高等数学I习题课(08)

《高等数学I习题课(08)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学I习题课(08)（27页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1习习 题题 课课 八八一、选择题一、选择题（1 1）设在）设在00，11上，上，0)(xf，则下列不等式，则下列不等式 成立的是（成立的是（）（A A）)0()0()1()1(ffff ；（B B）)0()1()0()1(ffff ；（C C）)0()1()0()1(ffff ；（D D）)0()1()0()1(ffff 。A2解解题题思思路路：利利用用微微分分中中值值定定理理及及一一阶阶导导数数的的单单调调性性。解解：由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理可可知知，存存在在)1,0(，使使得得)()0()1(fff，0)(xf，)(xf 单单调调增增加加，故故)1()()0(fff ，)0(

2、)0()1()1(ffff 。选（选（A）。）。3（2 2）设函数）设函数)(xf在定义域内可导，在定义域内可导，)(xfy 的图形如图所示，则导的图形如图所示，则导 函数函数)(xfy 的图形为（的图形为（）)(xfy xyo)(xfy xyo（A）)(xfy xyo（B）)(xfy xyo（C）)(xfy xyo（D）D4（3 3）设函数）设函数)(xf在在),(内连续，其导函数的内连续，其导函数的 图形如图所示，则图形如图所示，则)(xf有（有（）（A A）一个极小值点和两个极大值点；）一个极小值点和两个极大值点；（B B）两个极小值点和一个极大值点；）两个极小值点和一个极大值点；（C

3、C）两个极小值点和两个极大值点；）两个极小值点和两个极大值点；（D D）三个极小值点和一个极大值点。）三个极小值点和一个极大值点。)(xfy xyoC5（4 4）在在区区间间),(内内方方程程0cos2141 xxx()（A A）无无实实根根；（B B）有有且且只只有有一一个个实实根根；（C C）恰恰好好有有两两个个实实根根；（D D）有有无无穷穷多多个个根根。解解:设设xxxxfcos)(2141 ，则，则为为偶偶函函数数)(xf，),1(x时时，1cos)(212141 xxxxxf，),1()(在在xf内内无无零零点点。1,0)(在在xf上连续、可导，上连续、可导，只只要要考考察察),0

4、)(在在xf内内零零点点的的情情况况。60sin2141)(2143 xxxxf，严严格格单单增增在在1,0)(xf，01)0(f，01cos2)1(f，由零点定理知，由零点定理知，)1,0(，使，使0)(f，故故)1,0()(在在xf内有且只有一个零点，内有且只有一个零点，),0)(在在xf内有且只有一个零点。内有且只有一个零点。综上可知，在综上可知，在),(内方程内方程 0cos2141 xxx恰好有两个实根。恰好有两个实根。应选（应选（C）。）。7（5 5）曲线）曲线21xxey（）（A A）仅有水平渐近线；（）仅有水平渐近线；（B B）既有垂直又有水平渐近线；）既有垂直又有水平渐近线；

5、（C C）仅有垂直渐近线；（）仅有垂直渐近线；（D D）既有垂直又有斜渐近线。）既有垂直又有斜渐近线。1lim)(lim21 xxexxfaxxx，D解：解：xt1 令令，texettxx22limlim10，曲线有一条垂直渐近线曲线有一条垂直渐近线0 x。801lim)(lim)(lim212 xxxxeaxxfbxxxx，曲曲线线有有一一条条斜斜渐渐近近线线xy，故故应应选选(D D)。9（6 6）设）设)(xf在在0 x的某邻域内连续且的某邻域内连续且0)0(f，2cos1)(lim0 xxfx，则，则)(xf在在0 x处（处（）（A A）不可导；（）不可导；（B B）可导且）可导且0)

6、0(f；（C C）有极大值；（）有极大值；（D D）有极小值。）有极小值。D解题思路解题思路：若：若)0(f 存在，则（存在，则（A A）不对；若）不对；若0)0(f，则（则（B B）不对；由）不对；由0)0(f，0)0(f可知，可知，)0(f可能可能 是极值，是极大值还是极小值，只需看在是极值，是极大值还是极小值，只需看在),0(N内内 0)(xf还是还是0)(xf。10解：解：xxfxfxffxx)(lim0)0()(lim)0(00 xxxxfxcos1cos1)(lim0 ,01sinlim2cos1lim200 xxxxx （A A）、（B B）都都不不对对。由由02cos1)(li

