorTaylor公式与极值公式与极值10),()!1(1),()!1),()!21),(),(),(),(),(1)(),(001000020000000000000其中（有阶连续偏导数，则有内的某邻域在点设二元函数yyxxfyyxxnyx
2、fyyxxnyxfyyxxyxfyyxxyxfyyxxfMNyyxxMnMNyxMfnn定理定理 1 公式：零阶Taylor10),(),(),(),(00000000yyyxxfxyyxxfyxfyyxxfyx二元函数的中值定理二元函数的中值定理MLagrangeTaylor0称为函数f（x,y）在点的带余项的n阶公式。公式：一阶Taylor),()(!21 ),()(),(),(002000000yyxxfyyxxyxfyyxxyxfyyxxfyxyfyxfyxfxfyxyfxfyxyxfMM*022222200),(21),(),()10(),(00*yyxxM其中)(MHHessian
3、ff矩阵的1)(0 ),()()!1(1 )0,0()(!1 )0,0()(!21 )0,0()()0,0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn时，有)0,0(),(00yx公式阶的Maclaurinnf2.极值极值定义：设定义：设 f(x,y)在点在点 M0的某邻域的某邻域 N(M0)中有定义，中有定义，000MN(),MMM0000极小值极大值如果 有 f(x,y)()f(x,y),则称f(x,y)在 有极小（大）值f(x,y).极值点 极值 y yz zo ox xy yz zo ox x;0)0,0()0,0(),(:22 fyxyxf处处有有极极小小
4、值值点点在在函函数数例例如如定定理理 1（极极值值存存在在的的必必要要条条件件）设函数),(yxfz 在点),(yx处可微，且在点),(yx处有极值，则必有 0),(yxfx，0),(yxfy。证明：不妨设)y,x(fz 在点),(yxM处取得极大值。则对于点),(yxM的某邻域内异于点),(yxM的点)y,x(，都有),(),(yxfyxf。特殊地，取yy，xx 的点，则应有 ),(),(yxfyxf。这表明一元函数),(yxfz在点xx处取得极大值，故必有0),(yxfx。类似地可证0),(yxfy。定理 1 可推广到n元函数。同时满足0),(yxfx，0),(yxfy的点)y,x(称为函
5、数),(yxfz 的驻点驻点。1.Th1说明说明可微可微函数的极值点必为驻点；反之，函数的极值点必为驻点；反之，驻点不一驻点不一 定是极值点。如：定是极值点。如：不存在。）处，）不是驻点，因为在（，但，取得极值，在yxffyxyxfz,0000(0)00(),(22注：注：2.同时注意极值点未必是驻点；例如同时注意极值点未必是驻点；例如:0)00(,)0(,)0()00()00(22,),(2222，不是极值点，；但，驻点为，fyyfxxfyfxfxyyxfzyx驻点与一阶偏导数不存在的点是可 能的极值点。定理定理 2：（二元函数极值的充分条件）：（二元函数极值的充分条件）求求函函数数),(y
6、xfz 的的极极值值的的步步骤骤 （1）求偏导数xf，yf，xxf，xyf，yyf；（2）解方程组0),(0),(yxfyxfyx，求出一切驻点；（3）对于每一驻点),(yx，求出),(yxfAxx，),(yxfBxy，),(yxfCyy的值；（4）定出2BAC 的符号，按定理 2 的结论判定 出),(yxf是否是极值、是极大值还是极小值。例 1求函数xyyxyxf3),(33的极值。解：11 00033),(033),(22yxyxxyyxfyxyxfyx和，驻点为（0，0），（1，1）。6),(3,),(,6),(yyxfyxfxyxfyyyxxx。（1）在驻点（0，0）处，00),0(3
7、,0),0(0,0),0(yyyxxxfCfBfA，092 BAC,函数),(yxf在点（0，0）无极值。（2）在驻点（1，1）处，61),1(3,1),1(6,1),1(yyyxxxfCfBfA，0273692 BAC,且0A，函数),(yxf在点（1，1）有极小值1)1 ,1(f。在实际问题中，如果能判断出函数的最大（小）在实际问题中，如果能判断出函数的最大（小）值必在值必在D的内部取得，而在的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可内只有一个驻点，则可以肯定该驻点就是要求的最大（小）值点。以肯定该驻点就是要求的最大（小）值点。求出求出f(x,y)在在D内的可能极值点（驻点和偏导数内的可能极值
8、点（驻点和偏导数不存在的点）处的函数值及在不存在的点）处的函数值及在D的边界上的最大（小）的边界上的最大（小）函数值，则其中最大（小）函数值，则其中最大（小）者即为者即为 f(x,y)在在D上的最上的最大（小）值。大（小）值。设设 f(x,y),D为有界闭域，则为有界闭域，则 f(x,y)在在D上必有最大上必有最大,小值。小值。DC最大值和最小值最大值和最小值例 2.1:),(22最大值与最小值上的在求yxDxyyxyxfz0)0,0()0,0(02,02:fDfxyfyxfyx此时，内的驻点为在得由解OyxD1 yx1 yx,21063)10()1(311xxdxdzxxxzyx上，在边界1
9、,41,1021xxxzzz此时1,43,21012)10()1(111021xxxzzzxxdxdzxxxzyx此时上，在边界0),(min,1),(max),(),(yxfyxfDyxDyx解：设水箱的长为xm，宽为ym，则高mxyh2。此水箱所用材料的面积)22(2xyxxyyxyA，即)0,0()22(2yxyxxyA。令0)2(20)2(222yxAxyAyx解之，得32 yx，函数A在定义域0,0),(yxyxD内只有唯一的驻点)2,2(33，又由问题的实际意义可知,函数A在定义域D内一定有最小值，当水箱的长和宽均为m32，高为m3332222时，水箱所用的材料最省。在条件0),(
10、zyx的限制下，求函数),(zyxfu 的极值，叫做条件极值问题，方程0),(zyx叫做约约束束方方程程。拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 设),(zyxf和),(zyx在所考虑的区域内具有连续的一阶偏导数，且0z。由方程0),(zyx所确定的隐函数为),(yxzz，则zxxz，zyyz，条件极值条件极值 3xzzxzxffxzffxu，yzzyzyffyzffyu，由极值存在的必要条件得 0),(00 00zyxffffyuxuyzzyxzzx即 解此方程组，得可能极值点),(zyx。),(,(),(),(yxzyxfuzyxfuyxzz 得得代代入入 从这个方程组解出x，y，z，其中(zyx,
11、)即为可能极值点。这种方法叫做拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法。方程组表示了函数 ),(),(),(zyxzyxfzyxF 的四个一阶偏导数等于 0：注注：（1）若由问题的实际意义知必存在条件极值，且只有 唯一的驻点，则该驻点即为所求的极值点。（2）拉格朗日乘数法可推广到自变量多于三个而约束 条件多于一个的情形。例如：求函数),(tzyxfu 在约束条件0),(tzyx，0),(tzyx下的极值，可构造辅助函数),(),(),(),(2121tzyxtzyxtzyxftzyxF。解：设044),(222zyxzyxF，切点为),(zyx（0,0,0zyx），xzyxFx8),(，yzyxFy2),
12、(，zzyxFz2),(，则椭球面在点),(zyx处的切平面方程为 0)(2)(2)(8zzzyyyxxx，又切点),(zyx满足：44222zyx，故切平面方程为：44zzyyxx，其截距式方程为1441zzyyxx，故切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为zyxzyxV3844161。下面求zyxV38在条件下44222zyx的最小值。令),(zyx)44(38222zyxzyx，08382xzyxx，02382yzyxy，02382zzyxz，044222zyx，解得：31x，32y，32z。函数V在第一卦限内求得的驻点是唯一的，且V 必有最小值，在点)32,32,31(处，V取得最小值
13、。例 5.之间的最短距离。与平面求曲面014323422zyxyxyxz18|14|)(323422zyxdzyxyxyxz：则该点到平面的距离为，上任取一点方法一：在曲面解：)4323()14(181222zyxyxzyxF令8218|1414141|,1614112626dzyxxyyx，解得：221(41)(62)091(41)(62)094(41)(4)09 32340 xyzFxyzxyFxyzyxFxyzxxyyz 最短距离。平面的距离即为所求的平行时，切点到切平面与平面处的上点方法二：当曲面014323422zyxMyxyxz8218|1414141|d1614144126126,014),4,26,26(),(323422zyxxyyxzyxxyyxnzyxMyxyxz代入曲面方程得：则平行切平面与平面法向量为处的上点曲面解：0)22()2(222xxyxxz，02)2(222yxyxyz，得圆域D内的驻点（1，0），1)0 ,1(z，在圆域D的 边界上有00222xyxz，在圆域D上1maxz，0minz。:作业16 ;11);4(7);1(6);3)(1(5)58(7.5P习习题题
高等数学A：5_7多元函数的Taylor公式与极值