7、m0 xxfx的保号性以及的保号性以及0cos1 x，可知，可知 在在),0(N内内恒恒有有0)(xf，)0(f故故是是极极小小值值。11（7 7）设函数）设函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上有定义，在开区间上有定义，在开区间 ),(ba内可导，则（内可导，则（）（A A）当）当0)()(bfaf时，存在时，存在),(ba ，使，使0)(f；（B B）),(ba ，有，有0)()(lim fxfx；（C C）当）当)()(bfaf 时，存在时，存在),(ba ，使，使0)(f；（D D）存在）存在),(ba ，使，使)()()(abfafbf 。B12（8）,0)0(,)(满足满足且对一切且

8、对一切三阶可导三阶可导设设xfxf 则则 ,)()(2xxfxf （）的极大值的极大值是是)()0()(xffA；的极小值的极小值是是)()0()(xffB；的拐点的拐点是曲线是曲线点点)()0(,0()(xfyfC；也不是曲线也不是曲线点点的极值的极值不是不是)0(,0(,)()0()(fxffD 的拐点的拐点)(xfy。C13解题思路解题思路：利用三阶导数和极限的保号性。利用三阶导数和极限的保号性。解：把解：把0 x代入等式，得代入等式，得0)0()0(2 ff0)0(f。2)()(xfxxf ，)()(21)(xfxfxf ，1)0(f。01)(lim)0()(lim)0(00 xxfx

9、fxffxx，)(xf 在在点点0 x两两侧侧与与x同同号号，由由负负变变正正，故故)0(,0(f是拐点。是拐点。,0)(),0(,xxfN内内在在由极限的保号性知由极限的保号性知14（9 9）设）设 n 为正整数，则为正整数，则xnenxxxxf )!21()(2 （）（A A）有极小值；）有极小值；（B B）有极大值；）有极大值；（C C）既无极小值也无极大值；）既无极小值也无极大值；（D D）)(xf有无极值依赖于有无极值依赖于 n 的取值。的取值。D15解：解：xnenxxxxf )!1(!21()(12 xnenxxx )!21(2xnenx !，当当 n 为为偶偶数数时时，0)(x

10、f，)(xf单单调调减减少少，既既无无 极极小小值值也也无无极极大大值值；当当 n 为为奇奇数数时时，由由于于0)0(f，当当0 x时时，0)(xf；0 x时时，0)(xf，故故0 x是是)(xf的的极极大大值值点点。综上可知，应选（综上可知，应选（D）。）。16（1 10 0）若若032 ba，则则方方程程0)(23 cbxaxxxf（）。（A A）无无实实根根；（B B）有有唯唯一一实实根根；（C C）有有两两个个实实根根；（D D）有有三三个个实实根根。解解：)(limxfx，)(limxfx，方方程程0)(xf至至少少有有一一实实根根。baxxxf 23)(2，0)3(42 ba，0)

11、(xf，从从而而)(xf在在),(内内单单增增，故故方方程程0)(xf有有唯唯一一实实根根，应应选选（B）。B17二二、证证明明题题1 1设设0 x，常数，常数ea，证明：，证明：)(xaaaxa 。分析分析：要证：要证)(xaaaxa ，只须证，只须证axaxaaln)()ln(，只须证只须证aaxaxaln)ln(（0 x）。）。证明证明：设：设xxxfln)(（0 x），则），则2ln1)(xxxf ，当当ex 时时，0)(xf，当当ex 时时，)(xf单单调调减减少少，eaxa ，)()(afxaf ，即即aaxaxaln)ln(，axaxaaln)()ln(，从而从而)(xaaaxa

12、 。182 2设设0 ,nm，ax 0，证明：证明：nmnmnmnmanmnmxax )()(。证明证明：设：设nmxaxxf)()(，则，则,0)(aCxf，11)()()(nmnmxanxxamxxf,)()(11xnmmaxaxnm )(xf在在),0(a内的驻点为内的驻点为nmmax ，19 0)()0(aff，nmnmnmanmnmnmmafxf )()()(，)(xf在在上上的的最最大大值值为为,0 a)(xf，故故)()(xfxf，即即nmnmnmnmanmnmxax )()(。203 3设设)(xf在在),a上上可可导导，且且当当ax 时时，0)(kxf，其其中中k 为为常常数

13、数。证证明明如如果果0)(af，则则方方程程0)(xf在在 ),(kf(a)aa 内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根。证明证明：记：记kf(a)ab ，显然，显然ab，由由Lagrange中值定理可知，中值定理可知，),(ba ，)()()()()()()(afkkaffkafabfafbf ，0)(bf，210)(kxf，)(xf在在),(ba内内单单调调增增加加，)(xf在在),(ba内内只只有有一一个个零零点点，即即方方程程0)(xf在在),(kf(a)aa 内内有有且且仅仅有有一一个个实实根根。又又0)(af，由由零零点点定定理理可可知知，至至少少存存在在一一点点),(ba ，使使0

14、)(f，即即方方程程0)(xf在在),(ba内内至至少少有有一一个个实实根根。22三、解答题三、解答题 1 1设设0 x，求满足不等式，求满足不等式xAx ln的最小正数的最小正数A A。分析分析：由：由xAx lnAxx ln，故该问题实际上，故该问题实际上 是求是求xxln在在),0(上的最大值。上的最大值。解解：设设xxxfln)(，232ln221ln1)(xxxxxxxxf ，23 令令0)(xf，得唯一驻点，得唯一驻点2ex，当当20ex 时，时，0)(xf；当当 xe2时，时，0)(xf，2ex 是是)(xf的极大值点，也是最大值点，的极大值点，也是最大值点，eeeefA2ln)

15、(222 即为所求。即为所求。242讨讨论论曲曲线线kxy ln4与与xxy4ln4 的的交交点点个个数数。解：问题等价于讨论方程解：问题等价于讨论方程04ln4ln4 kxxx 有几个不同的实根。有几个不同的实根。不难看出，不难看出，的的唯唯一一驻驻点点是是)(1xx 。当当单单调调减减少少即即)(,0)(,10 xxx ；当当单单调调增增加加即即)(,0)(,1xxx ，k 4)1(为函数为函数的的最最小小值值)(x。设设kxxxx 4ln4ln)(4，则，则xxxx)1(ln4)(3 ，25时时即即当当04,4 kk，无无实实根根0)(x，即即两两条条曲曲线线无无交交点点。时时即即当当0

16、4,4 kk，有有唯唯一一实实根根0)(x，即即两两条条曲曲线线只只有有一一个个交交点点。时时即即当当04,4 kk，由于，由于 4ln4lnlim)(lim400kxxxxxx；4ln4lnlim)(lim4kxxxxxx，故故有有两两个个实实根根0)(x，分分别别位位于于内内与与),1()1 ,0(，即即两两条条曲曲线线有有两两个个交交点点。263 3若火车每小时所耗燃料费用与火车速度立方成正比，若火车每小时所耗燃料费用与火车速度立方成正比，已知速度为已知速度为hkm20时，每小时的燃料费用为时，每小时的燃料费用为 4040 元，元，其他费用每小时其他费用每小时 200200 元，求最经济的行驶速度。元，求最经济的行驶速度。解解：火火车车每每小小时时所所耗耗燃燃料料费费用用为为3kvR，当当20 v时时，40 R，解解得得2001 k，故故32001vR。设火车行驶设火车行驶)(kms耗资耗资)(元元W，则则)2002001()2002001(23vvvvvsW ，),0(v。27)2001001()(2vvSvW ，令令0)(vW，得，得)(14.27200003hkmv 。函函数数W在在),0(内内只只有有唯唯一一驻驻点点，且且由由题题意意可可 知知最最经经济济的的行行驶驶速速度度一一定定存存在在，hkmv14.27 即即为为所所求求的的速速度度。